利用同构法解决一类双切线问题*

广东省深圳市高级中学(518040) 高军

在高考题或各地模拟题中,经常会出现一类与双切线(过一点作二次曲线的两条切线)有关的问题,这类问题难度较大,对数学运算能力和转化与化归能力要求较高,本文主要介绍同构法在解决这类问题中的应用.所谓同构法,即在求解一些数学问题中,往往会出现一些除变量外完全相同的结构,解题时利用其同构的特点,寻求与问题的某种内在联系,继而利用同构后的某种性质进行解题的方法.

一、问题呈现

题目(2021年高三八省联考数学第7 题) 已知抛物线y2= 2px上三点A(2,2),B,C,直线AB,AC是圆(x−2)2+y2=1的两条切线,则直线BC的方程为( )

A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0

C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0

分析圆的切线AB,AC具有性质相似、地位相同的特点,在解题过程中,进行类比推理得到结构相同的式子,合理构造共性,可化繁为简,轻松解决问题.

二、解法探究

三、方法应用

四、问题及变式

由上述同构法得到的三个结论,我们可以解决一系列的有关二次曲线的双切线问题.

(一)双切线交点的轨迹方程

(二)双切线斜率的调和性质

(三)圆锥曲线的一个等角性质

评注 可见由同构法得出的三个结论,在解决二次曲线双切线问题中发挥了重要作用.解决问题及变式的过程渗透方程思想、转化与化归数学思想,有利于培养学生四能(提出和发现问题、分析和解决问题的能力),发展学生逻辑推理、数学抽象、数学运算等数学学科核心素养.对于其它的双切线问题,由于双切线的性质相似、地位相同的特点,我们也可用同构法加以解决,读者不妨试一试.

五、考题链接