关于块Hadamard 积的Oppenheim 型不等式

刘俊同，沈亚光，李 龙

（1.阜阳师范大学 数学与统计学院，安徽 阜阳 236041；2.安徽省阜阳第一中学，安徽 阜阳 236000）

半正定（分块）矩阵在矩阵理论中占有十分重要的地位，在物理学、概率论、量子信息论以及优化理论等诸多学科都有着重要的应用。矩阵的Hadamard 积是一种特殊的矩阵乘积，被广泛地应用于量子计算、编码理论、物理学和区组设计等问题中。基于这些重要的应用背景，半正定（分块）矩阵的Hadamard 积的特征值和行列式问题一直备受国内外专家学者的关注。

给定两个n级矩阵A=（aij）和B=（bij），矩阵A和B的Hadamard 积（或Schur 积）用A◦B=（a ij bij）表示。Oppenheim[1]281-290于1930 年证明了下述不等式：给定两个n级半正定矩阵A和B，则有

上述不等式被称为Oppenheim 行列式不等式。

Lynn[2]和Ando[3]分别推广了不等式(1)，给定两个n级半正定矩阵A和B，则有

等价地

Chen 在文献[4]中推广了上述不等式(2)，得到了如下更整齐的结果：给定两个n级半正定矩阵A和B，则有

Gunther和Klotz[5]推广Oppenheim行列式不等式(1)到分块半正定矩阵得到如下结果：设

都是p×p分块半正定矩阵且矩阵A和B是块可交换的，矩阵A和B的每一块都是n×n的，则有

这里A□B表示矩阵A和B的块Hadamard 积，A□B的具体定义见下面的定义1。

Lin 进一步推广了Gunther 和Klotz 的行列式不等式(1)如下：设

都是p×p分块半正定矩阵且A和B是块可交换的，矩阵A和B的每一块都是n×n的，则有

这里

分别是矩阵

的第k个顺序主子矩阵。

本文将利用数学归纳法、半正定矩阵的基本理论以及不等式的构造和放缩技巧推广不等式（4）到更一般形式。

1 定义和引理

定义1[5]给定两个分块矩阵

其中每一块都是n×n的，称

为矩阵A和B的分块Hadamard 积，这里Aαβ Bαβ表示矩阵Aαβ与Bαβ的普通矩阵乘积。

定义2[5]给定两个分块矩阵

其中每一块都是n×n的，若矩阵A的每一个子块和矩阵B的每一个子块都可交换，则称分块矩阵A和B是块可交换的。

为了陈述和证明主要结果，我们需要下述引理

引理1[1]477-485设

是n级半正定分块矩阵，其中A11∈Mk，则有

特别地，有

其中Ak表示矩阵A的第k个顺序主子矩阵。

引理2[5]若A和B是两个n级半正定分块矩阵，且块可交换，则矩阵A□B也是半正定矩阵。

引理3设a和b是两个实数，且有a≥1，b≥ 1，则有

证明因为a≥1，b≥1，于是有

所以，有

2 主要结果

定理若

是一簇p×p分块半正定矩阵且是块可交换的，其中每一块都是n×n的，则有

这里

是矩阵

的第k个顺序主子矩阵。

证明由引理2，知A1□…□Am仍是半正定矩阵，我们对矩阵的个数k使用数学归纳法证明，当k=2时，定理归结于Lin 的结果（4），假设当

时，定理成立，即

成立，下证当k=m时，定理也成立，即证

通过不等式(4)，我们有

应用归纳假设，则有

记

应用引理1，通过不等式(5)，有

因此有xk≥1,yk≥ 1，利用引理3，有

结合(7)、(8)、(9)和(10)，式(6)可进一步化为det(A1□…□Am)

3 小结

本文结合半正定分块矩阵的基本理论、矩阵Hadamard 积的性质以及不等式的构造和放缩技巧，证明了半正定分块矩阵Hadamard 积行列式不等式的一个重要结果，推广了已有文献的结果。