都是“经验”惹的祸

韩冬青

[摘  要] 为提高教学效率、学习效率，老师和学生都希望把题目归类，举一反三，避免无谓的重复，这当然无可厚非，绝大多数情况下确实提高了教学效率和学习效率. 但有时我们归纳得不够完整，不够完善，或者不够严谨，甚至会出现错误. 文章针对不太完整、不太准确或不太严谨的归纳举了几个例子，如“SSA”问题、借助平移求面积问题、线段旋转扫过的面积问题. 经验会让我们受益匪浅，也会让我们固步不前，甚至会让我们犯经验主义错误.

[关键词] “SSA”;旋转;平移;转化;经验

古语说“经验大于学问”，可见经验之重要. 当然，经验至少可以分为两类，一类是成功的经验，另一类是失败的经验. 成功的经验会让我们少走很多弯路，失败的经验则会提醒我们避开那条失败的路，总之无论是成功的经验，还是失败的经验，都会让我们受益匪浅. 下面，笔者就数学上常见的几个问题谈谈自己的看法.

“SSA”问题

很多学生都知道“SSA”是一个假命题，但对其本质了解得并不清楚，看到“两边及其中一边的对角对应相等”就认为两个三角形不全等;很多教师知道“SSA”虽然是一个假命题，但在特殊条件下也能成立，却忽视了“在特殊的图形关系中，满足‘SSA的两个图形也能全等”这一事实. 教材上为什么给出了那样的反例？反例是不是要具备特殊的条件？“SSA”有没有成立的可能？在什么情况下成立？在什么情况下不成立？笔者通过查阅资料和自己的思考，找出了“SSA”成立和不成立的根本原因.

在三角形全等的证明方法中，“SSS”“SAS”“ASA”等都是借助尺规作图来进行探究的，只要作出来的三角形与原三角形能够完全重合，便得到了“SSS”“SAS”“ASA”证明全等的基本事实，所以“SSA”是否成立也可以借助尺规作图来看作出的三角形是不是和原三角形全等. “两组边及其中较大边的对角对应相等的两个三角形全等. ”“如果两个三角形满足最大的角对应相等，那么无论是锐角三角形还是钝角三角形，‘SSA能说明两个三角形全等. 当‘SSA中角的对边大于或等于邻边时，‘SSA能证明两个三角形全等. ”现笔者对上面的命题进行再次探究.

现在对图1（α<90°）进行分类讨论：

（1）若b>a，我们用尺规作图，作出满足上述条件的△DEF，我们发现所作的△DEF是唯一的（如图2），所以此时△DEF与△CBA全等.

（2）若b=a，△ABC是等腰三角形，我们不需要通过尺规作图，便可根据“SAS”或“ASA”或“AAS”得到这样的两个等腰三角形全等.

（3）若b=asinα，即AB⊥AC，此时△ABC是直角三角形，我们容易得到通过尺规作图作出符合条件的直角三角形唯一（如图3），所以两三角形全等.

（4）若asinα

这里，我们不需要再讨论已知角为直角或钝角的情况，因为已知角为直角或者钝角时，我们都能得到它的对边比邻边长，此时作出的三角形是唯一的，它们和已知三角形一定全等.

综上可知，在三角形全等的判定中，“SSA”能否证明两个三角形全等，与已知角的对边和已知邻边的数量关系有关：当已知角的对边不小于已知邻边，或已知角的对边等于已知邻边与已知角的正弦值之积时，“SSA”能判定两个三角形全等，这和已知角的大小无关. 当已知角为直角或钝角時，已知角的对边总是大于已知角的邻边，所以“SSA”一定能判定两个三角形全等，即使已知角为锐角，“SSA”能判定两个三角形全等的可能性依旧很大，甚至比“SSA”不能判定两个三角形全等的可能性还要大. 因此笔者想提醒老师和学生，对于可以举反例的命题，我们还要看到此命题正确的可能性有多大，反例的可能性又有多大，而不仅仅是举个反例而已.

借助平移求面积问题

有下面一道数学题：分别求出图6、图7、图8空白部分的面积.

对于图6，所求面积S=（6-2）×（10-2）=32;对于图7，所求面积S=6×10-6×2-10×2+2×2=32;对于图8，所求面积S=6×10-6×2-10×2+ × =31.

通过上面的计算我们会发现，图7中空白部分的面积和图6中空白部分的面积是一样的，也就是说图7中空白部分的面积可以转化为图6中空白部分的面积来计算，但是图8中空白部分的面积却和图6中空白部分的面积不相等，也就是说图8中空白部分的面积无法转化为图6中空白部分的面积来计算. 图8不能转化为图6的根本原因是什么呢？根本原因是两个阴影重合部分（矩形）的面积不相等. 那是不是所有类似图8的图形都不能转化为图6来计算呢？是不是所有类似图8的空白部分的面积都比图6空白部分的面积小呢？下面我们逐一探究.

（1）请用含a，b，x的式子表示图9中空白部分的面积S.

答案：方法一，S=ab-bx;方法二，可通过平移将图9转化为图10，从而得S=（a-x）b=ab-bx.

（2）请用含a，b，x的式子表示图11中空白部分的面积S.

答案：方法一，S=ab-bx;方法二，可通过平移以及同底等高的平行四边形与矩形的面积相等将图11转化为图12，从而得S=（a-x）b =ab-bx.

（3）请用含a，b，x的式子表示图13中空白部分的面积S.

答案：方法一，S=ab-ax-bx+x2;方法二，可通过平移将图13转化为图14，从而得S=（a-x）（b-x）=ab-ax-bx+x2.

（4）请用含a，b，x的式子表示图15中空白部分的面积S.

答案：方法一，S=ab-ax-bx+x2;方法二，可通过平移以及同底等高的平行四边形与矩形的面积相等将图15转化为图16，从而得S=（a-x）（b-x）=ab-ax-bx+x2.

（5）请用含a，b，x的式子表示图17中空白部分的面积S.

答案：S=ab-ax-bx+S .

问题？摇 图17中空白部分的面积能否转化为图18中空白部分的面积？

根据前面的经验，我们发现图17中两个平行四边形（阴影部分）的面积和等于图18中两个大矩形（阴影部分）的面积和，所以图17中空白部分的面积应该和图18中空白部分的面积相等. 那么事实又是怎样的呢？我们不难算出图18中空白部分的面积S=（a-x）（b-x）=ab-ax-bx+x2，但图17中空白部分的面积又该如何表示呢？

由图19易证重合部分是平行四边形，根据平行四边形的面积计算公式，可得（α+β≠90°）S = （此处需借助三角函数知识完成）. 当 =1时，如α=90°或β=90°时，S =x2，此时图17中空白部分的面积等于图18中空白部分的面积，可以把图17转化为图18来解决;当 >1时，如α=60°，β=60°时，S >x2，此时图17中空白部分的面积不等于图18中空白部分的面积，不可以把图17转化为图18来解决;当 <1时，如α=30°，β=120°时，S

综上可知，遇到图17这样的问题时，我们可以这样做：

①先算出图17中两个大平行四边形（阴影部分）的面积，再用整个图形的面积减去两个大平行四边形的面积和，所得的差加上两个大平行四边形（阴影部分）重合部分的面积，从而求得空白部分的面积，即（图17中）S空白=S整个矩形-S阴影大平行四边形1-S阴影大平行四边形2+S两阴影重合部分.

②如果想将图17中的空白部分转化成矩形来计算，务必谨慎，一定要看其是否具备转化条件. 不能认为所有这种类型的问题都可以转化为图18来计算.

另外，笔者还有一个猜想：如果α，β均为锐角，或α，β均为钝角，有S > S ;如果α为锐角且β为钝角，或α为钝角且β为锐角，有S

一条线段绕一个点旋转扫过

的面积问题

这里只探究旋转中心不在已知线段所在直线上时，旋转过程中扫过的图形面积问题.

问题？摇 如图20，已知线段AB绕点O顺时针旋转α°（α°<180°），即线段AB旋转至线段CD所在的位置，求线段AB在旋转过程中扫过的面积S.

常见的解决办法：S=S +S -（S +S ）=S -S  .

那么，是不是所有类似这样的问题都可以这样解决呢？能用这种方法解决的问题有没有一些隐含条件呢？

不知大家是否注意到，图20中的∠OAB是钝角（OB>OA），如果∠OBA是钝角（OA>OB），那么上述问题的结果就会变成S=S -S . 如果∠OAB（或∠OBA）是直角或者是锐角，结论是否会发生变化呢？我们来逐一研究.

（1）如果∠OAB=90°，如图21，此时S=S +S -（S +S ）=S -S .这与∠OAB为钝角时的求解方法相同;如果∠OBA=90°，则S=S -S .

（2）若∠OAB和∠OBA都是锐角，且∠OAB>∠OBA 时，如图22，（∠OAB<∠OBA类似）解决方法是否还和上面的方法一样呢？我们发现，这种情况不再和上述两种情况一样了，那么出现这种现象的原因是什么呢？

在这种情况下，你会发现线段AB扫过的图形是图22中的阴影部分，那是因为，还有一条更短的线段OC，即△OAB的边AB上的高，点C在线段AB旋转的过程中的运动轨迹是一个更小的圆的一部分，所以线段AB在旋转过程中扫过的面积S应该这样计算：

S=S -S +S =S -S +S -S .

（3）若∠OAB和∠OBA都是锐角，且∠OAB=∠OBA ，即OA=OB时，如图23，此时S=S -S +S =S -S +S -S .

综上可知，一条线段绕一个点旋转（点与线段不在同一条直线上）一定角度（<180°），旋转过程中线段扫过的图形面积与两个角的大小有关，这两个角为这条线段的两个端点与旋转中心所连线段同这条线段所形成的两个夹角. 于是这个问题可分为两大类：

第一类，当这两个夹角中有一个角为钝角或直角时，这条线段在旋转过程中扫过图形的面积就是两个扇形面积之差（大扇形-小扇形）;

第二类，当这两个夹角均为锐角时，就不再是两个扇形的面积之差了.

当然对于第二类问题，很多同学理解起来会感到比较吃力，因此绝大多数考试都会考查第一种情况，但是作为教师，最好能留意到这种情况，在总结此類问题时，不要一刀切，即不要简单地总结为两个扇形的面积之差.

总结

笔者首先对“SSA”何时成立和何时不成立分别进行了细致的分类，找出了“SSA”成立和不成立的源头：与已知角的对边和邻边的大小关系有关，与已知三角形的形状没有直接的关系，与已知角的大小也没有必然的关系;其次，对于利用平移求面积问题，要注意在什么情况下可以通过平移对图形的面积进行转化，什么情况下不能通过平移解决问题，即不是所有这类问题都可以通过平移来解决;最后，求一条线段绕一个点（点和线段不在同一条直线上）旋转一定角度（暂时先探究旋转角<180°）扫过的面积时，不能一刀切地总结为两个扇形面积之差，其实结论和这条线段的两个端点与旋转中心所连线段同这条线段形成的两个夹角的大小有关，要分情况而定.

笔者写这篇文章的目的之一，是希望今后我们在总结某类数学问题的求解方法时，不能以偏概全，草草地总结，应严谨，以免给学生的学习带来困扰或阻碍（虽然表面上看起来是捷径）. 所以我们一定不能犯经验主义错误. 经验本无错，总结需谨慎.

本文仍有很多不足之处，敬请大家批评指正. 在此，特别感谢笔者所在学校数学组的同事在日常教研活动中注意到以上几个问题，让笔者有机会接触这样的问题，感谢数学组的王瑞同事，感谢阜阳四中的李得意老师前期参与线段绕点旋转求面积的画图协作，感谢阜阳市数学教研员、阜阳市教育科学研究所副所长王志刚的督促，使此文成形.