对比教学模式下的分析力学课堂教学探讨

原亚南 尹颢 张作启

[摘 要] 近些年来，“分析力学”课程在大学工科院系的开课范围越来越大，但是鲜见以“分析力学”课程作为教学改革对象进行的研究。运用对比教学模式下的多层次理论，结合“分析力学”的课程特点，针对课程理论知识晦涩、内容体系与理论力学相关度高及应用程度低等问题，提出了教学实施方案。方案采用三种课堂对比的形式，通过联想对比的方式加深学生对知识点的理解，培养学生分析、评价及质疑的能力，从而达到培养创新人才的目的。

[关键词] 分析力学;对比课堂;创新能力;质疑能力

[作者简介] 原亞南（1989—），女，河南濮阳人，博士，武汉大学土木建筑工程学院工程力学系讲师，主要从事复合材料力学研究;尹 颢（1985—），男，湖北武汉人，博士，武汉大学土木建筑工程学院工程力学系副教授，副系主任（通信作者），主要从事相变固体力学研究;张作启（1982—），男，山东曹县人，博士，武汉大学土木建筑工程学院工程力学系教授，系主任（通信作者），主要从事生物力学与仿生研究。

[中图分类号] O316   [文献标识码] A    [文章编号] 1674-9324（2021）21-0121-04   [收稿日期] 2020-10-25

近些年来，“分析力学”课程在大学工科院系的开课范围越来越大。然而，从现有教学课堂的探讨成果来看，较少看到以“分析力学”课程作为教学改革的对象进行的研究。所谓的经典力学是指创立于1687年的牛顿力学、创立于1788年的拉格朗日力学，以及创立于1834—1835年的哈密顿力学。其中，“理论力学”主要是讲授以牛顿力学为基本框架的静力学和动力学的课程。牛顿力学着重分析位移、速度、加速度及力等矢量，故称为矢量力学。与之相对的是由拉格朗日力学和哈密顿力学组成的分析力学[1-3]。在拉格朗日的《分析力学》的经典著作中，没有涉及一幅图，自始至终都采用了解析的方法[4]。分析力学的特征是以普遍原理为基础，利用标量形式的广义坐标来取代矢量力学的矢径[5]。

根据笔者前期调查结果，在初次接触“分析力学”课程时，超过70%的学生认为解析公式太多，难度很大（如图1所示）。因此，“分析力学”课堂教学面临的一个非常大的困难和挑战是如何在满是解析表达形式的理论知识讲授的课堂中提高学生的兴趣和专注力。

基于对比教学模式下的多层次理论，结合“分析力学”的课程特点，针对本课程中的理论知识晦涩、内容体系与理论力学相关度高及应用程度低等问题提出了教学实施方案。该方案通过采用三种对比形式，突出了在课堂上通过联想对比的方式加深学生对知识点的理解和掌握，培养学生分析、评价及质疑的能力，从而达到培养创新人才的目的。

一、牛顿力学与分析力学的对比讲授

由于大部分院校在“分析力学”课程讲授前，学生已经学习了“理论力学”（大部分内容讲授的是牛顿力学），因此，在学习“分析力学”课程时，同学们会有如下疑问：既然牛顿力学和分析力学都是研究质点和刚体的运动方程，我们已经学习了牛顿力学，为什么还要学习分析力学？这个问题笔者在第一次给学生上“分析力学”课程的时候就被问过。笔者在认真反思这个问题后最初的想法是，既然学生已经了解和熟悉了牛顿力学的理论知识，就没必要花费宝贵的课时来重复提及了。现在回过头细细想来，当初的想法或许正是引起学生疑问的根本源头。或许笔者要做的不是去回避在“分析力学”课上讲授牛顿力学，恰恰相反，应该直面这二者的区别，让同学们“知其然”，并“知其所以然”，掌握牛顿力学和分析力学的异同，并理解学习分析力学的必要性和重要性。那么，在课程最开始，笔者以图2[6]来开始“分析力学”这门课程。

图2很好地总结了从牛顿力学开始到拉格朗日力学最后到哈密顿力学发展的完整历程。此外，牛顿力学的发展主要服务于研究运动力学，应用包括但不限于有心力场中的二体运动、非惯性系下的运动、刚体运动、非线性动力学和混沌、生命力学及连续介质力学。而拉格朗日力学从变分法和达朗贝尔方程演变而来，通过勒让德变换和哈密顿原理发展成为哈密顿力学。而哈密顿力学为后来的量子力学、相对论、统计力学等提供了理论基础[7]。相对于牛顿力学，分析力学方法对其他如量子力学、相对论等影响更加深远。通过对比讲解牛顿力学和分析力学，不仅让学生站在更高的角度审视学习分析力学的必要性，还能鼓励学生自主探索基于分析力学方法衍生出的如量子力学等新的领域，激发他们的科研兴趣。

二、拉格朗日力学和哈密顿力学的对比讲授

在解决了学生“已经学习了牛顿力学为什么还要学习分析力学”的疑问后，之后的课程学习也并非一帆风顺。在学习完拉格朗日力学进入哈密顿力学的学习时，学生还会有新的疑问：既然很多运动方程明明通过拉格朗日第二类方程就能很容易地求解，那为什么还要学习哈密顿原理，费力求解哈密顿作用量呢？可见，即使在课堂上没有给学生灌输对比教学的模式，学生自己也会对以往的知识点进行对比，总是选取最容易理解、最好求解的途径来解题。事实上，在课堂上讲述的很多例子确实会有多种求解方式，也确实有一些明明用拉格朗日第二方程来求解很容易，却仍然用哈密顿原理来求解的例子。要想打消学生的疑虑，笔者仍然采取对比讲授模式，将拉格朗日力学和哈密顿力学对比讲授。要想讲清楚它们的本质区别和联系，应该从表1[8]的角度来着手讲述。

表1非常清楚地阐述了拉格朗日力学和哈密顿力学的区别，不仅体现在对应的空间和几何上，还体现在方程类型上[9]。

拉格朗日力学的f个二阶微分方程组为

■■-■=Q′■（k=1，2，…，f）

而哈密顿力学的方程类型是2f个一阶微分方程组为

■■=■■■=-■ （k=1，2，…，f）

哈密顿正则方程为微分方程的求解带来了很大便利。