成渝地区城际铁路网络特性与 脆弱性分析

张光远，张 帆，刘泳博

（1.西南交通大学 交通运输与物流学院，四川 成都 610031；2.西南交通大学 综合交通运输智能化 国家地方联合工程实验室，四川 成都 610031；3.西南交通大学 唐山研究生院，河北 唐山 063000)

0 引言

城际铁路网络作为区域交通一体化中重要的组成部分，对区域经济发展有着至关重要的作用。基于复杂网络理论的高速铁路网络研究方面，王莹等[1]运用复杂网络理论，以运行时间作为线路权重，在充分考虑乘客出行特征的情况下对高速铁路运输服务网络进行重构，从中转换乘角度分析高速铁路运输网络。于宝等[2]分析不同发展时期的高速铁路路网，研究各个时期路网性能指标和脆弱性的纵向演化。张兰霞等[3]从高速铁路地理网络、服务网络和车流网络等角度对地理网络在受到攻击时的可靠性展开研究。近年来，随着我国城际铁路路网布局不断完善，成渝地区城际铁路路网线路也在不断增加，逐步形成“5骨架18辅助”的城际网，其复杂网络特性愈加凸显，因而选取成渝地区城际铁路网络作为研究对象，在既有研究的基础上，运用复杂网络理论，结合《成渝地区城际铁路建设规划(2015—2020年)》(川发改[2014]142号)[4]，构建城际铁路网络拓扑模型，并通过复杂网络的特性参数指标，分析成渝城际铁路的网络特性及网络类型，然后模拟随机攻击和蓄意攻击下网络性能的全局变化，分析网络的脆弱性，为保障成渝地区城际铁路网络的平稳运营及路网规划提供参考。

1 成渝地区城际铁路网络特性分析

现实网络一般分为完全规则网络、完全随机网络、无标度网络和小世界网络[5]。网络的特征指标决定网络的类型，对于成渝地区城际网络类型的判断，需要通过构建城际铁路网络拓扑模型，并依据网络的基本指标分析得到。

1.1 复杂网络拓扑模型构建

城际铁路网络包括节点和线路2个基本要素，具有复杂网络的特性。因此，基于复杂网络理论的拓扑规则构建成渝城际铁路网络。为了研究成渝城际铁路网络特性，对城际铁路网络的构建说明如下。

（1）以《成渝地区城际铁路建设规划(2015—2020年)》的数据为基础，分析其线路规划图。成渝地区城际铁路网络拓扑图如图1所示。

图1 成渝地区城际铁路网络拓扑图Fig.1 Topological map of intercity railway network in the Chengdu-Chongqing region

（2）城际铁路网络采用Space L的构造方法[6]，其拓扑结构可以看成由“点—线”构成的拓扑网络，将已经运营的线路和规划在建的线路都考虑在内。

（3）由于城际铁路网络各节点之间具有相互连通性，因而忽略城际铁路网络线路方向的考虑。

1.2 复杂网络特性参数选取

（1）节点度。在复杂网络理论中，度是网络特性中一个很重要的指标。在无向图中，某一节点的度表示与该节点所连的边数。在城际铁路网中指某一节点与其他节点存在直接连通的线路的条数。节点度计算公式如下[2]。

式中：ki表示节点i的度；aij表示与城际铁路网络相对应的邻接矩阵中第i行第j列位置的变量。

（2）平均路径长度。城际铁路网中，N个节点之间两两成组共有种组合，平均最短路径指所有节点两两成组的节点之间的最短距离之和与组合数之间的比值，其中，最短距离以区间数进行衡量。平均最短路径反映网络节点之间的离散程度，计算公式如下[3]。

式中：L表示平均最短路径；dij表示节点i，j之间的最短路径。

（3）聚类系数。聚类系数是表示网络是否紧密的一种定量描述，表示各个节点在网络中的聚集状态。在城际铁路网络中，通常将其定义为节点i与其邻居节点之间的实际连接线路的数量与可能的最大连接线路数量的比值，计算公式如下[5]。

式中：Ci表示节点i的聚类系数；Ei表示节点i与相邻节点间实际的连接边数。

1.3 复杂网络类型确定方法

确定复杂网络的类型是利用复杂网络理论解决交通问题的首要条件。完全规则网络中每个节点只与相邻节点相连，聚类特性显著。随机网络平均路径长度较小，但其聚类特性不显著。随机网络的平均路径长度和聚类系数的计算公式如下[6]。

式中：LR表示随机网络的平均路径长度；K表示网络平均节点度。

式中：CR表示随机网络的平均聚类系数。

结合公式(4)与公式(5)得到4种网络的判断条件，4种复杂网络的判断条件如表1所示。其中，C表示所计算的网络的平均聚类系数，即网络中全部节点的聚类系数的平均值。

1.4 复杂网络特性分析

1.4.1 复杂网络特性参数计算分析

根据成渝城际铁路在Space L的网络结构，分别计算和分析网络的基本特征值。结合公式(1)至公式(3)，对以上网络模型分别进行邻接矩阵网络特征值计算，并得到各节点的指标大小及分布。成渝城际铁路网络各节点指标如图2所示。

表1 4种复杂网络的判断条件Tab.1 Judgment conditions of four complex networks

由图2a与2b可知，成渝城际铁路网络中85%的节点度分布在2 ~ 4之间，平均度为2.933，有43%的节点度小于平均节点度，节点度较高的节点主要有成都、重庆、眉山、达州等。由图2c与2d可知，成渝城际铁路网络中，70.6%的节点聚类系数为0，因而网络中相邻节点之间很难构成全局耦合，当网络中某节点发生故障时，将会导致部分区间无法运行，影响运输效率。

1.4.2 复杂网络类型分析

根据复杂网络类型确定方法，结合复杂网络特性参数计算分析，对整个成渝城际网络的复杂网络类型进行分析，得到成渝城际铁路网络特征指标。成渝城际铁路网络特征指标如表2所示。

结合表2指标值与公式(4)和公式(5)，计算可得L= 4.917，LR=4.012，C= 0.085，CR=0.039，因而成渝城际铁路网络的平均路径长度与平均聚类系数满足L≥LR，C≫CR，符合小世界网络的判断标准，因而可以判断成渝城际铁路网络是一个小世界网络。

同时，根据各节点的度，绘制城际铁路网络在Space L的累计度分布图，累计度分布曲线如图3所示。根据图3可知，Space L累计度的分布曲线可以近似拟合成幂律分布，分布函数如下。

式中：Pk表示度的概率分布值；k表示节点的度；R2为判定系数。

通过分析结果发现，拟合的判定系数R2在96%以上，其节点度的分布满足幂律分布。因此，根据无标度网络判断的依据可知，成渝城际铁路网络为无标度网路。

图2 成渝城际铁路网络各节点指标Fig.2 Indexes of nodes in Chengdu-Chongqing intercity railway network

表2 成渝城际铁路网络特征指标Tab.2 Characteristic index of Chengdu-Chongqing intercity railway network

综上，可以判断出成渝城际铁路网络既是一个小世界网络，同时又是一个无标度网络。

1.4.3 不同网络比较分析

为更好地反映不同地区城际铁路的差异性，将成渝城际铁路网络与同时期京津冀[7]、西北地区的城际铁路网络进行比较[8]。不同地区城际铁路网络特征如表3所示。经过比较发现，京津冀与西北地区的城际铁路网络规模较小、节点较少、聚类特性不够明显，而成渝地区的城际网络规模大、聚类特性明显，有着很明显的复杂网络特性。

图3 累计度分布曲线Fig.3 Cumulative degree distribution curve

表3 不同地区城际铁路网络特征Tab.3 Characteristics of intercity railway networks in different regions

2 成渝地区城际铁路网络脆弱性分析

2.1 关键节点识别与分析

由于成渝城际铁路网络具有无标度性，网络的无标度性反映网络的层级性，即少量的节点拥有着较多的衔接线路，对网络的性能指标有着显著性的影响[6]，根据节点的重要度识别出这些节点是网络优化的关键。城际铁路网络节点之间的链接关系和网页之间的链接关系类似，即：节点的重要度和被链接次数呈正相关；节点的重要度受邻居节点的影响，邻居节点的重要度越高，则节点的重要度也越高。

综合以上2点，采用Page-Rank算法对成渝地区城际铁路网络节点的重要度进行评价。各个节点PageRank值计算公式如下。

式中：PRi表示节点i的PageRank值；d表示阻尼因子，取值一般为0.85；PR(j)表 示 节 点j的Page-Rank值；Cout(j)表示节点j出度的数量。

由于PageRank算法的应用对象一般是有向网络，但是所研究的成渝地区城际铁路网络是一个无向网络，因而需要将网络转换成双向网络，然后再根据PageRank算法求各个节点的PageRank值。结合成渝地区城际铁路网络的数据，计算得到各个节点的PageRank值。各节点重要度排序如表4所示。

表4 各节点重要度排序Tab.4 PageRank value of each node

2.2 网络脆弱性分析

城际铁路网络的脆弱性是指在日常运营中，由施工、自然灾害等因素导致站点失效，进而影响到整个铁路运输网络的服务水平。因此，可以通过模拟随机攻击和蓄意攻击下成渝地区城际铁路网络的全局变化来反映整个网络的脆弱性。其中，蓄意攻击是指按节点重要度的大小，从高到低依次进行攻击；随机攻击是不区分节点的重要度，对节点随机进行攻击。成渝地区城际铁路网络的脆弱性可以通过网络效率和最大连通子图的相对大小来进行度量[9]。

2.2.1 网络效率

成渝地区城际铁路的网络效率是指节点受到攻击之前的全局网络效率，反映网络的效用情况和连通情况，计算公式如下[9]。

式中：E(G)表示网络G的网络效率。

描绘成渝地区城际铁路网络在随机攻击和蓄意攻击下网络效率的变化情况，网络效率变化情况如图4所示，为更好地观测节点失效对整个网络产生的影响，默认网络的初始网络效率性能为100%，以网络初始性能的50%作为网络崩溃的阈值[10]。从图4可以看出，随机攻击下城际铁路网络表现出一定的鲁棒性，其稳定性优于蓄意攻击。随机攻击下，在攻击初期，网络效率呈线性下降趋势，当攻击到第18个节点时，网络效率下降到47%。与随机攻击相比，蓄意攻击下城际铁路网络的脆弱性非常显著，当有6个节点被蓄意攻击之后，网络的效率急剧下降到48%，整个网络趋于瘫痪。因此，在城际铁路日常的运营中，应加强对重要节点的防护，以有利于增强整个网络的鲁棒性和抗毁性。

图4 网络效率变化情况Fig.4 Changes in network efficiency

2.2.2 最大连通子图的相对大小

最大连通子图指网络被攻击后被分成若干网络，其中包含节点最多的图为最大连通子图，而最大连通子图的相对大小指网络遭受攻击之后，最大连通子图损坏后与损坏前节点数的比值，反映城际铁路网络的抗毁性，计算公式如下[9]。

式中：J表示最大连通子图的相对大小；M '表示损坏后最大连通子图的节点数；M表示损坏前最大连通子图的节点数。

绘制成渝地区城际铁路节点在受到攻击后最大连通子图相对大小的变化情况，最大连通子图相对大小变化情况如图5所示，其反映网络的连通性，默认网络的连通性能为100%，以初始性能的50%作为网络崩溃的阈值。从图5可以看出，在蓄意攻击下，当有7个节点被破环时，整个网络的连通性能急剧下降到46.5%；而在随机攻击下，当有31个节点被破环时，网络的连通性能下降到47.9%。从连通性的角度可以看出，在面对随机攻击时，成渝地区城际铁路网络具有良好的稳定性，但是当网络遭受蓄意攻击后，网络表现得更加脆弱，当小部分的关键节点被破环时，整个网络被分割成多个独立的子网络，跨区域之间的运输将无法实现，网络的可达性和连通性受到较大的影响。

图5 最大连通子图相对大小变化情况Fig.5 Changes in the relative size of the maximum connected subgraph

3 研究结论

（1）成渝地区城际铁路网络的平均路径大于同等规模下的随机网络，且聚类系数远大于同等规模下的随机网络，属于小世界网络，同时，其节点度的概率分布服从幂律分布，又属于典型的无标度网络。

（2）通过PageRank算法对节点的重要性进行分析，挖掘出成渝地区城际铁路网络的重要节点。重要度排在前6位的节点分别为重庆、成都、自贡、达州、眉山和南充。因此，对于这些节点应重点关注，加强其在网络中的连通性。

（3）对成渝地区城际铁路网络进行随机攻击和蓄意攻击，结果表明：成渝地区城际铁路网络在随机攻击下表现为鲁棒性，在蓄意攻击下表现为脆弱性，这种现象在对网络的连通性能指标分析时表现得尤为显著。因此，为提升成渝地区城际网络的鲁棒性和抗毁性，对于关键节点应加强日常维护和安全防护，并制定事前预防策略，降低其自身出现故障的概率。同时还应制定节点失效后的修复方案，当出现重要节点失效的情况时，能够在最短的时间内启动节点修复方案，从而最大限度恢复网络功能。

（4）研究成渝地区网络时将其考虑为无权无向的网络模型，未考虑客流、区域经济等条件加权的影响，在今后的研究中将进一步结合上述条件展开研究。