图形认识的一般规律——以三角形认识为例

张丽霞

(上饶师范学院 教育科学学院,江西 上饶 334001)

义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程,具有基础性、普及性和发展性[1]1。为了体现义务教育数学课程的整体性,《义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称《课标》)统筹了义务教育阶段课程内容,依据学生发展的生理和心理特征,将中小学划分为三个学段。为使教学得到更好的效果,《课标》指出,为了适应时代对人才发展的需要,在数学课程中,应当注重发展学生的空间观念、几何直观等素养[1]5。为了响应课程标准的要求,诸多学者深入实践探究,如孔凡哲、史宁中教授探索数学几何直观的含义[2],华应龙进行的三角形三边关系教学研究[3]以及汪志华对《三角形内角和》的教学设计[4]等。本文将以三角形的认识为例,探讨认识图形的一般过程。

1 教材审视

《课标》将数学知识分为“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四部分内容。其中“图形与几何”的内容在小学阶段占据着较大比重,是小学数学的重要内容。然而,在实际教学中“图形与几何”的内容往往容易被忽视。比如,在图形的认识教学中,教师易忽视图形的概念和图形抽象的教学过程。因此,本研究将以三角形的认识为例,探究图形认识的一般过程。

通过对小学数学知识的整理,笔者梳理出了人教版小学数学教材中三角形知识的分布情况,并列出了小学数学中三角形知识所对应的几何思维水平,如表1所示。

1.1 从课程标准角度分析

通过表1可以看到,三角形的知识首次出现于小学二年级上册第三单元,内容是“角的初步认识”,其中包括了直角、锐角和钝角的认识,认识“顶点”和“边”。在这里有一个不可忽视的问题是,学生在学习“角的初步认识”之前已经对图形有了初步的认识,且在二年级第一单元学习了“长度单位”,并能够测量线段的长度,这为角的认识以及学习边的画法奠定了基础。《课标》第三部分“课程内容”阐述了“图形与几何”的教学要求,要求第一学段的学生能“结合生活情境认识角,了解直角、锐角和钝角”,且要求“能估测一些物体长度,并进行测量”。“角的初步认识”一节的编排正遵循了课程标准的要求。

表1 小学数学三角形知识分布及范希尔几何思维水平(人教版)

通过表1还可以看到,四年级的教材安排了三角形的相关知识。四年级(上)第三单元学习“角的度量”,而后在四年级(下)第五单元学习“三角形”的知识,主要有三角形的特性、分类以及三角形内角和的知识。角是由射线构成的,因此在“角的度量”一章中先学习了线段、直线与射线,紧接着学习角的度量,更涉及角的分类,这也为四年级下册三角形的分类学习奠定了基础。《课标》提出第二学段的学习要“了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系”和“认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形”,这些与教材中“角的度量”和“三角形”的知识相契合。四年级下册“三角形的特性”主要学习三角形的高和底,而四年级第五单元“平行四边形和梯形”的学习为三角形的特性奠定了基础。由此可以得出,图形的学习不是独立的,如“角的度量”是对过去学习知识的综合运用,同时为后续的学习奠定了基础。

1.2 从范希尔几何思维水平角度分析

范希尔几何思维水平是几何知识的重要理论,范希尔几何思维水平共有五个层次的水平,分别是视觉、分析、非形式化的演绎、形式化的演绎以及严密性。当然,学者对范希尔理论持有不同的态度,一种观点认为学生的思维发展不能从一个水平跳跃到下一个水平,应该是小步子渐进的;另一观点认为这一理论从整体上描述了几何思维的发展过程。综上,笔者认为范希尔理论的各个水平之间没有明确的界限,是几何图形学习过程的一般化描述,可以看作是数学思维发展的一般过程。

小学生的几何思维水平是从水平0到水平3的发展过程。学生的几何思维水平在第一学段更多地集中在水平0;第二学段主要集中在水平1到水平2(如表1所示)。第一学段的学生思维多处于形象思维阶段,以整体感知为主。如在一年级“认识图形”一章中,学生第一次接触平面图形(根据形状进行简单的分类、认识三角形),以及在二年级上册“角的初步认识”一章中学习角的构成,这都是通过视觉来认识三角形。在四年级下册具体学习了“三角形”的知识,其中“三角形的特性”和“三角形内角和”等知识是非视觉辨认可得到的知识,需要学生动手实践才可得出结论,因此“三角形的特性”和“三角形内角和”的学习更多的处于分析和非形式化的演绎层次。同样五年级的学生要计算三角形的面积,以寻求“多边形的面积”解决之法,这一过程需要学生经历演绎推理,因此学生的思维水平是逐渐上升的,处于形式的演绎层次。

虽然学生的思维水平没有明确的划分界限,但其思维水平呈上升趋势,这体现了教材编写的特点[5],更是与课程标准相吻合。

2 图形的认识过程

图形的认识并非传统的辨别、识别,而是应当从形式、要素以及要素之间的关系进行阐述。形式即视觉可见的,小学数学中的几何图形分为平面图形和立体图形两大类;要素即构成图形的主要元素。在几何图形中,基本元素有点、线、面、体、角,几何图形的认识需要理解这些基本元素之间的关系。因此图形认识的一般过程是“整体—局部—整体”的过程,体现了从整体到局部,从直观到抽象的特点[6]。当前我国大部分地区的小学为六年制。《课标》根据学生发展的生理和心理特征,将小学六年的学习时间划分为两个学段:第一学段(1－3年级)、第二学段(4－6年级)。为了更好地探究图形的认识过程,本研究将小学的年级跨度做了更详细的划分。低年级为小学一、二年级,中年级为小学三、四年级,高年级为小学五、六年级。结合图形的认识过程,低年级学生主要的学习任务是从整体上认识图形;中年级学生的学习任务是认识图形的“局部”特征;高年级便是图形的应用过程,即重视数与形的结合,用数刻画形。

2.1 低年级通过实物认识图形的整体

《课标》要求学生要了解一些简单几何体和常见的平面图形。借助范希尔的几何思维水平得知,低年级的学生思维多处于视觉阶段,即整体感知阶段,表现为儿童能通过整体轮廓辨认图形,并能进行描述;当然,低年级的学生对图形的构成要素有了基本的认识,能进行简单的图形分类。但从总体来看,低年级学生对图形的认识主要是通过具体实物来习得的。

图1、图2是人教版一年级下册“认识图形”的内容,通过图1我们可以看到学生借助实际物体画平面图形;图2是“认识图形”的巩固练习环节,要求圈出可以画出左边图形的物体,这个过程体现出一年级学生经历了从实际物体抽象到图形的过程,并且能通过物体的轮廓辨认图形。因此低年级认识图形的过程是通过实物进行的。

图1 认识图形

图2 认识图形(练习)

2.2 中年级从局部认识图形

从《课标》角度看,1－3年级是第一学段,4－6年级是第二学段,因而中年级处于第一学段到第二学段的过渡期;从范希尔几何思维水平看,中年级学生的几何思维水平处于分析层次和非形式化的演绎阶段,因此中年级学生在图形的认识过程中更多的处于“局部”认识阶段。著名的发展心理学家皮亚杰(Jean Piaget)把认知发展分为了四个阶段,其中6－12岁处于具体运算阶段,儿童的认知结构由前运算阶段的表象图式转化为运算图式,心理操作着眼于抽象概念,因此中年级是由形象思维到抽象思维的过渡阶段。思维过渡过程中势必要加强概念的教学以及实物抽象的过程。

2.2.1 揭示概念本质

概念教学是培养学生科学素养的途径。概念教学要经历如下环节:(1)概念属性的分析、比较、综合;(2)概括知识本质特征得到本质属性;(3)下定义;(4)概念的辨析;(5)用概念判断具体事例;(6)建立与相关概念的联系。四年级下册“三角形”充分体现了概念教学的重要性。接下来将借助“三角形的高”具体阐释图形中概念教学的重要意义。

例1“三角形的高”。人教版四年级下册第五单元“三角形的特性”部分涵盖了三角形的定义、三角形的高和底等知识(如图3)。“从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线,顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高”。想要画出三角形的“高”,就需要明确“对边”和“垂线”的概念。我们知道,三角形是由3条线段围成的图形(每相邻两条线段的端点相连),故三角形的对边是指三角形的某个顶点(或某个角)所对的边,即三角形中的某条线段。垂线是指两条直线相交成直角,其中的一条直线叫作另一条直线的垂线。由此可知,实际意义上的高是指从三角形的一个顶点到它的对边所在的直线作垂线。若找到“对边”后仍无法画出垂线段,应当适当延长顶点所对的边,由此便可以解决学生画高的困难(见图4)。

图3 三角形的高

图4 三角形的高(练习)

2.2.2 实物的抽象

《课标》提出学生要初步形成数感和空间观念,感受符号和几何直观的作用,因此中年级的学生要经历实物的抽象过程。在研究中,我们把抽象理解为认识某一特性的思维活动,抽象的起点是经验事实,抽象的过程可以概括为“分离—提纯—简略”;从范希尔几何思维水平的角度看,抽象的过程就是进行形式的演绎过程。在此过程中,学生能建立图形性质之间的联系,能探求图形的内在属性,并做简单的演绎推理。例如,学生在了解三角形的各个要素后要学习“三角形稳定性”,同时要求学生掌握三边之间的关系。其中,三角形的三边关系推导方式体现在七年级下册,在这里不做过多赘述。

例2“三角形稳定性”。三角形的稳定性是三角形的特性之一。三角形的稳定性是数学知识生活化的体现,相反地,将实际生活数学化的过程也是进行抽象的过程。

四年级下册“三角形的特性”涉及了三角形的稳定性。通过对矩形和三角形进行拉伸,对比发现三角形更不容易变形(图5)。基于此结论,生活中也运用了这一特征。如屋顶、篮球架、埃菲尔铁塔都运用了三角形稳定性这一特征,这就是数学知识抽象的过程。

图5 三角形的稳定性

2.3 高年级要重视图形的应用

《课标》指出,数学课程应当注重发展学生的符号意识、空间观念、几何直观,同时要特别注重发展学生的应用意识。应用意识主要包含两方面内容:一方面是用数学知识解决实际问题,另一方面是现实生活中的问题可以通过抽象,形成数学问题加以解决。从皮亚杰的认知发展阶段来看,高年级学生的思维处于抽象逻辑水平,即范希尔几何思维水平的第3层次——形式的演绎阶段。这一阶段,要求学生能深入了解图形的特征,更全面地认识图形。因此图形的认识要经历“整体—局部—整体”的过程,其中图形的应用是最后环节。

例3三角形面积的应用。人教版五年级上册教材和六年级上册教材中分别安排了“平行四边形的面积”(图6)、“圆的面积”(图7)的内容。图6是平行四边形面积的推导过程。将平行四边形切割成一个三角形和梯形,通过平移得到矩形,进而推导出平行四边形的面积公式。图7是圆的面积推导过程,将一个圆分成若干等份,拼成一个近似的平行四边形。二者的共性是将复杂图形切割成三角形,重新组成新的简单图形。通过这两个例子可以看出,平面几何领域中三角形的应用较为广泛。

图6 平行四边形的面积

图7 圆的面积

3 教学建议

基于以上研究可以得出,图形的认识包含三个过程,分别是从整体上认识图形、图形局部特征的认识以及图形的应用环节。其中关键是对图形局部特征的认识,包含了揭示概念本质和抽象的环节。这个结论不仅适用于小学数学知识,对于中学数学同样适用。例如,相似三角形以及全等三角形的内容都是通过局部认识整体。故依据本研究所得结论,提出以下几点教学建议:

3.1 巧用图形特点,经历具体到抽象的转换

数学学科本身是经由具体实际到抽象概括发展而来的。抽象主要包含数量与数量的关系、图形与图形的关系。现实世界里的图形是三维的,几何学中研究的对象是抽象的产物。抽象为人们学习和交流、探索和发现数学问题提供了很大便利,也帮助学生更准确地认识具有实际意义的图形。因此图形的教学要巧用图形特征,实现具象到抽象概念的转化。培养学生的抽象能力,可以从以下几方面着手:首先要夯实学生的基础知识。要学生经历具象到抽象的转化过程,势必要以学生原有知识为基础。小学数学知识分为“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四个部分的内容,这些知识分布于不同的章节,学生只有掌握各知识点,才有可能建构合理的知识体系。知识的缺失势必会阻碍学生具象思维向抽象思维的转化。其次,给予学生充足的探索时间,让学生经历抽象化的过程。抽象意味着抽取共同的、本质的特征,即保留事物的基本要素和基本特征的过程。教学过程中,教师可以呈现实物,引导学生从具体图形中抽象出几何图形,经历图形的抽象过程。最后,充分利用现代信息技术手段培养学生的抽象能力。随着人工智能的发展,越来越多的人看到了现代信息技术的优势。信息技术的教学不仅能提高学生的学习兴趣,还可以形象地展示出物体与抽象的图形之间的联系,进而提高学生的抽象能力。

3.2 理解概念本质,提高解题能力

概念能够客观地反映事物的内在联系,把握概念的本质,有助于学生对新知识的理解,能够帮助学生理解复杂知识的内涵,从而使知识更容易被接受。因此在实际教学中,务必要重视概念的教学。首先是引入数学概念。由于概念是抽象的,因此在认识概念的过程中,教师应注意鼓励学生参与探究概念的活动,让学生在探究的过程中了解概念的形成过程,以加深对相关概念的感知,掌握其本质特征。其次是概念的理解阶段。经历了概念的引入环节,学生对数学概念有了初步的认识,此时教师可以组织学生用自己的语言表述出数学概念。在交流过程中,教师起到调节与控制的作用,引导学生揭示出概念的本质。学生们也会从他人的表述中发现自己在表述概念时存在的不足。最后是概念的巩固与运用阶段。人的记忆过程包括识记、保持和再现的环节,遗忘是与保持相反的心理过程。为了减缓遗忘的速度,势必要对所学知识进行有效的复习巩固。知识的巩固环节必然少不了练习,有效的练习可以帮助学生重新认识概念的本质特征,尤其是正例和反例的使用,可以加深学生对数学概念的记忆,同时也可以在练习中锻炼数学思想方法,提高其解决问题的能力。

3.3 强化图形特点,渗透数形结合思想

生活中蕴含着大量的数学信息,小学阶段更要渗透数形结合思想,运用数学知识解决实际问题。数形结合的思想可以使抽象的问题直观化,有助于揭示问题本质。因此在教学过程中要渗透数形结合思想,建立现实问题与抽象图形的联系[7]。渗透数形结合思想,首先要提升教师渗透数形结合思想的意识。数形结合思想始终贯穿于数学教学的始终,数形结合思想的培养不仅可以帮助学生解决数学问题,更能培养学生的数学思维能力,为今后数学学习奠定基础。其次,教师在教学过程中,要有意识地培养学生以数解形的意识。所谓以数解形就是将复杂的图形问题规范化的过程。以数解形可以准确地描述出图形中各个量的关系,使模糊的数学问题更加清晰,有助于揭示出图形中所蕴含的本质内涵,进而促进学生形象思维和抽象思维的协调发展。