轨迹跟踪的混合编码遗传优化模糊PID控制策略

2021-07-13王宏涛蒋清泽张强戴宁

哈尔滨工程大学学报 2021年7期

王宏涛，蒋清泽，张强，戴宁

(南京航空航天大学机电学院, 江苏南京 210016)

关节机器人轨迹跟踪PID(proportional integral derivative，PID)控制实质上是调整每个电机驱动的关节所对应的PID控制器参数，实现关节位置或速度的反馈控制。但是，电机驱动的饱和非线性、关节摩擦等机器人所固有的制约因素会导致控制稳定性降低并加大轨迹跟踪误差。为此，一些学者提出了将模糊控制与PID控制相结合的模糊PID控制方法，两者的结合可达到更好的控制稳定性和鲁棒性[1-5]。尽管如此，对于模糊控制的隶属函数中心顶点位置和模糊规则等模糊控制器设计参数以及PID控制参数等的选取和设计需要经验和专家知识，存在设计不合理时难以取得最佳控制效果的不足，于是有学者提出了运用遗传算法解决这一问题[4,6]。但是，采用遗传算法又可能引起染色体编码冗长，导致搜索空间过大、寻优效率降低，为此，Young等[7]提出了一种用特征参数表征模糊规则、隶属函数等设计参数来简化模糊控制器设计过程的方法，随后有学者提出直接对模糊控制器的隶属度函数参数进行编码的矩阵式个体编码[8]、模糊控制器模糊规则集和隶属函数联合编码并自适应选取交叉和变异概率[9]等简化方法，Jahedi等[10]则更进一步，将特征参数编码的遗传优化方法从应用于模糊控制器的设计过程推进到模糊PID控制器的设计过程，实现了动态供能系统能效增益的过程控制。

本文将模糊控制器设计参数直接编码和特征参数编码的混合编码策略应用于模糊PID控制器隶属函数和模糊规则的遗传算法优化，并应用优化后的模糊PID控制器实现关节机器人的轨迹跟踪控制。对比分析未经遗传算法优化的模糊PID控制器(FPID)、经直接编码的遗传算法优化后的模糊PID控制器(GAdirect-FPID)和经混合编码的遗传算法优化后的模糊PID控制器(GAhybrid-FPID)等3种控制器实现六关节机器人轨迹跟踪控制效果。

1 关节机器人动力学模型

考虑n关节机器人，忽略摩擦力及机器人末端负载，其动态性能可由二阶非线性动力学方程描述为：

(1)

2 轨迹跟踪模糊PID控制器设计

机器人轨迹跟踪模糊PID控制器结构如图1所示，图中qd表示关节机器人的期望角位移；q表示根据关节机器人动力学模型仿真获得的角位移；e表示qd与q的偏差，e=qd-q；ec表示偏差变化率，ec=de/dt；ΔKP、ΔKI、ΔKD表示PID调整参数；τ表示模糊PID控制器作用于关节机器人的关节力矩。

图1 模糊PID控制器结构

机器人轨迹跟踪模糊PID控制器具体控制原理为：首先将当前偏差e和偏差变化率ec作为模糊控制器的输入变量，经过模糊化后得到e和ec隶属不同模糊集的隶属度；然后根据模糊规则进行模糊推理得到输出变量ΔKP、ΔKI、ΔKD的模糊结果，通过解模糊化得到输出变量精确结果；接着利用ΔKP、ΔKI、ΔKD对PID控制器参数进行：

(2)

的在线自适应调整，最后得到模糊PID控制器作用于关节机器人的关节力矩τ：

式中：KP0、KI0、KD0为PID参数ΔKP、ΔKI、ΔKD的初值。模糊控制器的输入变量e和ec以及输出变量ΔKP、ΔKI、ΔKD的模糊集个数均设计为7个，取为{NL，NM，NS，ZE，PS，PM，PL}，即{负大，负中，负小，零，正小，正中，正大}。模糊集隶属函数选取最常见的连续三角形函数，对于模糊集个数为7的隶属函数，指定以零为中心的单侧3个中心顶点值即可，其余输入输出变量的隶属函数同。由2个输入变量的模糊集个数为7可得输出变量ΔKP、ΔKI、ΔKD的每一个变量所对应的模糊规则均为49条，每条模糊规则形式为：

本文设计的ΔKP、ΔKI、ΔKD模糊规则如表1所示。

表1 ΔKP、ΔKI、ΔKD的模糊规则表

3 模糊PID控制器的遗传算法优化

遗传算法优化关节机器人轨迹跟踪控制模糊PID控制器的算法主要步骤有：

1)根据模糊控制器的特征参数和设计参数取值范围，采用混合编码方法，随机生成N个个体染色体[a1,a2,…,a63]作为当前种群。

2)更新当前种群为父群。

3)读取当前种群第j(j=1,2，…,N)个染色体各个基因位编码，根据编码a1-a10生成新的输入变量e、ec和输出变量ΔKP、ΔKI、ΔKD的隶属函数，更新隶属函数；根据编码a11-a63产生新的输出变量ΔKP、ΔKI、ΔKD模糊规则，更新模糊规则。

4)运行模糊PID控制器完成轨迹跟踪控制仿真，获得t时刻机器人仿真轨迹与期望轨迹的偏差e(t)，计算目标函数值J。选择ITAE准则[12]设计控制器的目标函数：

(3)

式中:e(t)为t时刻的机器人仿真轨迹与期望轨迹偏差;T为运行模糊PID控制器完成一次轨迹跟踪控制仿真的总时间。

5)若个体染色体数量j不满足j>N，则j+1，进入步骤3；若满足j>N，则进入6)。

6)判断目标函数值的变化是否小于设定的阈值或者遗传代数是否达到设定值，若满足则结束；若不满足则进入7)。

7)排序当前种群中每个个体染色体对应的目标函数值，对当前种群进行选择、复制、变异、交叉等遗传操作，生成下一代子群，进入2)。

3.1 模糊PID控制器的特征参数

模糊PID控制器的设计参数具体是指输入、输出变量的隶属函数中心顶点位置和由每条模糊规则if条件获得的输出规则then结果。本文引入模糊控制器的特征参数的目的是简化模糊控制器设计过程，分别包括隶属函数和模糊规则特征参数[7,10]。

对于隶属函数的特征参数，根据隶属函数设计的特性可用表示单侧三角形隶属函数中心顶点位置与零的疏密程度Xmi：

(4)

式中：k是隶属函数模糊集个数，此处k=7；Pm是幂函数的指数，取值将影响隶属函数各个中心值的疏密分布情况。可进一步采用伸缩因子G描述三角形隶属函数顶点的疏密程度Xi：

将Pm和G定义为隶属函数的特征参数，则隶属函数的设计参数Xi可由Pm和G生成，即：设计隶属函数时由需要指定单侧3个三角形隶属函数中心顶点位置转换为指定2个特征参数，可见隶属函数的设计过程变得简化了。

对于模糊规则的特征参数，由表1可看出，ΔKP和ΔKD的输出规则可划分成几个具有相同规则结果的区域，区域的数量取决于输出变量隶属函数的模糊集个数k。以ΔKP的模糊规则为例说明采用相平面进行区域划分的方法。如图2所示，首先分别根据ΔKP对应的输入变量e、ec的模糊集取值{NL，NM，NS，ZE，PS，PM，PL}建立相平面XOY，X、Y轴不同模糊集值的交点为网格点，可见网格点代表了模糊规则的if部分，网格点距离X、Y轴的距离表征了e、ec的各自不同模糊集值所对应的三角形隶属函数中心顶点位置Xi值；然后定义图2中的黑点为分割点，坐标(xsi,ysi)计算方法为：

图2 ΔKP模糊规则相平面划分

式中：L是用来限制分割点落在相平面内的范围参数;sign是符号函数;θs是分割点连线以X正半轴逆时针绕原点旋转的角度;Ps是幂函数指数；最后通过相邻两分割点间的垂直平分线生成一组相互平行的直线，这些平行线对相平面实现了区域划分，同时指定在同一区域内的网格点所对应的模糊输出规则then结果相同。根据PID控制器参数KP、KI、KD调整的一般性原则[13]，可将ΔKP的相平面区域规则划分结果从左到右指定为NL、NM、NS、ZE、PS、PM、PL。模糊规则由θs和Ps获得，可将其定义为模糊规则的特征参数，即：设计模糊规则时所需指定的2个输入变量e和ec的7×7个if条件可转换成指定2个特征参数，可见，模糊规则的设计过程变得大为简化。如果运行遗传算法程序随机生成Ps=2和θs=30°，则ΔKP模糊规则相平面划分结果如图2所示，相应获得ΔKP的模糊规则如表2所示。同样亦可由特征参数获得ΔKD的模糊规则表。

表2 由特征参数获得的ΔKP的模糊规则表

3.2 遗传算法混合编码方法

运用遗传算法通常采用将每一个设计参数直接用个体染色体基因位表示的直接编码方法，模糊PID控制器的设计参数直接编码共需要162位基因位。为缩短直接编码时个体染色体长度，本文给出一种将特征参数和设计参数混合编码到染色体基因位上的混合编码策略：2个输入变量e和ec，3个输出变量ΔKP、ΔKI、ΔKD的隶属函数采用特征参数Pm和G编码，对应基因位a1-a5和a6-a10；ΔKD与ΔKP2个输出变量的模糊规则用特征参数Ps和θs编码，对应基因位a11-a12和a13-a14；ΔKI的模糊规则采用直接编码，用数字1～7分别表示模糊规则表1中的NL-PL，则表中ΔKI的模糊规则设计参数按列可表示为5544477 3333436 1123456 1223456 1233455 6333455 4444477共49位数字，对应基因位a15-a63，混合编码方法最终形成个体染色体总计63个基因位，比直接编码的染色体长度大为缩短。2种编码方法的染色体基因位参数如表3所示。

表3 染色体基因位参数

4 仿真与结果分析

运用上述设计的遗传算法优化模糊PID控制器方法进行关节机器人轨迹跟踪控制仿真时，需先获得关节机器人各关节期望关节角度qd，然后运用Matlab/Simulink仿真环境搭建关节机器人模糊PID控制仿真系统，再设置遗传算法参数，以及根据表3所示的个体染色体各基因位对应的参数取值范围，即可按照第3节所述的遗传算法优化关节机器人轨迹跟踪控制模糊PID控制器算法步骤完成关节机器人轨迹跟踪模糊PID控制器的遗传算法优化。

选取机器人末端笛卡尔空间期望轨迹如下：

(5)

式中：t是时间；Tc是周期时长；x、y、z分别为笛卡尔空间的坐标值。选取已知D-H参数如表4所示的六关节机器人，其中ai是关节i的连杆长度，αi是关节i和关节i+1间的连杆夹角，di是关节i-1和关节i间的连杆偏置距离，θi是关节i的关节转角。

表4 关节机器人D-H参数表

根据式(5)的曲线轨迹方程和机器人D-H参数，通过机器人逆运动学方程求得关节空间的期望关节角。采用LM(Levenberg-Marquardt，LM)方法[14]求得逆运动学方程解，获得机器人6个关节角期望轨迹如图3所示。

图3 期望关节角度轨迹

设置步长Δt=0.01 s，总时长T=10 s。运用关节机器人模糊PID控制仿真系统可得到各个时刻各关节角的仿真值。由各个时刻各关节角仿真值，运用机器人运动学方程可求解各个时刻对应的笛卡尔空间末端位置坐标，计算其与式(5)所示的笛卡尔空间理想曲线轨迹在相同时刻的欧氏距离，作为式(3)中的e(t)，得到目标函数值J。完成关节机器人轨迹跟踪模糊PID控制器的遗传算法优化，设置遗传算法参数如下：种群大小30，轮盘赌选择方式，复制比例为0.2，变异概率为0.01，两点交叉方式，交叉概率0.8，迭代代数为50。

将混合编码和直接编码方法分别应用于关节机器人模糊PID控制器遗传算法优化。设置2种编码方法的三角形隶属函数中心顶点值最大为10，最小为0.01；每个输出变量的模糊规则均为49条；直接编码和混合编码染色体基因位对应参数如表3所示。运行遗传算法优化模糊PID控制器程序，得到如图4所示的遗传算法迭代图，由图可知，混合编码的遗传算法在寻优过程中比直接编码更快地接近最优解，说明采用混合编码具有较高的寻优效率；直接编码遗传算法在迭代30代后最小目标函数值基本不变化，而混合编码遗传算法在30代后最小目标函数值仍有下降，说明采用混合编码方法不易过早收敛；混合编码方法的最小目标函数值小于直接编码方法的最小目标函数值，说明采用混合编码的遗传算法寻优结果更接近最优解。