巧妙转化，化繁为简

王丽娜

【摘要】转化思想是当问题难以解决的时候，可采用的一种解题思路.本文通过具体实例介绍如何应用补形思想合理转化不规则图形，如何应用换元思想有效解决方程问题，如何应用简化思想处理复杂分式题干，如何应用数形结合思想分析难题，如何应用问题变更思想灵活变换解题思路，论述了转化思想在初中数学解题教学中的应用，为学生提供一条化繁为简、巧妙解题的新路径.

【关键词】转化;数学;解题;化繁为简;应用

转化思想就是指从不同的角度思考，另辟蹊径地将新知识与旧知识联系到一起.在初中数学学习中，转化思想是学生解决数学习题的有效途径.学生灵活应用转化思想，解决某些难以入手的证明题、计算题，能提高学习信心.

一、应用补形思想，合理转化不规则图形

利用转化思想解决的数学题型中，几何题无疑是典型题型.一些几何例题的图形不规则，学生无法用学到的理论知识解析题目，这就需要教师引导学生对图形进行适当补形，将不规则的几何图形转化成熟悉的规则图形.数学教师可以利用多媒体课件引入不规则图形习题，展示补形的解题策略，从而展示补形转化的优势.

以苏科版八年级下册第9章“中心对称图形——平行四边形”中第4节“矩形、菱形、正方形”的习题教学为例，教师可以讲解以下习题：有三个正方形，边长分别为9、6、x，并且按照图一所示的方式排列在一起，如果有一条直线将A、B两点连在一起，所分成的两个部分面积相等，试求x的数值.学生看到这道题时往往会感到无从下手，因为这条直线分成的两个图形形状不规则，无法用已知的几何知识点解决.此时，数学教师可以引导学生进行联想：“看到直线AB将图形的面积对分，可以与哪个几何知识点联系到一起？”学生通过思考，很容易发现这与“矩形的对角线平分矩形的面积”类似.学生可以将图形补成矩形ADBC（如图1），根据矩形对角线的特点，得知△ACB的面积必然与△ADB的面积相等.根据题干，两个不规则图形的面积是相等的，那么从两个三角形中减去不规则图形，就能得出小矩形1与小矩形2的面积相等.学生可以列出方程（9-x）x=（9-6）×6，经过整理得到x2-9x+18=0，最后得出x 1=3、x 2=6.通过本题的讲解分析，学生对转化思想中的补形转化有所感悟，再遇到这类习题时，就能结合题干内容进行知识联想，合理、有效地应用自己掌握的数学理论知识.

二、应用换元思想，有效解决方程问题

方程是学生数学学习的重点，有时涉及多个变量.因此，学生要应用换元思想，将多个变量转化成一个变量，这样就能根据已学的知识点进行分析，化繁为简.要应用换元转化思想，学生就要具备敏锐的观察力，发现换元的切入点.在解析方程时，忌过于直来直往，要懂得变通.

以苏科版初中数学九年级下册第5章“二次函数”的教学为例，教师讲解以下这道习题：如果存在方程x2-2xy-3y2=0，试求xy的数值.这道题属于二元二次方程，许多学生在解题时会产生疑惑，认为超出初中数学的学习范围.但如果经过细致分析，就可以看出这道题并非让学生求出x和y的具体数值，而是求x和y的比值.这就说明可以将这个比值看成一个整体，将原方程进行适当换元转化，转化成学生熟悉的方程形式.

根据题干信息进行分析，如果xy这个数值可求，那么就证明y≠0.在此基础上，假设m=xy，原方程左右两边可以同时除以y2，经过转化后，就变成（xy）2-2xy-3=0，将m代入，原方程就变成m2-2m-3=0，求解方程，可以得出m 1=3、m 2=-1，因此本题所求xy的值为3或-1.学生在面对这类习题时，要明白出题人不会无缘无故地出超纲题，凡涉及多元、多次的题目，所求的数值又以比值、平方或代数式的方式为主，可以尝试应用换元转化思想，将多元多次题目形式转化成一元一次或一元二次题目，再解答问题.

三、应用简化思想，处理复杂分式题干

越复杂的习题内容，越需要进行简化，化繁为简是学习数学的重要方法之一.在分式方程的学习中，这一转化思想应用广泛.前文所讲的换元转化在本质上属于化繁为简的数学方法.在实际应用时，学生要具有良好的观察能力，迅速找到换元的切入点.但简化思想在分式方程中应用广泛，考验学生的基础能力，如约分、通分是转化思想中化繁为简的常用方式.

以苏科版初中数学八年级下册第10章“分式”一章的教学为例，教师给出以下例题：（1）当x=（ ）时，分式3x+9x+4有意义;（2）当x=（ ）时，3x+9x+4无意义;（3）当x=（ ）时，3x+9x+4的值为零.这道题考查的是学生对分式基础概念的理解，要想使这个分式有意义，就要保证分母不为零.相反，若分式无意义，则分母必然为零.若要使分式数值为零，则要同时保证分子为零、分母不为零.因此，经过解答可以得知，（1）题答案为x≠-4，（2）题答案为x=-4，（3）题答案为x=-3.如果解题过程严谨，那么（3）题要有验证过程，将x=-3代入分母中，得出答案不为零，满足题干要求.

再如以下例题：计算（x-y）x2y+xy2÷x2-y2xy。应先将分式转化成乘法的形式，再将原式进行适当转化，变为（x-y）xy（x+1）2×xy（x+y）（x-y）;最后约分，得出答案為x-y（x+1）（x+y）.

四、应用数形结合思想，通过图像分析难题

在初中数学方程题中，方程的解就是其函数图像与x轴的交点坐标.数学教师在解题时应当结合题干内容，理解题意，引导学生将解题思路与函数图像结合到一起，利用方程与函数图像之间的联系解题.如果要准确计算一些方程题的结果，那么计算步骤将十分复杂.这类方程题往往不属于计算题，如选择题.面对这类习题时，学生要换一个角度思考，从数形结合的角度寻求突破口.

以苏科版初中数学八年级下册第11章“反比例函数”的教学为例，教师可以引入以下例题：如果存在某实数n，满足方程n2+2+4n=0，下列哪个选项对n的估值正确？A.12 D.0

掺杂了一元二次函数与反比例函数，

比较特殊，如果直接求解，计算过程将十分烦琐.如果应用数形结合的思想，将方程转化成n2+2=-4n，然后令m 1=n2+2，m 2=-4n，就将题目转化成了两个不同的函数图像.根据两个图像的性质，m 1的函数图像必然在一、二象限，m 2的函数图像应在二、四象限.因此，两个函数图像只能在第二象限中有重合点，可知n不可能大于0.由此，选项B为正确答案.当面对多种函数类型掺杂的题目时，学生需要细心判断，将复杂的方程以直观的函数图像形式展示出来，在解非证明、非计算的题型时变换解题思维，才能更好地节约做题时间，提高自身的解題效率.

五、应用问题变更思想，灵活变换解题思路

在解题的过程中，如果一条思路行不通，学生就要将问题进行变更，寻找更加有效的解析思路.想要达成思维训练的目的，数学教师应当着重培养学生的数学基础，让学生牢记各种概念、定理.除此之外，教师要注重解题后的复习与巩固，让学生经常回顾做错的习题，纠正自己容易犯错的细节.这样才能帮助学生掌握转化思想的应用规律，避免在解题过程中出现错误.

以苏科版初中数学九年级上册第2章“对称图形——圆”的教学为例，引入以下例题：如图2所示，如果在矩形ABCD中，满足AD=8，而点O在直线AD上不断运动，如果△OBC为等腰三角形，并且满足这个条件的点O只有三个，试求AB的长度.许多学生在面对这类习题时会习惯性地按照等腰三角形的基本概念进行思考，即OB=OC，OB=BC，OC=BC.但在解析时，学生不知怎样满足“点O只有三个”这个条件.对此，可以适当变更问题.首先，在矩形ABCD中，根据矩形的性质，当点O为AD中点时，OB=OC必然满足题干条件.而关于OB=BC，OC=BC的解析，可以从圆的半径入手解答.如以B、C分别作为圆心，令BC为半径进行画圆.如果BC的长度小于AB，那么两个圆与直线AD不会形成交点，不满足题意.若BC等于AB，那么点O刚好能与点A、点D重合，在加上AD的中点，正好满足“点O只有三个”这个条件，此时BC=8.若BC长度大于AB，那么两个圆会在AD直线上分别形成两个交点，加上AD中点，共有五个交点，不满足题意.但当两个圆都刚好经过AD中点时，交点就变成了三个.此时，根据勾股定理，AB2=OB2-AO2=BC2-AO2=82-42，可以得出AB=43.

结 语

数学解题思想从接触到应用，再到熟练掌握，需要进行长期的实践练习、巩固内化.教师要为学生引入例题分析，加强学生的联想思考，让学生在面对难题时能迅速找到解题的切入点，采用补形转化、换元转化、化繁为简、数形结合、问题变更等方法，完成习题的解析与论证.

【参考文献】

[1]吴建忠.初中数学解题中转化思想的有效应用[J].数学大世界（中旬），2020（9）：81.

[2]林霞.转化思想在初中数学解题教学中的运用[J].数理化解题研究，2020（20）：13-14.