2阶矩阵方幂与交换性

吴 伟 才，刘 俊 吉

(湖南理工学院 数学学院，湖南 岳阳 414006 )

0 引 言

平方交换律在代数领域是一种很重要的运算规则，文献[1]中证明了Nichols代数如果是有限维的，则某些共轭类中的元必须满足平方交换律．文献[2]中发现了rack运算和平方交换之间的等价关系，利用rack理论排除掉了很大的一类无限维Nichols代数．本文证明除了某种特殊的情形，交换律和平方交换律对2阶矩阵总是同时成立或不成立的．

另一方面，幂零矩阵、幂幺矩阵、幂等矩阵和(r,s)幂等矩阵是几种常见的矩阵[3-6]．作为这些矩阵的应用，不少学者开始研究群或者环上面的这些特殊矩阵[7-8]，但学者对于一般矩阵的方幂研究很少，一方面是因为难度太大，很难写出任意一个矩阵的任意次方幂的显式表达式，另一方面是研究某些特殊矩阵的幂更容易得到有趣的结果．对于任意的矩阵，要判断它是否是幂零矩阵、幂幺矩阵、幂等矩阵和(r,s)幂等矩阵，本质来说，归根于对该矩阵方幂的研究．本文结合某种数列的通项公式给出2阶矩阵方幂的显式表达式，进一步地给出2阶矩阵分别是幂零矩阵、广义幂等矩阵、广义幂幺矩阵和广义(r,s)幂等矩阵的充要条件，在广义幂等矩阵、广义幂幺矩阵和广义(r,s)幂等矩阵的结论中取θ=1，则得到幂等矩阵、幂幺矩阵和(r,s)幂等矩阵的结果．

1 基本定义

2 主要结果

引理1假定fm=fm-1α+fm-2β，f1=1，f2=α，3≤m∈N，α，β∈C．则

∀m∈N．

引理2对∀m∈N，k，l∈C，若k≠l，则km=lm，km-1=lm-1不能同时成立．

推论1假定fm=fm-1α+fm-2β，f1=1，f2=α，3≤m∈N，α，β∈C．若J2=αJ+βE，α，β∈C，则Jm=fmJ+fm-1βE，2≤m∈N．

证明对m用归纳法．当m=2时，J2=f2J+f1βE=αJ+βE，显然成立．假设m=k-1时结论成立，考虑m=k的情形．Jk=Jk-1J=(fk-1J+fk-2βE)J=fk-1J2+fk-2βJ=fk-2βJ+fk-1(αJ+βE)=(fk-1α+fk-2β)J+fk-1βE=fkJ+fk-1βE．得证．

推论2假定fm=fm-1α+fm-2β，f1=1，f2=α，3≤m∈N，α，β∈C．若对某个2≤m∈N有fm=0，fm-1β=0成立，则α=0，β=0．

定理1Jm=fmJ+fm-1(bc-ad)E，2≤m∈N．这里

证明由哈密顿-凯莱定理可知，J2=tr(J)J-|J|E=(a+d)J+(bc-ad)E，再由引理1，定理得证．

注(1)Jm+2=(a+d)Jm+1+(bc-ad)Jm，1≤m∈N，若a+d=1，bc-ad=1，则J为斐波那契-卢卡斯矩阵[10]，这里不要求a=1，b=1，c=1，d=0．

(2)若J=0，则fm=0，2≤m∈N．

引理3假定J=λE．若J是广义幂等矩阵，则λ=0或θ；若J是幂零矩阵，则λ=0；若J是指数为m的广义幂幺矩阵，则λm=θ；若J是(r,s)幂等矩阵，则λ=0或λr-s=θ．

命题1假定J≠0，m∈N，则Jm=0当且仅当J和m满足m≥2，bc=-a2，d=-a．

证明显然矩阵不可逆，有bc=ad，由Jm=0和定理1知，m≥2且fmJ=0，由J≠0，故fm=0，d=-a．命题得证．

推论3J是指数为m的幂零矩阵，则m≤2．

命题2假定J≠0，θ∈C*，则Jm=θE当且仅当J和m满足

m≥1；

d=a，b=0，c=0；

am=θ

或

证明m=1，J=θE，当m≥2，由Jm=θE和定理1，有

fmJ=[fm-1(ad-bc)+θ]E

(1)

(1)fm=0，fm-1(ad-bc)+θ=0，显然(a-d)2+4bc≠0，简单计算可得

(2)fm=0，fm-1(ad-bc)+θ≠0，式(1)不成立；

(3)fm-1(ad-bc)+θ=0，fm≠0，由式(1)可知，J=0，与注(2)矛盾；

命题3假定r>s∈N0，θ∈C*且J≠0，则Jr=θJs当且仅当J和r、s满足下列的一种：

(1)r-s≥2；

(2)d=a，b=0，c=0；

ar-s=θ

(3)s≥1；

bc=ad；

(a+d)r-s=θ

(4)s≥2；

bc=-a2；

d=-a

证明若bc≠ad，则J可逆，Jr-s=θE，由命题3知，J和r,s满足

或

r-s≥1；

d=a，b=0，c=0；

ar-s=θ

当bc=ad，由定理1，有Jm=fmJ，2≤m∈N．这里

若s=0，则Jr=θE，左右行列式不等，矛盾．若s=1，由Jr=θJ，有(fr-θfs)J=0，由J≠0，故fr=θfs．若d=-a，不成立．若d≠-a，有

化简得(a+d)r-1=θ．

若s≥2，由Jr=θJs，有(fr-θfs)J=0，由J≠0，故fr=θfs．若d=-a，显然成立．若d≠-a，有

化简得(a+d)r-s=θ．命题得证．

注命题2、3中取θ=1，可以很容易得到一个2阶矩阵分别为幂等矩阵、幂幺矩阵和(r,s)幂等矩阵的充要条件．

命题4假定J1和J2是任意两个2阶矩阵，对某个2≤m∈N，有(J1J2)m=(J2J1)m成立，则J1J2=J2J1，除了下列两种情形：

(1)tr(J1J2)2-4|J1J2|≠0；

(2)tr(J1J2)=|J1J2|=0

证明由定理1，(J1J2)m=fmJ1J2-fm-1|J1J2|E，(J2J1)m=fmJ2J1-fm-1|J2J1|E，2≤m∈N．这里

如果fm=0，(J1J2)m=-fm-1|J1J2|E=(J2J1)m．如果fm≠0，(J1J2)m-(J2J1)m=fm(J1J2-J2J1)．得证．

(1)tr(J1)2=4|J1|≠0；

(2)tr(J1)=|J1|=0

(3)tr(J2)2=4|J2|≠0；

(4)tr(J2)=|J2|=0

(2)若J1和J2对矩阵的乘法是交换的，则自然是平方交换的；若tr(J1J2)=0，则J1和J2对矩阵的乘法一定是平方交换的．除了J1J2≠J2J1，tr(J1J2)=0(满足这种条件的两个矩阵都是不交换且平方交换的)，有(J1J2)2=(J2J1)2当且仅当J1J2=J2J1．进一步地，J1和J2对矩阵的乘法是不交换且平方交换的充要条件是a1a2+b1c2+c1b2+d1d2=0且下列至少某一个式子成立：(i)b1c2≠c1b2；(ii)b1(a2-d2)≠b2(a1-d1)；(iii)c1(a2-d2)≠c2(a1-d1)．

3 结 语

本文研究了2阶矩阵的方幂与交换性，得到了2阶矩阵分别是幂零矩阵、广义幂等矩阵、广义幂幺矩阵和广义(r,s)幂等矩阵的充要条件，研究结果在矩阵代数、群论等代数领域可以有广泛的应用．对于更一般的n阶矩阵，它们的方幂与交换性也是一个值得研究的问题．