“做数学”对初中生逻辑推理与直观想象影响的实验研究①

段伟 东方 陈仲华

摘要：逻辑推理和直观想象是数学学科核心素养的重要组成部分。以江苏省南京市某重点中学七年级和八年级学生作为被试，以教学方法为自变量，逻辑推理和直观想象能力为因变量，进行“做数学”的研究。研究表明，通过“做数学”的教学方式，实验组与对照组的后测成绩存在显著差异，即实验组学生的逻辑推理与直观想象水平有了明显的提高，从而在一定程度上揭示出“做数学”与数学学科核心素养之间的内在联系。

关键词：“做数学”;数学实验;逻辑推理;直观想象

一、问题提出

《普通高中数学课程标准（2017 年版）》（以下简称“新课标”）提出了六大数学学科核心素养，即数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。学科核心素养的提出，会在教育理念、教育目标、教学模式、教学评价等方面引发重大变革，培育学生的学科核心素养将成为时代赋予教育的重要任务。

新课标对逻辑推理和直观想象做了明确的界定。逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养。主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比;一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎。逻辑推理主要表现为：掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出命题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流。直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养。主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题;建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。直观想象主要表现为：建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物。

關于逻辑推理的研究，分为演绎推理与合情推理两个方面，涉及逻辑推理的发展与逻辑推理的培养。

林崇德将中学生论证推理能力划分为四个水平：直接推理水平、间接推理水平、迂回推理水平、按照一定数理逻辑格式进行综合性推理的水平。调查发现，七年级和八年级、高一年级和高二年级之间的差异均达到了显著的水平，八年级和高二年级是中学生数学推理能力发展的转折点（关键时期）。① 孙敦甲研究发现，中学生数学逻辑思维的发展是从形象抽象思维到形式抽象思维，最后向着辩证抽象逻辑思维发展;八年级与九年级、九年级与高一年级、高一年级与高二年级之间的差异均达到了非常显著的水平。② 武锡环等人使用“定义规则型问题”对初中生演绎推理能力的研究显示，三个年级的结果呈直线上升趋势，年级之间的差异都是显著的。③

多项研究表明，中学也是学生归纳思维快速发展的时期。武锡环等人将信息表征、归纳识别、形成猜想、假设检验确定为归纳推理的四个重要影响因素，并据此编制测试题。在初中三个年级施测的结果显示，总体而言，七年级、八年级学生差别不大，而八年级、九年级学生则差异显著。这说明，八年级是归纳推理能力发展的关键时期。④ 黄煜烽等人对七年级、九年级和高二年级学生归纳推理能力的研究也显示，八年级是学生归纳推理能力迅速发展的时期，而七年级学生的归纳推理还依赖于具体经验的支持，往往体现为枚举而非得到新的含义。⑤Csapo的研究表明，三年级学生已经具备了一定的归纳推理能力;低年级得分的标准差较大，原因是少数学生在早期就具备较强的归纳推理能力;五到七年级是归纳推理能力发展最迅速的时期，九年级后发展速度明显放缓。⑥

唐慧琳和刘昌采用双因素实验设计，发现工作记忆是影响类比推理的重要因素：在图形类比推理中，主要有视空间模板中的空间成分、语音回路中的发音成分以及中央执行器的参与;而在言语类比推理中，则是视空间模板中的空间成分起主要作用。⑦

林崇德等人对小学生图形推理策略的研究表明，不同年龄段的小学生在解决图形推理问题时的直观想象能力是不同的，一般是随年龄增长而呈上升趋势，但有几个关键时期。小学二年级开始出现直观想象能力发展的飞跃，而五、六年级更能够不受题目形式的影响，开始从本质上把握。这说明就直观想象能力而言，二年级和五、六年级是小学阶段的关键时期。⑧

中学生直观想象能力的培养同样是一个循序渐进、逐渐上升的过程。孙敦甲认为，中学生数学能力在空间想象能力方面的发展，是从对基本几何形的初步想象到对平面基本几何形的深入想象，再到对立体基本几何形的深入想象。从九年级开始，有61.6%的学生具备对基本几何形的初步想象能力;从高一年级开始， 53.1%的学生具有备对平面基本几何形的深入想象能力;到高二年级，才有50.2%的学生具备对立体基本几何形的深入想象能力。因此可以得出，八年级学生的空间想象能力开始有非常明显的提高;九年级、高一年级是关键时期;到了高二年级，发展呈定型趋势，逐渐到达成熟期。这说明就几何直观想象能力而言，八年级、九年级、高一年级是中学阶段的关键时期。⑨

Presmeg不仅将学生区分为视觉型和非视觉型，还依据数学教师在解题时的倾向，将教师同样区分为视觉组与非视觉组，进而发现：非视觉组教师更倾向于使用讲授法，教学偏重形式化，讲究逻辑与严格;视觉组教师更倾向于将数学课程与学生经验相联系，强调现实世界与数学内容的联系， 表现了更多与创造性有关的尝试。从教学效果上看，非视觉组教师对学生有一种约束，但一些视觉组教师同样也没能有效促进学习。中间组的教师最为理想，他们会使用视觉化方法，但也强调抽象和一般化，这一点可以帮助视觉型学生克服一些典型例子带来的问题，而视觉组教师往往难以意识到这一点。①

本文探究“做数学”（主要是数学实验）与学生逻辑推理、直观想象之间的内在联系，探讨通过数学实验的教学干预能否对学生的逻辑推理、直观想象能力产生影响。

二、研究方法

本次研究是在喻平教授关于“做数学”实证研究总体设计框架下开展的一项研究。

（一）被试选择

参加实验的是江苏省南京市某重点中学七年级、八年级的部分学生，对每个年级在学习水平相当的班中选取一个班作为实验组，一个班作为对照组。教学内容相同，实验组采用“做数学” 的方式教学，对照组采用普通教学方式。每组实验班和对照班都是由同一位数学教师任教的，从而消除了不同教师的教学水平可能造成的无关变量因素。

（二）研究工具

七年级、八年级都采用了第一学年期中考试数学成绩作为前测成绩。

后测题目主要围绕七年级、八年级下学期所学的知识来设计。一道题目可能会涉及多种能力，我们只考虑逻辑推理和直观想象，其他能力要素不予考虑。参考喻平教授的分法，把关键能力分为三级水平：知识理解（水平1）、知识迁移（水平2）、知识创新（水平3）。② 就逻辑推理与直观想象而言，具体划分如表1所示。

题目可以只测试某个水平，也可以分为若干小 题，分别测量不同水平。计分方法：一级水平计x 分，二级水平计x+1分，三级水平计x+2分。其 中，x可以根据情况赋一个值。比如，某道题目考 查逻辑推理和直观想象，其中逻辑推理是三级水 平，直观想象是二级水平，那么逻辑推理就是x+2分，直观想象就是x+1分。如果取x=2，则逻辑推理是2+2=4（分），直观想象是2+1=3（分），该题总分为7分。

（三）实验设计

实验流程如图1所示。两个“做数学”阶段，  每一个阶段至少安排3次“做数学”活动。

三、研究过程

（一）实验操作

整个实验持续一学期，共分为两个阶段。结束后，对实验组和对照组进行测试，并对测试成绩做t检验。同时，对实验组与对照组进行品格价值观的问卷前测和后测，并对前、后测成绩做t检验。

在具体教学中，我们选择适合开展“做数学”的教学内容进行实验。考虑到教学课时的限制，有些课是整节课都采用“做数学”的教学方式，有些课则是部分运用“做数学”的方式——不为了实验而实验，而让实验恰当地出现在需要的环节。

（二）数学实验教学案例

【案例1】七年级：密铺

这是基于苏科版初中数学七年级下册《多边形的内角和与外角和》一节的补充内容。这个内容既涉及多边形的内、外角和，也涉及方程模型，特别是不定方程解的讨论，对学生而言是逻辑推理上的难点。为了化解难点，我们采用“做数学”的教学方式，利用江苏省教研室编写的《义务教育教科书·数学实验手册（七年级下册）》中的配套学具，包括多个全等的任意三角形、任意四边形，多个全等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形等。学生通过动手拼图，可以得出结论：对于多个全等的任意三角形、任意四边形，由于它们内角和的特殊性，所以它们可以实现密铺。同时，可以认识到：正多边形的密铺分为简单密铺和组合密铺。在简单密铺中，由于涉及单一正多边形的边数和个数， 就出现了二元不定方程，需要对方程进行合理的变形和步步有据的推理，方能得出正确答案;对于组合密铺，由于涉及两种正多边形的密铺、三种正多边形的密铺…… 就需要合理的逻辑推理方法，方能求解。例如，两种正多边形的密铺，可以先固定其中一种正多边形的边数，变化另一种正多边形的边数，从而方便讨论;三种正多边形的密铺，可以先固定其中两种正多边形的边数，变化另一种正多边形的边数，从而方便讨论。本节课， 不仅仅是得出密铺的有关结论，关键是培养学生的逻辑推理能力。

【案例2】七年级：拼图

这是基于苏科版初中数学七年级下册《多项式的因式分解》一节的补充内容。

因式分解的教学通常采用“把…… 反过来， 就得到……” 的呈现方式，从而引导学生学会逆向思维。那么，我们能否通过拼图活动，解决二次项系数为1的二次三项式x²+（m+n）x+mn的因式分解呢？ 于是，我们利用江苏省教研室研发的数学实验工具——多边形塑料片组件，进行一系列探索活动。从学生最熟悉的完全平方公式a²+2ab+b²=（a+b）²入手，再探究多项式a²+4ab+4b²、a²+3b+2b²的因式分解，最后设计如下两个问题：（1）a画一个长方形，使所画图形面积为a²+2ab-3b²（a>b）;（2）设计一个关于a、b的二次三项式，并画出一个长方形，使它的面积是所设计的二次三项式。上述设计借助图形直观，使学生更易于发现结论，有助于学生感悟数与形的关系。本节课，用“做数学”的教学方式， 提高学生的直观想象能力，从而增加了学生学习数学的兴趣和信心。

四、研究结果

以下为实验数据的分析，包括前测和后测的数据检验结果。

（一）前测成绩分析

对七年级的前测数据进行检验，结果见下页表2和表3。

下页表3显示，在方差Levene（齐性）检验中， Sig.=0.909>0.05，所以方差齐性，再看对应的Sig.（双侧）=0.527>0.05，因此，七年级实验组和对照组的前测成绩不存在显著差异。这说明， 在进行数学实验教学之前，实验组、对照组学生的逻辑推理与直观想象水平基本一致。

同样，对八年级的前测数据进行检验（表略），表明八年级实验组和对照组的前测成绩也不存在差异。这说明，在进行数学实验之前，实组组与对照组学生的逻辑推理与直观想象水平基本一致。

（二）后测成绩分析

对七年级的后测成绩做检验，结果见表4和表5。

表5显示，七年级实验组和对照组的后测成绩存在显著差异。这说明，通过数学实验教学，实验组学生的逻辑推理与直观想象水平有了一定程度的提高。

对八年级的后测成绩做检验，结果见表6和下页表7。

表7显示，在方差Levene（齐性）检验中，Sig.=0.040<0.05，所以方差不齐性，再看对应的Sig.（双侧） =0.002<0.01，所以八年级实验组和对照组的后测成绩存在非常显著的差异。这说明，通过数学实验教学，实验组学生的逻辑推理与直观想象水平有了一定程度的提高。

五、结论与讨论

研究表明，在初中阶段，“做数学”的数学实验学习方式可以明显提高学生逻辑推理和直观想象能力，特别是在学习几何知识有关的章节时。

首先，“做数学”的数学实验学习方式，无论是通过数学学具还是图形辅助软件，都给了学生视觉上的帮助，在一定程度上降低了学习的难度。尤其是对逻辑推理、直观想象能力稍弱的学生，帮助特别明显。

其次，“做数学”的数学实验学习方式，可以帮助学生积累逻辑推理、直观想象的经验，进而提高逻辑推理、直观想象能力。通过数学实验， 学生理清了一个推理的难点或一个空间结构， 即使后面遇到更难但有关联的问题，他们也可以将之前的经验加以迁移运用来解决。

再次，“做数学”的数学实验学习方式，提高了学生学习数学的兴趣和信心。初中生還处于心智成长的过程中，需要一些新鲜事物去不断地激发他们学习数学的兴趣。丰富的实验教具、学具和软件，为数学课堂注入了新鲜感。另一方面，通过数学实验，思维能力相对薄弱的学生有了一种得出答案的新途径，缩小了思维能力强、弱学生之间得出答案快、慢的差距，进而使二者在考试成绩上的差距也明显缩小，让思维能力相对薄弱的学生重拾数学学习的信心。

（段伟，江苏省南京外国语学校。东方， 江苏省南京外国语学校。陈仲华，江苏省南京外国语学校。）