核心素养视角下“图形的变化”之中考复习策略

陈立顺

[摘  要] 数学核心素养的培养任务对数学中考命题及中考复习策略提出了新的要求和挑战. 如教师在“图形的变化”知识模块复习时，首先应清楚“图形的变化”试题的命制途径和特点，然后有策略地开展复习：要立足十大核心概念精选例题和练习题，以强化数学核心素养的培养;要回归基础，使知识和其应用系列化;要回归教材，充分挖掘教材“命题点”的功能;要善于以图形变化为主线整体设计复习课课程体系;分析问题时要善于变中抓不变，让“图形的变化”问题因回归本质而精准突破，等等.

[关键词] 核心素养;图形的变化;中考复习;策略

在变化的图形中探索并发现图形不变的性质或有规律变化的结论，更能揭示几何的本质，也更能提升学生的思维品质和数学素养. 这也正是《义务教育数学课程标准（2011年版）》之所以把“图形的变化”内容从“图形与几何”中凸显出来的原因. “图形的变化”这一块的主要内容包含图形的轴对称、旋转、平移、相似（含三角函数），及图形的投影等. 这块内容已成为历年中考命题尤其是压轴题的命题热点.

纵观近几年的中考试题，“图形的變化”试题有以下几个明显的特点：（1）十分重视数学核心素养的考查;（2）注重考查基本知识和技能的同时彰显多元的育人价值;（3）源自教材的改编创新试题倡导教学的追本溯源;（4）关注对数学的理解和回归基本的几何变换本质;（5）源于生活的情境题的设计有效考查了学生的数学思维方式;（6）通过动态试题设计着重考查学生的综合素质和素养;（7）根据教学要求在教学过程中选取素材进行编题，起到把很好的考试引导教学的功能.

针对上述“图形的变化”试题的命制途径和特点，教师可用以下策略开展复习.

立足十大核心概念强化数学核心素养培养

数学学科核心素养是学生基于认数、计算、推理和统计等活动和学习建立起来的一些数学思想方法和用这些思想方法解决问题的能力，以及对数学作用和价值的认识.具体包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象和数据分析等六大核心素养.根据义务教育学生的特点，与之相衔接，义务教育数学课标则提出了如下十个核心概念：数感、符号意识、运算能力、推理能力、空间观念、几何直观、数据分析观念、模型思想、应用意识和创新意识，并将之作为中考核心素养测试题编制的立足点和关注点. 课标对各知识模块基于核心素养的考查途径都作了阐述.落实到课堂教学中，就是要努力培育学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界和用数学的语言表达世界，其中数学的思维方式主要有：观察、想象、猜想、验证、比较、归纳、抽象、概括等. 教师在教学过程包括在中考复习中，要努力为提升学生的数学素养而教.如在概念的教学过程中，要注重概念的形成过程;教师要引导学生对感性材料进行认识、分析、抽象和概括，让学生经历思维从抽象到具体再到抽象的过程;在概念和定理等的复习中，要纵横比较概念和定理的形成和发现方法;在中考的复习中，要精选能凸显和培养学生数学核心素养的例题和练习题.

例1 （2016·金华）如图1，Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在边BC上，以AD为折痕将△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E.若△DEB′为直角三角形，则BD的长为________.

本题借助纸片折叠这一熟悉的问题情境，将轴对称、平行线、特殊三角形、方程等知识有机地整合在一起，通过操作与想象，运用分类讨论思想找到△DEB′为直角三角形的两种情况，再利用勾股定理转化为方程解决，让学生经历“操作—观察—探究—计算”的自主活动过程. 试题突出了学生对基本图形变换本质的理解和思考问题的全面性，突出了对核心素养的考核.

回归基础，使知识和其应用系列化

义务教育数学课程基础性、普及性及发展性的性质，决定了中考数学试卷中70%容易题、20%稍难题、10%较难题的布局. 纵观近五年的中考试卷，都很好地体现了课程的这一性质，试卷能面向全体，注重考查基本知识和基本技能，同时适时渗透德育、美育及劳动教育等，彰显多元的育人价值. 因此，降低复习重心，面向全体学生，打好基础仍是重点.然而数学学习不是简单的识记，如何让学生面对千变万化的试题能够应用所学知识予以解决呢？关键是要让学生所学的知识及应用结构化、系列化.因为只有结构化、系列化的知识才能在应用时被快速有序地提取.如在轴对称知识的复习中，可让学生遵循几何图形的学习序列，先按知识的逻辑结构有序地复述而回忆其定义和相关概念，再复习其性质. 在与其他图形变换的对比联系中，形成科学的知识网络和结构，同时还要与学生一起总结其在作图和求最值等问题中的应用规律. 要让学生懂得，只有学以致用，才能真正地掌握知识.

回归教材，充分挖掘教材“命题点”的功能

教材是众多专家和一线教师集体智慧的结晶，全国各地的中考卷上，可以频频看到由教材改编的试题. 而中考复习中，抛开教材而围绕教辅资料是一种普遍现象. 其实如果教师在复习时，能适时引导学生去浏览曾熟悉的教材目录和内容，学生就会倍感亲切并重新回忆和架构起有血有肉的知识大厦. 教师在讲解中考真题或例题时，若能适时地联系教材，和学生一起搞清楚这些试题的“前世今生”，搞清楚这些试题改编和创新的套路和规律，学生就能感受到中考试题其实并不神秘，从而大大减轻学生在考试的负担. 当然，这更能培养学生透过现象看本质，形成举一反三的能力. 改编和创新试题的方式很多，有弱化条件法、隐去结果法、特殊化法、一般化法、变换图形法、移动图形元素法、隐去图形法、逆向法、由因导果法，由果索因、变换背景，借景生题、变封闭题为开放题，等等.

以图形变化为主线整体设计复习课课程体系

复习阶段，常常伴随着“书山题海”， “测试—统计分析—发现问题—针对性训练”也成为无休止的循环. 大家试图通过这种地毯式的刷题的解题思路来实现“万无一失”，但结果却总是事倍功半. 殊不知，如果方法提炼不精，学生体验不深，量变是达不到质变的. 而复习阶段，时间紧，任务重，大量重复性的练习也是不现实、不应该的. 所以，复习阶段，教师应站在更高的站位，从知识应用的角度系统化设计复习课课程来精选系列习题.如“图形的变化”这块复习内容，可以分别按图形的轴对称、旋转、平移、相似（含三角函数）及投影设计五个专题，每个专题根据总课时和本专题题型归类情况确定课时，每个专题作为一个整体备课，内容设计着重加强知识的深度理解，精选的例题要有利于方法体系化的构建，要尽量将例题与教材及中考动态相联系，要多采用变式的方式进行教学，提高效率.

变中抓不变，让图形的变化问题因回归本质而精准突破

“图形的变化”这一知识模块最突出的一个特点就是问题中的图形常常是动态和变化的. 运动和变化的可能是点，也可能是线或多边形或圆，甚至可能是函数图像.而不变的本质包括在变化的过程中产生的最值、位置关系、数量关系或是在变化的过程中产生的函数关系等. 而如何以不变应万变，就要求教师在启发学生解决问题时，要善于变中抓不变，引导学生弄通情境，善于抓住不变的本质特征，把实际问题转化成数学问题和模型，从而加以解决. 因为数学模型是数学与外部世界联系的桥梁，在建模的过程中，一些非本质的东西被去掉，模型才能够适应变化. 如“将军饮马”最值模型就能够解决很多情境中求两线段和的最小值问题. 而当一时找不到模型解决时，师生也要善于用變化的观点换个角度看问题，如运用数形结合将代数领域问题映射到几何领域中去解决，等等. 动态试题能够在运动变化的过程中很好地发展学生的空间观念、几何直观和逻辑推理能力等综合素质，全面考査学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，从而提升学生的数学核心素养. 因此动态试题受到中考数学命题人员的青睐. 轴对称、旋转、平移和相似变换的一些常见模型是“图形的变化”这一知识模块的本质特征和核心内容，广大师生应该予以高度的重视.

例2 （2019·杭州）如图2，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点. 若∠FPG=90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于_______.

本题考查勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质及轴对称变换等知识，解题的关键是利用字母表示数及方程的思想和模型解决问题.本题由翻折的意义，学生不难发现如下关系：PA′=AB，PD′=CD，D′，P，F三点共线，A′，P，G三点共线，进而根据面积条件的暗示进一步发现△A′EP与△D′PH相似，且相似比为2. 在直接列算式无法求出的情况下又想到设AB=CD=x，然后列方程求解. 该题要求学生先关注图形变化的信息和特点，然后通过一系列的推理分析让问题回归到基本的几何变换的本质和数学思想方法，命题立意值得学习和借鉴，在中考复习中要加以重视.