由一道联赛试题谈一类无理函数值域的求法——兼论基于深度学习的解题教学策略

广东省珠海市斗门区第一中学(519000) 李凯

2019年全国高中数学联赛江苏赛区市级选拔赛第8 题是一道求值域的题,本题看似简单,但对高中学生来讲,得到最终答案非常不易,笔者经过探究找到了这类值域问题的统一解法.

一、题目展示与解法探究

(一)方法分析

(二)典例剖析

(三)方法总结

三角换元法和数形结合法各有千秋,三角换元法需要对换元之后的式子再次变形,挖掘几何意义或进行三角恒等变形后利用三角函数的性质求解;而数形结合法思路简单,最后产生的图形都是高中生比较熟悉的圆,椭圆,双曲线;用此种方法更加通用,更加适宜高中生接受和掌握.

由于导数法求最值和值域是我们在教学中强调比较多的并且掌握的比较好,也是求最值和值域的通性通法,我们这里也要加以说明.在例1 和例2 中由于函数的定义域分别为[−1,1]与[0,2],它们分别都是有界闭区间,而且导函数也不是太复杂且极点可以求得,根据“有界闭区间上连续函数的最值必在极点处或区间端点处取得”即可以求得函数值域.而对于例3 和例4,由于函数定义域并非有界闭区间,在用导数法求值域中可能会出现需要求极限的情况.

三、教学思考

(1)渗透数与形对立与统一的思想

数与形是我们在讨论一个数学对象必须同时考虑的两个方面.华罗庚先生曾说过:数缺形时少直观,形缺数时难入微.这是一个对数与形对立统一的精美概括.在上面讨论值域的过程中,直接用导数法求值域,就是纯粹用代数,在解题中可能遇到困境.而三角换元与转化为方程都很好的体会到了数形结合思想,非常容易理解,而且求解容易.一般而言,直观的图形容易找到突破口并且记忆方便,纯代数的方法适用性广,两者结合起来就更好.

(2)通法与特法在教学中要并行渗透

在数学解题中没有一种解法放之四海而皆准,常常我们把适用比较广的方法称为通用方法,比如导数法求值域适用性广,当然要重点研究.但是碰到无理式后,求导比较复杂,极点难求,另外有时定义域非有界闭区间,可能需要求极限,直接求极值难以求得值域.这时用三角换元,数形结合相对比较简单,就可以看作处理这类问题的特殊方法.特法与通法并行才能加深对知识的深层次理解.

(3)在教学中要注意将特例上升到一般模型来探究

将特例上升到一般探究符合深度学习中的“对学习对象进行深度加工”的特点,在前面的拓展中,将学生遇到的一个解题困境一般化,抽象出这类问题的一般模型,提出解决方法,并用典例来加深理解.提出了这样一些“有挑战性”的问题,能吸引学生的学习兴趣,能提高学生的数学抽象,数学建模素养.数学家波利亚曾指出:当你找到一个蘑菇时,用心观察,就能找到一堆蘑菇.“抽象,推理,模型”是最重要的三个数学思想,在解题教学中尤其要强调.

(4)大单元整体教学的思想

在解题教学中,学生常常面临着“懂而不会”,“懂一题而不能通一类题”的困境,究其原因,是因为没有看清问题的全局,只看到了一个问题的某一方面,当迁移到另一问题时不能应用.古人云:孔子登东山而小鲁,登泰山而小天下.大词人苏轼在《题西林壁》中感慨“不识庐山真面目,只缘身在此山中”.这都强调了,站得高才能看的远,把握整体才能更好的欣赏把握局部.以求函数值域为例,从整体来看,基本初等函数的性质以及导数渗透到各个角落.但从局部来看,又有所不同,比如对于含有指数函数,对数函数,幂函数的函数求值域,由于求导简单,而且往往具备很好的凸性,导数法必为首选;对于无理函数,求导往往复杂,这时对式子进行三角换元或数形结合的转化效果会更佳.