追错因：走向数学深度思维

张雨

【摘要】日常数学课堂教学中学生生成的错误是非常宝贵的教学资源，如果能了解、探寻和挖掘错因，并能引导学生深入思考探究，可以使学生的数学思维过程走向深入。作者先后两次同课异构“平均数”这一内容，充分挖掘错误资源，重新设计了教学过程，达到了不同的教学效果。

【关键词】追错因;数学;深度思维

【基金项目】本文系本校承担的南京市教育科学“十二五”规划课题“数学错题：数学资源开发的新探索”（题立项号：L/2011/114）阶段性成果。

一、案例背景

在日常的課堂教学中，学生难免会犯各种各样的错误，而这些错误正是一笔非常宝贵的教学资源，应着力挖掘其教育价值。这就要求教师在面对学生的错误时，能了解错因，探寻错因，挖掘错因，利用好宝贵的错题资源，使学生在课堂上能激发潜能，深入思考，并能将实际问题抽象为数学模型加以解决，使学生的数学思维过程走向深入。笔者曾先后两次教学苏教版“平均数”这一内容，在挖掘学生的错误资源之后，重新设计了教学过程，达到了不同的教学效果。

二、案例描述

【教学——“平均数不仅仅是‘总数量÷总份数这么简单”】

课后笔者请那个出错的学生过来说说他是怎么想的。在笔者的追问下，他说：“老师，我觉得甲乙2个组，就把甲组的平均数和乙组的平均数相加，除以2，就是甲乙两组的平均数了。”

他的回答给了笔者启示，其实是很多学生根本没有理解“平均数=总数量÷总份数”数量关系式中的“总数量”“总份数”“平均数”究竟在这一题中表示什么，它们之间又是什么样的数量关系。追根溯源，还是笔者在教学“平均数”这一概念时，没有在学生头脑中充分完整地建构，没有在学生原有知识体系中建立解决这类问题的模型，使他们不能利用新知深入思考这个题目。于是笔者改进了教学设计，在另一班重新教学。

1.师：三年级第一组同学正在进行一场激烈的套圈比赛，想知道他们的比赛情况吗？咱们一起来看看吧！

请学生结合情境图说明：他们分成男生和女生进行比赛。

2.出示条形统计图1：男生3人，分别套中7、1、5个;女生4人，分别套中3、3、2、4个。

（1）学生观察，教师提问：从条形统计图里你知道了什么数学信息？

（2）如果男生与女生比赛，你们认为哪个队赢了？为什么？

生1：男生赢了，因为男生一共套中了13个，女生只套中了12个。

生2：这里人数相同，可以比较总个数，哪个队总个数多，哪个队赢。

3.出示条形统计图2：男生3人，每人都套中4个;女生4人，每人都套中3个。

师：男生与女生队进行了第2次比赛，这次你们认为哪个队赢了？能不能比总数了？为什么？

生1：不能比总数，男生队只有3个人，不公平。

师：那你认为这次应该比什么？

生2：比每人套中的个数。

生3：也就是可以这样理解：“4个”代表了男生的整体水平，“3个”代表了女生的整体水平。要比较两队成绩，通常是整体水平的比较，就要找一个合适的数作代表：人数相同时，可以选“总个数”;人数不同时，可以选“每人套中个数”。

4.出示例题图，男生4人，分别套中6、9、7、6个;女生5人，分别套中10、4、7、5、4个。

师：这是第3次比赛，比什么才公平？为什么？（比每人套中的个数）（出示图2和例题图对比）刚才第2次每人套中的个数相同，能一眼看出来每人套中的个数，现在呢？（不同）怎么办？（小组讨论，师巡视）

有的学生在作业纸上画一画图，使4个男生套中的个数变得同样多;有的学生先用套中的总个数除以人数，求出平均每人套中的个数。

板书：6+9+7+6=28（个）;28÷4=7（个）。

5.生4：“7个”反映了“6、9、7、6”这四个数的平均水平。

师：数学上我们就把“7”称为“6、9、7、6”这四个数的平均数。（揭示课题）

6.师：用这种方法，你能算出女生平均每人套中多少个圈吗？（学生小组讨论，汇报讨论结果）

板书：10+4+7+5+4=30（个）;30÷5=6（个）。

7.师：现在你能比较男生套得准些还是女生套得准些了吗？为什么？关于这里的平均数，有没有疑问？

8.生5：男生平均每人套了7个是不是表示每个男生都套中了7个？

生6：男生平均每人套了7个是表示他们套圈的总体水平，并不表示每个男生都套中了7个。

9.师：今天我们学会了利用数据求平均数，谁来说说怎样求平均数？（板书：总数量÷总份数=平均数）

新授结束后，笔者出示了甲乙两组加工零件这道练习：“某车间有两个加工小组，甲组有6人，平均每人每天加工零件10个;乙组有4人，平均每人每天加工零件5个，问甲乙两组平均每人每天加工零件多少个？”结果发现，绝大部分学生列出了正确的算式，有个别学生犯了和前面一样的错误。

这时笔者并没有急于讲解正确的数量关系式，而是让学生小组讨论：“你认为哪种算法是正确的？为什么？”有个学生举起手来，迫不及待地说：“老师，这题加工零件的总数量应该是甲组的总数量加上乙组的总数量，再除以甲乙两组的总人数，才是每人每天加工零件的平均数。所以，刚才第二种算法直接除以2的算式显然不符合题意，是错误的。”

另一个学生补充说：“如果这题甲乙两组的人数相同，比如都是4人，可以用‘10+5=15（个），15÷2=7（个）……1（个）来求平均数，两组人数不同时，必须用‘总工作量÷总人数，这样的过程才正确。”

笔者追问：“你觉得以后遇到类似的求平均数的题目，该如何解决呢？”

有学生这样概括：“依然是用‘总数量÷总份数=平均数，只不过这里的‘总数量和‘总份数在不同情况下是不同的，要具体看求什么样的平均数，具体问题具体分析。”听完发言，出现错误的学生纷纷点了点头，及时纠正了错解。

三、案例反思

反思这节课前后同课异构，实际上就是一次“追错因，重建构”的过程，通过挖掘和利用学生课堂上的错误资源，达到了重新设计与建构教学过程的目的，取得了较为不错的教学效果，总结起来主要有以下几点。

（一）追问促思，让学生悟出自己错误形成的根本原因

当摸清了学生产生的错误之后，必须进行深度分析，以便找到他们出错的根本原因。就像本课例中的情况，学生在新授例题时，对平均数的数量关系已经明确，按笔者课前预设的想法，他们在练习中只需要按照关系式对号入座就可以了，为什么在遇到稍复杂的题目时却又出现了错误？

仔细分析这个学生错误的原因，其实是学生没有从根本上理解“平均数=总数量÷总份数”数量关系式中的“总数量”“总份数”“平均数”究竟在这一题中表示什么，它们之间又是什么样的关系。

仅仅通过教师分析出错误形成的原因，对于部分接受能力弱的学生来说，理解起来还是有困难。所以在第二次教学中，笔者将学习探究的主动权交给学生，让学生通过自主探究、交流反馈，自己悟出出现错误的根本原因。只有学生通过交流探索自己悟出的错误原因才是有生命力的。通过追问促思，学生在同伴的互相分析和补充中渐渐明确了这题的“总数量”是甲乙两组每天加工零件的总量，要求的“平均数”是甲乙两组平均每人每天加工零件的数量，而最关键的是“总份数”，这里的“总份数”其实是甲乙两组的总人数。原来理解的“总份数”是甲乙有2个组，就是2，显然这样的理解不够透彻，所以出错。

（二）追问促思，让学生数学建模的思维过程走向深入

数学课程标准中明确指出：“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生理解数学的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”在深入分析清楚错误的原因之后，更重要的应该是帮助学生重新建立相关问题的模型，形成知识结构，同时使他们的思维不仅仅停留在表面，发展有深度的数学思维，直至遇到类似问题时都能利用这个数学模型加以解决。

本课例中的第二次教学，笔者重新设计了新授部分，将例题改为三次比赛。第一次：男生3人，分别套中7、1、5个;女生3人，分别套中6、2、4个。这里设计了男女生人数相同，套圈总数不同的情况，使学生可以比较总数来衡量男女生哪一组套得准。第二次：男生3人，每人都套中4个;女生4人，每人都套中3个。这里设计了男女生套圈总数相同，人数不同的情况，不能用总数量衡量，引出了求出平均值。第三次：男生4人，分别套中6、9、7、6个;女生5人，分别套中10、4、7、5、4个。这里总数量不同，總人数也不同，学生有了前面的铺垫，自然就想到了利用“总数量÷总人数”求出平均数来比较。

通过重新设计新授部分的教学环节，为学生创设了三次有现实背景的生活情境，并让学生在情境中经历观察、比较、分析的探究过程，在此过程中由学生建构解决平均数问题的数学模型。

思维的过程由表及里，层层递进，这样的建构过程带领学生一步步理解了平均数的产生、意义和求法，学生头脑中的新知由此得以完整，思维也得以深入。

这次的同课异构源于学生课堂的一次出错，经过第二次重新建构的设计，教学效果有所提升，学生的思维水平有所提高。看来，抓住学生错误的原因，利用学生错误的资源，不仅能给数学课堂带来生机活力，而且能促进学生的思维深入发展。

【参考文献】

中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012：8.