数学通报2530号问题引发的研究

华南师范大学数学科学学院(510631) 叶秀锦

《数学通报》2020年2月2530 号问题已知a,b,c ∈[−2,2],a+b+c=0,求a3+b3+c3的最大值.

供题人张云华老师构造了一个函数(x−2)(x+1)2=x3−3x−2,利用这个函数恒不大于0 的性质,得到a3+b3+c3≤3(a+b+c)+6= 6,最终指出a,b,c中有1 个2 和2 个1 时取得最大值[1].仔细研读这个构造的函数的方法,领悟到它有3 个要点:(1)可以与0 比较大小(即0 是其值域的上确界);(2)消去x2项,将x3项和x项联系起来;(3)函数构造的不等式等号最终可以取到.由此我们将原问题进行一个推广.

原题目的取值范围是可以取到负数的,如果我们把原题目的取值范围改为[0,2],再把和改为2(因为取值变大了,和必须增大,否则只有全等于0 一个可能性),得到如下变式.

变式已知a,b,c ∈[0,2],a+b+c=2,求a3+b3+c3的最大值.

解析如果我们按照原题的解法,构造函数f(x)=(x−2)(x+1)2=x3−3x−2 ≤0,等号成立当且仅当a,b,c ∈{−1,2}.又−1 /∈[0,2],故a=b=c=2,a+b+c=6,这明显是不可能的,违反了构造函数要点(3).我们应该用一种全新的构造函数方法,依照三个构造函数要点,我们可以构造函数f(x)=x(x−2)(x+2)=x3−4x≤0,等号成立当且仅当x ∈{0,2}.于是a3−4a≤0,b3−4b≤0,c3−4c≤0,a3+b3+c3≤4a+4b+4c=8.设等号成立时a,b,c中有m个2,3−m个0,有2m=2,m=1,等号成立时a,b,c有1 个2,2 个0.

如果我们在原题中采取这种新的构造函数方法,构造函数f(x)=x(x−2)(x+2)=x3−4x,由于这时0 不再其值域的上界,从而对于解题而言失效.

从上分析可知取值是否非负时,构造的函数是不同的.同时我们类似原式推广可得到变式的推广1.

分析类似变式,构造函数f(x)= (x−a)(x−b)(x+a+b)≤0 可解.

在得到这些推广后,笔者尝试将原题和变式由x3推广到xn,原题的推广失败了,变式的推广成功了.变式的推广首先要解决构造函数的问题,这是一个多项式恒等问题.