椭圆曲线y2=29nx(x2+8)的正整数点

杜先存，孙 菊，李 薇

（红河学院 教师教育学院，云南 蒙自 661199）

椭圆曲线的整数点问题一直都是一个基本而又重要的问题。对椭圆曲线

整数点研究，目前已有一些结果，主要集中在b=1,2,8,32,64,128上[1-12]。本文对a=8 的情形进行研究，得出了如下定理：

定理若n≡5(mod8)为奇素数，则椭圆曲线

至多有1 个正整数点。

1 相关引理

引理1[13]若D是一个非平方的正整数，则丢番图方程x2-Dy4=1至多有1 组正整数解。

2 定理证明

证明因为n为奇素数，由(1)式知，设y=29nz，z∈Z，将其代入(1)得

由gcd(x,x2+8)=gcd(x,8)=1或2 或4 或8，可以将(2)式分解为以下4 种情况（k=1,2,4,8）：

（Ⅰ）x=ka2，x2+8=29nkb2，z=kab，gcd(a,b)=1，a,b∈Z+；

（Ⅱ）x=29ka2，x2+8=nkb2，z=kab，gcd(a,b)=1，a,b∈Z+；

（Ⅲ）x=nka2，x2+8=29kb2，z=kab，gcd(a,b)=1，a,b∈Z+；

（Ⅳ）x=29kna2，x2+8=kb2，z=kab，gcd(a,b)=1，a,b∈Z+。

其中，k=1,2,4,8。

下面对这4 种情况依次进行讨论：

情形Ⅰx2+8=29nkb2两边同时取模n，得

又n≡5(mod8)为奇素数，故Legendre 符号值

因此(3)式不成立，所以该情形不成立，即椭圆曲线(1)无正整数点。

情形Ⅱx2+8=nkb2两边同时取模n，得

仿情形Ⅰ的证明知，该情形不成立，即椭圆曲线(1)无正整数点。

情形Ⅲx2+8=29kb2两边同时取模29，得

因为Legendre 符号值

因此(4)式不成立，所以该情形不成立，即椭圆曲线(1)无正整数点。

情形Ⅳ分为4 种情况。

（1）当k=1时，有x=29na2，x2+8=b2，将x=29na2代入x2+8=b2，得

两边同时取模n，得

又n≡5(mod8)为奇素数，故Legendre 符号值

因此(5)式不成立，所以当k=1 时，情形Ⅳ不成立，即椭圆曲线(1)无正整数点。

（2）k=2时，有x=58na2，x2+8=2b2，将x=58na2代入x2+8=2b2，得

由(6)式知b为偶数，设b=2c，c∈Z，得1682n2a4+4=4c，即

因gcd(a,b)=1，则a为奇数。又n≡5（mod8）为奇素数，故(7)式左边为奇数，右边为偶数。所以当k=2时，情形Ⅳ不成立，即椭圆曲线(1)无正整数点。

（3）k=4时，有x=116na2，x2+8=4b2，将x=116na2代入x2+8=4b2，得

两边同时取模n，得

又n≡5(mod8)为奇素数，Legendre 符号值

因此(8)式不成立。所以当k=4时，情形Ⅳ不成立，即椭圆曲线(1)无正整数点。

（4）k=8时，有x=232na2，x2+8=8b2，将x=232na2代入x2+8=8b2，得

即

由引理1 知方程(9)至多有两组正整数解，因此k=8时椭圆曲线(1)至多有1 个正整数点。

综上，椭圆曲线(1)至多有1 个正整数点。