渗透数学核心素养的概念课教学实践

徐炎

【摘要】数学概念课对于学生学习数学至关重要，笔者所在的学校在2010年提出了“四导四学”教学模式.在中学数学概念课堂中实践“四导四学”模式，可以让学生经历从特殊到一般再到特殊的探究学习过程，从学生视角，激发学生探究学习的主动性和主动学习的内驱力，实现教师、学生的双元合一，发展学生的数学思维，培养学生的数学核心素养.

【关键词】问題;数学概念;核心素养

一、教材说明

苏科版九年级数学下册第五章“二次函数”第一节“二次函数”.

二、重难点

重点：二次函数概念的生成过程.

难点：确定二次函数的表达式及自变量的取值范围.

三、教学目标

1.让学生经历探索两个变量之间的函数关系的过程，会用数学式子描述某些变量之间的数量关系.

2.让学生通过对实际问题情境的分析，确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义.

3.让学生通过实例分析，进一步感受函数的应用和自变量的取值范围.

四、教学设计

环节1 课前热身 回顾旧知 激趣课堂

教师：“函数是刻画现实世界中变量之间关系的重要数学模型.前面学习了一些常见的函数关系，让我们一起走进课前热身.”

1.食堂原有煤120吨，每天用去5吨，x天后还剩下煤y吨，则y关于x的函数关系式是.

2.一个面积为6400 m2的长方形的长a（m）随着宽b（m）的变化而变化，则a关于b 的函数关系式是.

3.水滴激起的波纹不断向外拓展，所形成的圆的周长C和半径r之间的函数关系式是.

4.圆的面积S和半径r之间的函数关系式是.

学生先独立思考，再回答上述问题中涉及的函数关系式是什么函数.教师可借此带领学生复习一次函数、正比例函数和反比例函数.二次函数是继一次函数、反比例函数之后的又一种重要的代数函数，是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型.教师带领学生在熟悉的水滴激起波纹的问题中发现新函数关系.

教师带领学生回忆一次函数、反比例函数的学习内容和经历，展示二次函数章节知识树，从而使学生知晓本章的学习内容.

环节2 导预疑学 预学纠错 生成概念

活动：学生展示预学成果，用函数表达式表示问题中两个变量之间的关系.

（1）水滴激起的波纹不断向外拓展，所形成的圆的面积S与半径r的函数关系式：S=.

（2）某产品年产量为30台，计划今后每年比上一年的产量增长率为x，试写出两年后的产量y（台）与x的函数关系式是.

（3）用长16 m的篱笆围成长方形生物园饲养小兔，长方形的面积y（m2）与长x（m）之间的函数关系式是.

（4）某地区原有20个养殖场，平均每个养殖场养奶牛2000头.后来由于市场原因，决定减少养殖场的数量，当养殖场每减少1个，平均每个养殖场的奶牛数将增加300头.如果养殖场减少x个，那么该地区奶牛总数y（头）与x（个）之间的函数关系式是.

思考：上述问题中有几个变量？自变量是什么？都是关于自变量的几次式？比较函数关系式的共同点，能用一般的式子表示它们的共同之处吗？

学生发现上述问题的关系式都是关于自变量的二次式，将表达式写成按照自变量的指数由高到低排列的形式，归纳出二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫二次函数，其中x是自变量，y是x的函数.

教师同步板书，并进行概念的学法指导.想要理解二次函数的定义要把握三点：（1）函数关系式形式上等号左边是y，右边是关于自变量x的整式;（2）a，b，c是常数，a≠0是定义的一部分，不能少;（3）等式右边的自变量的最高次是2.

环节3 导问研学 问题探究 解决质疑

提出问题比解决问题更重要.在教学中，教师应引导学生发现问题，提出问题，鼓励学生提出质疑.在问题探究中，教师应培养学生解决问题的能力，让提出质疑的学生和其他学生交流，激发学生的学习兴趣，培养自主学习、合作学习的能力.

教师结合本节课的教学目标，设计了两个问题.

问题1：如何利用二次函数的定义解决问题？

出题角度1：应用二次函数的定义识别二次函数.

活动1：下列函数表达式中，一定是二次函数的是（  ）.

A.y=3x+1B.y=ax2+bx+c

C.s=2t2-2t+1D.y=x2+1x

变式：下列函数：

（1）y=1-x2;

（2）y=2x;

（3）y=x（x-3）;

（4）y=ax2+bx+c;

（5）y=2x+1;

（6）y=（x+2）（x-2）-x2;

（7）y=x2-3z;

（8）y=（a2+1）x2-x+3.

其中是二次函数的有.

出题角度2：应用二次函数的定义确定字母的取值或取值范围.

活动2：（1）若关于x的函数y=（a-2）x2-x+1是二次函数，则a的取值范围是;

（2）若关于x的函数y=xa2-3a+4-x+1是二次函数，则a的值是;

（3）若关于x的函数y=（a-2）xa2-3a+4-x+1是二次函数，则a的值是.

归纳：解决问题时要紧扣二次函数的定义，从整式，自变量最高次数是2，二次项系数不等于0三个方面来看.

问题2：如何根据实际情境分析确定二次函数的表达式及自变量的取值范围？

活动：写出下列问题中y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.

（1）正方形的面积是9，若边长减少x，则减少后的正方形的面积y.

（2）化肥厂10月份生产化肥200 t，设该厂11月、12月的月平均增长率为x，12月份的化肥产量为y（t）.

（3）两个正方形的周长和是10，设其中一个正方形的边长为x，两个正方形的面积和为y.

（4）某汽车租赁公司有出租车120辆，每辆汽车的日租金为160元，经市场调查发现，一辆汽车日租金每增加10元，每天出租的汽车就会减少5辆，若不考虑其他因素，公司将每辆汽车的日租金提高10x元时，公司日租金收入为y元.

问题1是在学生初步认识二次函数概念的基础上，应用概念解决问题，巩固概念，加深对概念的理解，现学现用.问题2是先让学生独立思考后分小组解决问题，完成后小组间纠错整改完善，学生能解决的问题让学生独立合作解决，教师在过程中提醒注意点、提炼通法.学生在解决问题的过程中发挥了学习的主动性，养成了分析问题、语言表达、合作交流、思辨的能力以及和同学沟通交流的能力，学会用数学的眼光观察生活问题，用数学的思维思考生活问题，用数学的语言表达生活问题.

环节4 导法慧学 回顾课堂 总结通法

教师以思维导图的形式展示课堂的学习板块，引导学生回顾课堂学习知识点，提炼解决同一类问题的通法和学习新的数学概念的通法，即从特殊到一般再到特殊的学习方法，达到慧学的学习目标.

五、设计自述

章建跃博士强调：“数学是玩概念的，数学是使用概念思维的，在概念教学中养成的思维能力最强[1].”数学概念的学习是学生学习其他相关知识的前提和基础，只有牢固学好数学基本概念，深入理解概念，才能提高基本數学素养，形成基本数学技能.一位数学教师的基本功，往往就看他引领学生建立数学概念的能力[2].本节课是二次函数的第一节概念课，为了能够达到概念课的预期教学效果，在备课时，笔者认真研读教学大纲、教材等相关资料，熟知了学生的学情、班情，结合之前函数、一次函数、反比例函数的教学方法，设计了本节课的教学过程.

1.从实际生活中的熟悉情境引入新问题，启发新思考，发现新函数

教师带领学生回顾前面学习的圆的周长随着半径的变化而变化，是大家熟知的一次函数关系，从而复习一次函数、反比例函数的概念，回顾学法，接着提出新的问题：“圆的面积随着圆的半径的变化而变化，这又是一个什么新的函数关系呢？”为了加深学生的印象，教师又列举了大量的有相同函数关系的实际问题，让学生感受二次函数是生活中很常见的函数，学习二次函数可以帮助其更好地解决实际问题.

2.基于学生的问题贯穿课堂，变式训练，突破重难点，强化对概念的理解和应用

顾明远先生指出：“只有会思考并能提出问题，才能培养学生批判性思维、创新思维的能力.”本节课，教师课前做了大量的问题搜集，围绕学生的预学问题开展学习.教师设计了两个主问题和三个数学活动，结合变式训练拓展学生的思维.为了突破确定二次函数表达式和自变量取值范围的难点，教师通过大量实例，在实际问题中不断渗透二次函数关系，逐步培养学生用函数关系式刻画变量之间的变化关系，从而使学生能逐步尝试描述关系，进而思考自变量在实际问题中的限制条件，从而确定取值范围.

3.把握概念教学的本质，渗透数学核心素养的培养

教师应把握概念教学的本质，从促进学生思维角度开展教学，渗透从特殊到一般的归纳、推理、建立数学模型、形成数学概念的思想，进而形成解决一般问题的数学思想方法.教师围绕本节课的教学重难点，以“问题+活动”的形式，引领学生认识二次函数的概念.这样的设计可使学生真正理解二次函数的概念，掌握二次函数的概念并更好地运用二次函数的概念解决问题.

【参考文献】

[1]章建跃.章建跃数学教育随想录[M].杭州：浙江教育出版社，2017.

[2]卜以楼.生长数学：卜以楼初中数学教学主张[M].西安：陕西师范大学出版社，2018.