∑1-SDD矩阵线性互补问题的最优误差界

李艳艳

（文山学院 数学学院,云南 文山 663099）

0 引 言

线性互补问题（Lcp(A,q)）的模型是指求x∈ Rn，满足

其中A是实矩阵，x,q是实向量.

文献[1]指出，当Lcp(A,q)中的矩阵A是主子式都为正的实矩阵（P矩阵）时，能较容易得到该问题唯一解的误差界.

2006年，陈小军等在文献[2]中给出了Lcp(A,q)中的矩阵A是主子式都为正的实矩阵（P矩阵）时的线性互补的误差界

其中r(x)=min{x,Ax+q}， ，d=[d1,d2,…,dn]T(0≤di≤1).

本文研究目前少有文献研究的H矩阵的新子类∑1-SDD矩阵的线性互补问题的误差界估计.首先给出∑1-SDD矩阵A的逆矩阵无穷范数的上界.其次，利用严格对角占优矩阵经典的线性互补误差界估计式，得到了∑1-SDD矩阵A的线性互补问题的误差界，进一步对该误差界的最优值进行了详细地分析.同时借助数值算例对估计式的优越性进行了说明.

1 预备知识

Pena在文献[9]中首次给出了H矩阵的新子类∑1-SDD矩阵，定义如下：

定义1[9]对于矩阵A=(aij)∈Rn,n，如果存在非空子集S⊆N,使得：

成立，则称A是∑1-SDD矩阵.

引理1[9]设A是主对角元素为正的∑1-SDD矩阵，X满足定义1.则存在对角矩阵且

对i∈N和γ∈Is，有

引理2[9]设矩阵A严格对角占优,则

2 ∑1-SDD矩阵无穷范数的上界估计

本部分利用构造的方法，给出∑1-SDD矩阵仅与矩阵元素有关的无穷范数的上界.

定理1设矩阵A=(aij)∈Rn,n是∑1-SDD矩阵，则

下面分类讨论:

接下来，研究∑1-SDD矩阵A的最小奇异值的下界.利用1-范数和∞-范数的关系，易得定理2，定理3.

定理2设矩阵，则

定理3设A=(aij)∈Rn,n，AT和A是∑1-SDD矩阵，则

当γ>1时，

当γ<1时，

3 ∑1-SDD矩阵线性互补问题的误差界

本部分研究∑1-SDD矩阵线性互补问题的误差界，同时对最优值进行详细地分析.

引理3[9]设A=(aij)∈Rn,n是对角元素为正的对角矩阵,且AX是严格对角占优矩阵,设

定理4设矩阵A=(aij)∈Rn,n是∑1-SDD矩阵，S⊆N,S≠∅,aii>0，令则对∀i,j∈N，有

证明直接应用引理便得结果.

下面分γ>1和γ<1讨论误差界的最优值.当γ>1时， 令若存在，则

定 理 5设 矩 阵A=(aij)∈Rn,n是 ∑1-SDD矩阵，S⊆N,S≠∅,aii>0，令=ID+DA=()，D=diag(di)，0≤di≤1，γ>1，

定理6设矩阵A=(aij)∈Rn,n是∑1-SDD矩阵，S⊆N,S≠∅,aii>0，令=I-D+DA=()，D=diag(di)，0≤di≤1，γ<1，，则

证明(1)若，且γ

因为g′(γ)< 0，则g(γ)在区间上为单调递减函数，于是

证毕.

4 数值算例

例1设，经验证当S={1}时，A1为∑1-SDD矩阵，且，应用定理5计算得

例2设经验证当S={1,2}时，A2为∑1-SDD矩阵，且应用定理5计算得

本文的研究将线性互补问题误差界研究的矩阵进行了扩充，填补了对于∑1-SDD矩阵该类问题研究的空白.得到的结果，不仅形式简单，且由于只与矩阵元素有关，易于计算.与已有关于线性互补误差界问题研究方法相比，定理5、定理6在定理4的基础上，利用函数的单调性讨论确定了含参数误差界的最优值.这也是对该类问题研究方法的进一步拓展和丰富.