对“直接写答案”的考题的命题探讨

陆月平 陆祥雪

[摘  要] 近年来，许多地方的中考数学试卷解答题中，出现了“直接写答案”的设问，即在主观试题中融入客观试题. 文章通过对2019年、2020年中考数学中此类问题的研究，探讨相关命题的缘由，思考此类命题的价值，以期达到对平时教学工作及命题活动的指导.

[关键词] 中考试题;直接写答案;命题探讨

不知从什么时候开始，各地中考试卷在一些解答题中出现了“直接写答案”式的设问，这相当于在主观题中融入客观试题. 笔者分析了2019年、2020年全国45份中考试卷后发现，2019年有21份中考试卷含有这样的试题，而2020年则有15份中考试卷含有这样的试题，比例分别达到46.7%和33.3%，且有些试卷出现多道这样的设问，其中大多在压轴题中出现. 这种命题方式是基于怎样的考虑？此类命题的价值何在？本文主要对这类试题进行探讨.

基于考查几何直观

考题呈现 （2019·重庆A卷）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图像研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程. 在画函数图像时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图像. 同时，我们也学习了绝对值的意义a=a（a≥0），-a（a<0）.

结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：

在函数y=kx-3+b中，当x=2时，y=-4;当x=0时，y=-1.

（1）求这个函数的表达式;

（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图像，并写出这个函数的一条性质;

（3）已知函数y= x-3的图像如图1所示，结合你所画的函数图像，直接写出不等式kx-3+b≤ x-3的解集.

考题分析  本题先通过阅读材料来复习解决新问题的相关知识及方法，再用这些知识来解决问题，既考查了一次函数、一元一次不等式、二元一次方程组等知识及数形结合思想、分类思想等，又考查了学生的现场学习能力. 第（3）问的要求是结合图像解不等式，直接写出解集，命题者之所以这样设问，主要是为了考查学生的几何直观能力，即把“图像特征”转化为用“代数表示”，借助图像直观求得解集，而非用不等式的性质去求解集. 题目本身已经给出了求解的方法——图像法，也就是要求通过直观判断来解，所以没有必要写出严格的演算过程. 实际上写过程也应该写观察图像的方法.

类似的试题还有：

（2020·北京）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图像由函数y=x的图像平移得到，且经过点（1，2）.

（1）求这个一次函数的解析式;

（2）当x>1时，对于x的每一个值，函数y=mx（m≠0）的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围.

基于考查合情推理

考题呈现？摇（2019·北京）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果DE上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称 为△ABC的中内弧. 例如，图2中 是△ABC的一条中内弧.

（1）如图3，在Rt△ABC中，AB=AC=2 ，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧 ，并直接写出此时 的长.

（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（0，0），C（4t，0）（t>0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点.

①若t= ，求△ABC的中内弧 所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围;

②若在△ABC中存在一条中内弧 ，使得 所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围.

考题分析  此题是以“新定义”为背景的代数与几何的综合性试题，突出考查学生获取知识的过程及学生的综合解题能力，涉及几何直观、数形结合及分类讨论思想，对考生分析与解决问题的能力及数学素养要求很高. 其题目设计大体为：第一步，结合图形通过解答一个条件具体的数学问题来达到对新定义“三角形中内弧”的初步认识;第二步，引入坐标系，与代数综合，通过进一步解答特殊的数学问题来初步形成确定△ABC的中内弧的关键要素“圆心”的方法及结论. 设 所在圆的圆心为P，由△ABC的中内弧的定义，可知 上的点在△ABC的内部或边上，这样进一步转化为⊙P与△ABC三边的位置关系. 我们可以得到如下结论.

结论1：圆心P在DE的垂直平分线上.

结论2：①如果⊙P与BC相离或相切，与AB相切或相交的另一个交点在D上方，与AC相切或相交的另一个交点在E点上方，那么DE下方的 即为△ABC的中内弧;②如果⊙P与AB相切或相交的另一个交点在点D的下方，⊙P与AC相切或相交的另一个交点在点E的下方，那么DE上方的 是△ABC的中内弧.

结论3：①如图4，如果⊙P与BC相离或相切，且∠PDA≤90°，∠PEA≤90°，那么DE下方的 即为△ABC的中内弧;②如图5，如果∠PDB≤90°，∠PEC≤90°，那么DE上方的 是△ABC的中内弧.

结论4：①如图4，如果DE下方的 为△ABC的中内弧，那么⊙P与BC相离或相切，且∠PDA≤90°，∠PEA≤90°;②如图5，如果DE上方的 是△ABC的中内弧，那么∠PDB≤90°，∠PEC≤90°.

对于考题第（1）问，学生可以先画出△ABC的中内弧 ，对 的长短进行探索，于是可直观判断出当DE是 所在圓的直径时， 最长（如图6），且长度为π. 这里，结论的得到是通过操作发现的，是借助几何直观，通过合情推理、猜想得到的，体现了数学的发现，但要成为数学结论，还需要进行证明，即从实验几何到论证几何，以体现数学的严谨特性.

对于考题第（1）问，若要严格推理说明，可能所用知识已完全超出初中数学的范畴. 设 所在圆的圆心为P，由结论4可知，①当DE下方的 是△ABC的中内弧时，圆心P在DE上或DE上方（如图7）;②当DE上方的 就是△ABC的中内弧时，∠PDB=∠PEC≤90°，则圆心P在DE下方（如图8）. 设 所对的圆心角为2α（α是用弧度制表示）.

在 的长度计算公式l=2αr中，因为r= ，所以l= . 从表达式中我们可以看到，当α是锐角时，sinα随α的增大而增大，这样分子、分母同时增大，据此我们无法判断l随α变化的情况. 要判断l随α变化的情况，需要用高中的导数来解决. 因为l′= ′= ，又（2sinα-2αcosα）′=2cosα-2（cosα-αsinα）=2αsinα，α∈0， ，而当α∈0， 时，2αsinα>0，所以2sinα-2αcosα在区间0， 内单调递增. 所以2sinα-2αcosα>0. 所以当α∈0， 时，l′>0，即l= 在区间0， 上单调递增. 所以当α= 时，l最长，即当DE是 所在圆的直径时，DE下方的半圆弧 最长，且最长值为π.

从上述解答过程可以看出，将问题设计成“直接写答案”是合情合理的.

对于考题第（2）问，网上及一些中考复习资料上的解答都是借助直观来解决的. 其实此问的第①小题可以用结论1和结论2来解决. 如图9，连接DE，圆心一定在线段DE的垂直平分线上. 作DE的垂直平分线FP，垂足为F，作EG⊥AC交FP于点G. 当圆心P在DE上或在DE上方时，只有DE下方的弧才符合要求. 此时⊙P与BC相切或相离就行，所以点P的纵坐标m需满足m≥1，m≥ ，解得m≥1. 当点P在DE下方时，设PF交AC于点M（如图10），⊙P与AC相切或相交且另一个交点在E点的下方即可，因为∠PME=45°，所以∠EPF≤45°. 因为AC所在直线的函数解析式为y=-x+2，所以M ， . 因为PE≥ME，由勾股定理知PF≥MF，即1-m≥ ，所以m≤ . 综上所述，满足条件的点P的纵坐标m的范围为m≥1或m≤ .

考题第（2）问第②小题也可以用结论1和结论2来解决. 设P（t，m），则⊙P的半径为 ，点P到BC的距离为m. 若点P在DE上或在DE上方（如图11，K，L分别是DE的垂直平分线与BC，AC的交点），则当⊙P与BC相离或相切时， 是△ABC的中内弧，即m≥ ，所以t2≤2m-1. 因为AL=LE= EC，所以KL= OA= ，L点的坐标为t， . 因为点P在△ABC的内部或边上，所以1≤m≤ . 所以0

从上述解答过程可以看出，对于考题第（2）问第②小题，如果要完整地表达出解题过程，要花费不少精力与时间，对学生的表达要求也比较高，部分学生会解但表达能力较弱，此时他们就会感到困难，所以这里用“直接写答案”的设问，有面对大多数考生情况的考虑，当然可能还有便于阅卷的原因. 如果考生表达得不明晰，那么就会给教师阅卷及评分带来不便. 直接寫答案能让考生直奔答案而去，命题者此时充分考虑了考生所处的时空环境及考查目的.

2020年北京中考数学第28题第（3）问同样采用了“直接写答案”的设问，注重考查学生的直观猜想、合情推理能力，同样地，要将第（3）问清晰地表达出来也不容易. 具体的题目如下.

在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1. 给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A′B′（A′，B′分别为A，B的对应点），线段AA′长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”.

（1）如图13，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P P 和P P ，则这两条弦的位置关系是？摇_______;在点P ，P ，P ，P 中，连接点A与点_______的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”.

（2）若点A，B都在直线y= x+2 上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d ，求d 的最小值.

（3）若点A的坐标为2， ，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d ，直接写出d 的取值范围.

基于学生整卷用时

考题呈现？摇 （2019·河南）在△ABC中，CA=CB，∠ACB=α.点P是平面内不与点A，C重合的任意一点.连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP.

（1）观察猜想：如图14，当α=60°时， 的值是________，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是________.

（2）类比探究：如图15，当α=90°时，请写出 的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图15的情形说明理由.

（3）解决问题：当α=90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时 的值.

考题分析  此题属于图形变化问题，考查了图形中一些变中不变的内容，及变中有变的特征. 由第（1）问变到第（2）问，△PAC∽△DAB的关系没有变，只不过第（1）问中是相似的特殊情形——全等. 将第（1）问设计成填空题，命题者的意图可能是一方面这个问题比较容易，另一个方面第（2）问与第（1）问的解法类似，且第（2）问比第（1）问难度大. 对于整道题来说，第（1）问为第（2）问做了铺垫，没有必要重复写出解答过程，直接以填空题的形式出现，可为考生节约一点时间，让考生将时间花在更具有思考性、挑战性的问题上，有利于有实力的考生取得好成绩. 当然，第（1）问的这两个答案也容易被考生猜到，不过任何一份试卷对某一考生的效度、信度都不可能是100%的.

对于第（3）问，我们先来看看它的解答. 因为点P在直线EF上，故将点P分三种情况来考虑，即点P在FE的延长线上，点P在EF上，点P在EF的延长线上，其中点P在EF的延长线上的情况是不可能的，这样就只用分两种情况：

如图16，当点P在线段EF上时，因为∠APC=∠APD=90°，E为AC的中点，所以PE=AE.所以∠PAE=∠APE. 因为E，F分别为AC，BC的中点，所以EF∥AB. 所以∠APE=∠PAB. 所以∠PAE=∠PAB=22.5°. 所以∠BAD=22.5°. 所以∠CAD=67.5°. 因为∠ACD=90°-∠PAE=67.5°，所以∠CAD=∠ACD. 所以DA=DC. 设PA=a，则CD=AD= a，CP=CD-PD= a-a= -1a. 所以 = =2+ .

如图17，当点P在FE的延长线上时，AD=CD仍然成立，这是一个变中的不变. 设PA=a，则CD=AD= a，CP=CD+PD= a+a= +1a. 所以 = =2- .

从上述解答过程不难看出，第（3）问要求省略过程，直接写出答案，一方面是为考生的时间让路，另一方面，可能是两种情况的解答有类似之处，若要写过程，会感觉是重复一遍，没有必要.

结语

综上所述，关于解答题设计“直接写答案”的问题，基本上是基于下列情况：一是侧重考查学生的几何直观、合情推理能力;二是考查内容的重点不在解答的显性过程;三是题目解答过程冗长、重复，说理时不易清晰表达;四是考生的时间有限. 在2020年的山西、河北、广东的中考试题中，“直接”两个字的下方还加了着重号，用于提示学生节约时间.

结合以上关于解答题中“直接写答案”考题的分析，我们认为有以下几个方面值得思考.

1. 教学思考

这种命题的设问方式，有客观性试题的特点. 解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误. 这种命题的设问方式，从题型看是小题，实则都是一些具有探索性、思考性、综合性的大问题，它们大多在压轴题部分出现. 教师在讲解时，要尽量讲清解答的過程，做到“讲清道明”，充分发挥题目对培养学生思维能力及数学素养的作用，引发学生对题目的深度思考. 对学生来说，做题时也要写出过程，注意平时练习与应试作答的区别，以达到对问题的清晰认识，而非雾里看花.

2. 命题思考

这些设问一般都出现在试卷的压轴题中，作为一道解答题，看不到解答过程，似乎与我们通常对解答题的一般要求相违背，当然，不拘泥于形式，注重考查的实质也无可厚非. 但缺少解答过程，会让不少解题思路正确，甚至解题方法非常优美的学生，因算错答案而遗憾地失去过程的得分，也会使通过审读考生的详细解答过程，评估考生的真实水平成为空话，且这样还训练了学生的应试策略. 如上述考题中的2019年河南中考题，对于第（3）问，学生可以通过设“PA=1”这种不严格的方法得到结论，或者有学生直接用22.5°的正切值来快速得到答案;对于第（1）问，学生也容易猜到答案，所以我们在命题时，采用这种设问方式时，还是应尽量避免出那些通过应试技巧就能得到答案的问题，比如靠“猜、蒙、量”等方式得到答案的问题，要综合考虑整套试卷的设计，以及考题考查的内容、重点、思想、方法等方面的因素，合理使用这种设问方式. 笔者认为，考查学生的几何直观、合情推理能力时，采用这种设问方式比较合适.

3. 价值思考

从正面来看，如前考题分析所述，此处不再赘述. 数学作为一门严谨的学科，直观猜想只是数学发现的方式，发现的结论还是必须经过论证才能得到确认，否则总归是猜想. 而我们在评判时，只要求学生猜到正确结论. 如果学生可以清晰地说明猜想，那我们是否采用“直接写答案”的命题方式，还需权衡利弊，综合考虑;如果学生不能清晰地说明猜想，那么教师在讲解时，必须先对题目进行深入的研究，否则如何对待学生的追问？此外，我们是否还有其他题目可以替代对学生合情推理能力的考查？这些都值得我们进一步探讨.