二维张拉整体结构的极限承载力

于晓明， 纪燕霞， 周克元

(1.宿迁学院 建筑工程学院，江苏 宿迁 223800; 2.西安建筑科技大学 土木工程学院，陕西 西安 710055)

张拉整体结构(tensegrity)是由R.B.富勒在1962年的专利中明确提出的新型结构体系[1]，随后的研究也对其提出了不同的定义[1—5]，该类型的结构是由连续受拉的索和间断受压的杆组成的自平衡结构体系，具有高水平的几何、结构和经济效率.

过去的几十年里，在建筑、土木工程、生物学、机器人和航空航天等领域，张拉整体结构的概念受到科学家和工程师的极大关注，但张拉整体结构在土木工程的实际工程应用却很少.这些极少数的著名工程案例主要有：Parnesso和Passera为2002年瑞士在伊弗顿举办的国家展览会提出的张拉整体的平台[6]和艾格尔的赛车场设计的张拉整体式屋顶[7]；建于2003年的由Klimke和Stephan[8]设计的Rostock塔等.随后，越来越多的研究开始探索将张拉整体结构应用于工程：Motro发起了双层张拉整体网格的研究[9]；Hanaor[10]介绍了双层张拉整体网格方面的设计； Quirant等[11]研究了张拉整体结构设计的不同阶段，提出了一种双层张拉整体结构的设计方法，并将其应用于81 m2的双层张拉整体结构；陈志华[12—16]和罗尧治[17—18]等通过实验研究了张拉整体结构的静、动力特性.

张拉整体结构由压杆和拉索组成，压杆的失稳或拉索断裂均可能导致结构的失效[19]，Palumbo[20]及 Ingber[21]对不同尺度上受压杆的后屈曲行为做了分析，包括宏观尺度上的空间结构，微观尺度上的细胞骨架结构.张拉整体结构的结构分析大多是基于这样一个假设，即所有结构构件都是理想的弹性体，能够按照胡克定律线性的拉伸和压缩[22].例如：Kondoh和 Atluri建议使用“弹性”解直接考虑压杆的后屈曲[23]；Coughlin和 Stamenovi采用6根细长杆与24根线弹性索相互连接的扩展八面体研究压杆可在受压下发生屈曲，其后屈曲行为由经典的两端铰接承受轴向荷载的欧拉方程确定[24]；Volokh提出了一种用高精度多项式逼近的“弹性”问题解来描述细长压杆的后屈曲行为的方法[25]；Rimoli直接将压杆假设为非刚性的弹性构件，采用基于物理的降阶模型对张拉整体结构进行了研究[26].

上述研究中，对面向工程应用的基于压杆失稳的张拉整体结构的极限承载力如何求解涉及很少.本文以“X”型二维张拉整体结构为例，分析其在静力荷载作用下受力状态，得到基于压杆在不同受力状态下发生失稳的极限荷载的解析解，以期为相关的研究和工程实践提供理论依据.

1 基本假设

1)假设结构所使用的材料均为线弹性.

2)结构中构件的自重与其承载力相比较小，为方便计算，在此次分析中忽略构件的自重.

3)假设结构的所有节点为光滑无摩擦的理想铰节点.

2 计算模型

张拉整体结构存在两种失效模式：①随着外荷载的增大，索达到破坏荷载而破断,从而使整个结构丧失承载能力；②压杆达到其临界荷载,造成压杆的屈曲破坏,从而使整个结构丧失承载能力.本文只讨论杆与张拉整体结构的极限承载力的关系.

本文选取Snelson提出的“X”型二维张拉整体结构，见图1.图1中，细实线表示受拉索，粗实线表示受压杆.当索为连续张拉，且两个受压杆长相

图1 计算模型简图

3 模型的受力分析及极限承载力的求解

A点的集中力F从0开始以静力荷载形式缓慢增加时，该结构的受力状态可以分为3个阶段.第1阶段：AB和AO的内力逐渐增加，而由于A点向下的位移导致AC拉索出现松弛，预应力逐渐减小直至内力为0.在此阶段，拉索AC出现松弛，但未退出工作.第2阶段：AC退出工作，集中力F继续增大，AB和AO的内力继续增加，直至AO发生失稳.第3阶段：F数值继续增加，AO发生失稳，结构失效.

本文主要分析前2个阶段，通过分析过程可以了解张拉整体结构的工作机理和破坏状态，并可求解特定受力状态的极限荷载.为了方便计算出最终结果，以下以小变形理论为基础以简化分析过程.

3.1 第1阶段

AC出现松弛，但参与工作，此时A点受竖直向下的力为F，取节点A为研究对象(图2)，可列平衡方程：

图2 结点A受力分析图

(1)

由自应力平衡状态平衡方程有

(2)

将(2)式带入(1)式经简化得

(3)

式中：T1，T2，T3和N1，N2，N3分别表示AB，AO和AC的预应力和F作用下的轴力，为求解上述方程需要引入变形协调条件，即3个构件在A点具有相同的位移.当A点未受到约束时，受压杆AO在A产生位移的原因有2种，即刚体转动和压缩变形.

当考虑AO的刚体转动时，分析图见图3，可建立如下方程：

图3 压杆发生刚体转动示意图

(4)

(5)

联立(4)式和(5)式，得

(6)

式中：x，y，x′，y′分别为以O点为圆心A和A′点的坐标;L和α分别为AO的原始长度及其与x轴的角度;Δx，Δy分别为A点水平位移和竖向位移，即水平索AB和竖直索AC长度的增量;Δα为AO的发生刚体位移转动微小的角度.

利用(6)式可得

将α=45°带入上式并进行化简可得

通过上式容易得到水平索AB和竖直索AC的应变关系为ε1=-ε3.当考虑压杆AO只发生压缩变形而非刚体转动时可得ε1=ε2=ε3.实际结构中需要将AO的刚体转动和压缩变形同时考虑，如果引入拉索和压杆等具体参数即可将上述问题利用叠加法解决.

在实际应用中，图1所示“X”型二维张拉整体结构若只作为结构中的一个单元(图4)，A点受到约束只存在竖向位移，因此，基于上述分析过程并化简可得ε3=2ε2.由于本文目的在于说明此种类型结构的极限荷载的计算方法，为简单起见，可假设拉索和压杆具有相同的弹性模量和截面积，由此可得

图4 “X”型组合的结构示意图

N3=2N2，

(7)

由(7)式和(3)式可得到

(8)

则“X”型张拉整体的极限承载力为

(9)

式中：Fcr为极限承载力；Ncr为基于稳定的压杆的极限荷载.由于压杆的两端为拉索，压杆属于两端具有弹性支撑的情况，结合文献[18]的相关结论：当压杆两端的弹性支撑刚度超过某一阀值时，压杆的屈曲荷载与两端刚性铰支杆的相同，假设拉索的弹性支撑的刚度满足阀值要求，Ncr可视为两端铰支的压杆，其数值可由欧拉公式计算，即

(10)

式中:S为安全系数，一般取值为2.5～3.0.

至此，AC出现松弛，但未退出工作阶段的极限荷已经计算完毕.

3.2 第2阶段

若压杆在第1阶段没有出现失稳，结构受力进入第2阶段.拉索AC由于松弛而退出工作，原等代结构转变为静定结构(图5).仍然取A点为研究对象可列方程为

图5 拉索AC退出工作示意图

(11)

容易解得

(12)

此时“X”型张拉整体结构的极限承载力为

(13)

至此，AC出现松弛并退出工作，“X”型张拉整体结构的极限承载力计算完毕.

3.3 外力与和构件的内力关系

若压杆在第2阶段出现失稳，则可以绘制出F与N2关系函数图像，见图6.由图6可以看出：若压杆承载能力能够保证结构的受力状态进入第2阶段，其轴力在第1阶段会随外力F的增长较快，而在第2阶段出现放缓.其原因可解释为，竖直拉索预应力在第1阶段随着F的增加逐渐减小，压杆AO增加相同的内力时，F还需补充拉索对A点减少的力；而在第2阶段竖直拉索预应力减小为0而退出工作，F已在第1阶段对预应力补充完毕，因而相对于第2阶段，其在第1阶段的曲线斜率较小.

图6 荷载F与压杆内力N2关系曲线

4 结语

本文提出“X”型二维张拉整体结构在静力荷载作用下受力状态可以分为3个阶段，并在基本假设前提下对前2个阶段进行理论分析，得到基于压杆在不同阶段发生失稳的极限荷载的解析解.通过分析可以理解此种二维张拉整体结构的受力机理和结构的破坏状态，求解出的极限荷载的解析解，为此种结构的设计和施工提供理论依据.然而，由于上述求解过程建立在基本假设的前提下，实际上节点连接并非光滑无摩擦的理想铰节点，结构受力体系存在几何非线性等，因此此种张拉整体结构的承载力仍需进一步研究.