《数学分析》初学中存在的问题及其成因

王雅萱

◆摘  要：《数学分析》学习是个难点。本文分析大一学生在概念定义、数学观念、问题解决、知识结构、自主自学和数学思考等方面存在问题及其成因，以提高《数学分析》教和学的效果。

◆关键词：《数学分析》;数学学习;学习能力

《数学分析》内容理论性比较强，抽象严谨，客观上给学生造成了理解难度，初次学习不易获得学习成功感受。多数学生被动学习《数学分析》，表现为死记硬背，不求甚解，套用教材例题完成作业，学习《数学分析》仅为了考试通过，缺乏学习兴趣和动机。本文针对目前大一学生学习《数学分析》存在问题及原因进行探讨，或许对《数学分析》教与学有所启发。

1概念定义方面

《数学分析》概念是《数学分析》思维基本形式，而概念的形式化和符号化结果是概念定义，是抽象的。学生能够理解概念表象，但并不能运用概念定义按照逻辑规则证明命题或解决问题，尤其不能用概念定义构造思路，表现为概念内涵理解不到位。如，学习了函数极限ε–δ多种定义后，不会利用定义证明函数极限题目，不能表达“因变量变化趋势”与“自变量变化范围或邻域”之间的相互依赖的量的关系。这些问题产生缘由，一方面在于学生思维方式还处于初等数学经验型，没能过渡到形式化思维，对于定义中涉及到符号逻辑关系理解不清。学生对概念的建构也仅仅是处在一个程序阶段，没有进入抽象阶段。所以，他们难以建立来自于数学结构的思维方式。另一方面在于教师教学时，没有创设概念定义的认知图式，不利于形成丰富的概念具象;没有从言语、符号、图形等表征有逻辑地推理式理解，不能形成定义的模式结构，在证明过程中也就不能有效的利用模式定义构建思路。

2数学观念方面

有的学生认为数学是一种游戏，学数学是背记定义定理，套例题，练习习题，要想解决数学问题必须多练习，借用典型题目是学生常用解题策略，至于其中的数学思想方法不作为学习任务。学生不去提供实际例子来说明教师的讲课内容。对于数学考试中的问题，在他们看来，研究试题的求解对考试来说是比较有用的，而定理的证明往往不太有用，除非考试前有明确告知。而授课过程中的一些评论或注释则认为是比较有用的，这大概是因为考试中会涉及到这些知识点的缘由。如，初学《极限与连续》时，它涉及到极限理论相对抽象，学生不愿思考概念的来龙去脉，只是把重点放在求极限的例习题上。这些问题产生缘由，一方面在于学生在数学学习经历中形成的传统认识，以为数学知识是真理，学生只能复制运用。即使到了高等数学阶段学习，科学数学观念仍然没有建立起来，表现为只注重数学思维的结果而不注重思维的过程，缺乏批判数学知识的意识性和主动性，很少去“再创造”自己数学知识。另一方面在于教师教学时，提供给学生都是一些算法和常规训练，这就使得学生在解决这类问题时也惯于进行常规思维，高水平认知技能得不到锻炼，《数学分析》思维也就得不到发展。机械地传授知识，没有引导学生深究知识的来龙去脉，也没有发掘学生的数学发现能力，学生的数学观念得不到有效的纠正。

3问题解决方面

学生解决问题仅限于模仿例题完成，独立地运用所学知识解决实际问题或证明命题感觉不足，课后练习参考答案或抄袭别人情形居多，没有形成应用《数学分析》知识解决问题的能力和信心，学生对问题解决表现出一些恐惧，尤其是证明题目，不能从所学知识中构造出解题思路，不能全面地考虑推理过程，不能理解逻辑推理的数学意义和本质，对于解决数学问题是旁观者。产生这些问题缘由，一方面在于学生沿袭以往的解题模式，缺乏条件和结论以及所涉及到的数学模型的全局性思考，不具备研究性思维方式。另一方面在于教师教学时，为了赶任务和进度，只重视知识传授，学生数学思考能力培养不足，没有在问题解决过程中进行数学知识和方法学习，没有采用探究性学习方式。在证明命题教学中，没有引导学生使用模型、例子、视觉等表达数学，即解释数学，Moore（1994）提出解释性对话是一种元数学，证明需要解释来揭示证明的思想内涵。其次，没有提出证明的一个全局的视角，即证明框架，Leron（1985）认为证明框架就是意味着证明思路的一个高水平结构的表征，依赖于细节性知识，可能是一个命题序列，或是一个整体思路。要激发学生讨论各种证明方法和思路，学会构造例子解释，并体会证明中的推理规则和逻辑结构。

4知识结构方面

学生初学《数学分析》时，仅掌握一些孤立的定义、定理和例题习题，至于其内在联系学生不大注意，认为没必要搞清楚，只会做题考试就行。学生知识成线性化、条块化和平面化，没有形成网络化、层状化和立体化，不利于知识的利用和提取。知识间内在联系不紧密，不能面对问题提取信息构成解题模式。如，学生学了极限、连续和导数后，仅限于孤立内容的数学问题解决，对于综合题目以及证明推理问题感到困难。造成问题缘由，一方面在于学生对知识学习的意义没搞清楚，对知识之间的内在逻辑没搞清楚，没有很好地应用知识解决问题，没有按照数学家研究数学的过程体会知识的来龙去脉，正如Tall所说的三个世界的行进：感知—运算—形式化，对所学知识没能进行反思，知识之间的联系和信念也体会不到，没有形成对知识内容的学习看法。另一方面在于教师教学时，过分强化习题演练，没有引导对新旧知识的对比分析，对问题解决中的数学知识思想方法的分析应用强化不够，没有对所学知识进行归纳总结，甚至一本书的思想认识的分析串讲。

5自主自学能力

初学《数学分析》时，大学生对内容体系和作用意义不够清楚，没有应有的内在学习动机和兴趣。表现为，不做课前预习，也不做相似教材的比较学习，不能主动地学习《数学分析》。刚上大学时，也不知道怎样做笔记，听老师讲课，做作业，面对一堂课这么多的定义定理，又复杂又抽象，感觉到仅靠记忆有些力不从心，必要的学习方法不能及时形成，不能跟踪教师做好《数学分析》深度学习。造成这些问题缘由，一方面学生形成《数学分析》学习方法，仍是惯用高中学习方式，模仿例题做习题，来应付考试，不能抓住《数学分析》的知识核心本质，体会不到数学知识的思想方法。另一方面教师教学时，没有比较初等数学与《数学分析》的特点，知识体系结构的形成，以及课程与教学的要求，尤其是大学数学的形式化、系统化和演绎化的看法，以及这些知识内容背后的探究过程，以至于提供帮助学生理解的具体素材，如具体直观的表达形式，数学家发现知识的原始路径，专业知识背景的数学模型了解等。

6数学思考能力

初学《数学分析》时，多数学生没有发展起元数学思考能力，即确信性和解释性的关系性思考，仅限于操作性思考，也没有发展起来辩证思维能力。形式推理能力水平不高，影響着学生对《数学分析》的知识思考，数学定义的形式化认识不能有效形成，不能利用概念定义进行证明思路的构造，对数学知识产生的内在逻辑联系搞不清楚，影响着《数学分析》的进一步学习，没能实现《数学分析》改善学生数学思维方式的目的。造成这方面问题的缘由，一是学生没有从数学知识产生的角度体会知识产生的缘由，以及知识产生过程的本原性思考，不能产生对数学知识系统认识。另一方面，教师教学时，教师过多围绕知识安排教学，没有对数学思考进行引导，没有从知识思想方法引导学生对知识进行思考，以及批评质疑。在《数学分析》教学时，要进行辨证分析，进而在合情推理能力训练的基础上，关注学生逻辑思维能力的培养。

大学生在初次学习《数学分析》中存在许多难以克服的问题，分析其产生缘由，及时查漏补缺，总结反思，有助于掌握《数学分析》的学习方法，也有助于教师提高《数学分析》教学的有效性。

参考文献

[1]曹荣荣.理工科大一学生高等数学思维研究[D].华东师范大学，2011，5.

[2]Morre，R.Making the transition to formal proof. Educational Studies in Mathematics，1994，27：249-266.

[3]Leron，U.Heuristic presentations：The role of Structuring. For the learning of Mathematics，1985，5（03）：7-13.

[4]Tall，D.Introducing three worlds of mathematics. For the learning of mathematics，2014，23（03）：29-33.