一类随机泛函微分方程的μ伪概自守解

2021-07-28朱平

河南教育学院学报（自然科学版） 2021年2期

朱平

(洛阳师范学院数学科学学院，河南洛阳 471934)

0 引言

在描述随机动力系统时，带有时滞的随机微分方程更能精确地刻画相应的动力学性质[1-2]。此外，自概自守随机过程提出以来，越来越多的学者对该过程进行深入研究并应用到随机微分方程[3-6]。作为概自守随机过程的推广之一，μ伪概自守随机过程由DIOP M A等提出[7]，并研究其复合定理和空间完备性。到目前为止，μ伪概自守随机过程在随机泛函微分方程中的研究甚少，尤其是中立型随机微分方程。为使μ伪概自守随机过程的应用更广，本文研究如下一类由Brown运动驱动的带有μ伪概自守系数的非线性随机泛函微分方程

(1)

在合适的条件下，证明该随机微分方程存在唯一的p次μ伪概自守温和解。该结论的研究进一步丰富了μ伪概自守随机过程的复杂动力学，因此，本文的研究有重要的理论意义和价值。

1 基本知识

令(Ω,F,P)是完备的概率空间，其滤子为{Ft}t≥0。令W(t)是Q-Wiener过程，对一个Banach空间(H,‖·‖)和p≥1，用B=B((-∞,T],H)表示范数‖·‖B的完备空间，且对任意的X∈B，有Xt=X(t+·)∈B。此外，用Lp(P,H)表示所有H值的随机变量X构成的集合，满足

设A:D(A)→H是解析半群{T(t)}t≥0的无穷小生成元，则对β>0(A-βI)是可逆的。假设0∈ρ(A)，其中ρ(A)是A的预解集。进而，可在定义域D((-A)β)上定义闭线性算子(-A)β，且对t>0,λ>0有‖(-A)βT(t)‖≤Mβt-βe-λt。

令B1是R上所有的Lebesgueσ-域构成的集合，M是B1上所有的正测度μ构成的全体，满足μ(R)=+∞且μ([a,b])<+∞,对a,b∈R。此外，设

H0对所有的τ∈R，记μτ(A)=μ(a+τ:a∈A),A∈B1，则存在α>0和有界区间I满足

μτ(A)≤αμ(A)，

其中A与I无交集。

下面介绍一些定义和引理。

定义1[7]令μ∈M，称随机过程X是p次μ遍历的，如果

记所有这种随机过程的集合为PAA0(R,Lp(P,H),μ)。

引理1[7]令μ∈M满足H0，则PAA0(R,Lp(P,H),μ)是平移不变的。

定义2[7]称随机过程X:R→Lp(P,H)是p次μ伪概自守的，如果X=X1+X2，其中X1是p次概自守的即X1∈AA(R,Lp(P,H))且X2∈PAA0(R,Lp(P,H),μ)。记所有这种随机过程构成的集合为PAA(R,Lp(P,H),μ)。在上范数‖·‖∞下,对μ∈M是Banach空间。

2 存在唯一性

在介绍本节主要结论之前，先给出以下假设。

H1存在正常数M0和δ满足

‖T(t-s)‖≤M0e-δ(t-s)。

H2g∈PAA(R×Lp(P,H)×B,Lp(P,Hβ),μ)，对任意的t∈R，y,y1∈B以及x,x1∈Lp(P,H)，有

H3h∈PAA(R×Lp(P,H)×B,L(P,Lp(P,H)),μ)，对任意的t∈R，y,y1∈B以及x,x1∈Lp(P,H)，有

定义3称Ft-适应的随机过程x(t)是随机微分方程(1)的温和解，若

定理1令H1～H3成立，若

(2)

则随机微分方程(1)存在唯一的μ伪概自守温和解。

证明对任意的x∈PAA(R,Lp(P,H),μ)，定义算子Φ为

(Φx)(t)=T(t)[x(0)-g(0,φ(0),φ)]+g(t,x(t),xt)+

在条件H2和H3下，不难证明g(t,x(t),xt)和h(t,x(t),xt)是μ伪概自守的随机过程，从而可推出T(t)[x(0)-g(0,φ(0),φ)]是μ伪概自守的。根据定义2可知，存在随机过程g1,h1∈AA(R,Lp(P,H))以及g2,h2∈PAA0(R,Lp(P,H),μ),使得g=g1+g2并且h=h1+h2。因此Φ(t)=g(t,x(t),xt)+Φg1,h1(t)+Φg2,h2(t)，其中

下面分两步进行证明。

第1步算子Φ是定义在空间PAA(R,Lp(P,H),μ)上的自映射。