中考专题复习助力发展学生的数学思维

广东省广州市铁一中学(510000) 项娜

1 前言

G·波利亚在《怎样解题》中指出:解题的价值不是答案的本身,而在于弄清“是怎样想到这个解法的?”,“是什么促使你这样想的?”也就是说,解题过程的本质是一个思维过程,是一个把知识与问题联系起来思考、分析、探索的过程.怎样解题的精髓在于启发学生联想,并创设以下这些问题去引导学生思考—你以前见过同样的题目以一种稍不同的形式出现吗?你知道一道与它有关的题目?你知道一条可能有用的定理吗?这里有一道和你的题目有关而且以前解过,你能不能利用它?你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?…[1]专题复习可以帮助学生建立完善的知识体系,益于启发学生联想.笔者以专题“动态几中PA+k·PB(k ＞0)型的线段和最小值”教学设计为例,按波利亚提出的这些问题去设计,去启发学生联想,在解题的过程中,必将使学生的思维受到良好的训练,久而久之,不仅提高了解题能力,而且养成了有益的思维习惯,进而发展了学生的数学思维.

2 “动态几何中PA+k·PB(k ＞0)型的线段和最小值”专题复习教学设计

2.1 教学内容与内容解析

(1)教学内容:中考数学专题—动态几何中PA+k·PB(k ＞0)型的线段和最小值问题,其中A,B是定点,动点P在某条定直线上运动.

(2)内容解析:从近几年的中考来看,线段和的最小值问题经常出现在各省市的中考题中,问题常以二次函数、反比例函数、平行四边形、圆等图形为背景,让学生求两条线段和的最小值、三条线段和(三角形周长)的最小值、四条线段和(四边形周长)的最小值等,其中以二次函数、正方形、矩形、菱形等图形为背景,求PA+k·PB(k ＞0)型的线段和的最小值问题是近几年中考考查的热点,也是难点.

2.1 教学目标和目标解析

2.1.1 教学目标

(1)引导学生经历观察、构造、归纳、论证等过程,积极参与求解PA+k·PB(0＜k ＜1)型的线段和最小值,体会k倍线段的转化在求线段和最值问题中的关键作用,感悟转化思想;

(2)进一步感受数学的整体性,知识的系统性,感悟启发性思维.

2.1.2 目标解析

达成目标的标志是:会灵活构造直角三角形,将k·PB成功转化,能说出如何将PA+k·PB(0＜k ＜1)线段和的最小值问题成功转化为“两点之间,线段最短”问题的过程;能通过逻辑推理论证所求线段长确为最小值.

2.3 教学疑难诊断分析

经历学习新人教版八上“13.4 最短路径问题”及初三第一轮基础知识复习,学生对“当定点A,B分布在直线l的同侧时,在直线l上找一点P,使PA+PB和最小值问题已有了清楚地认知.如何将PA+k·PB(0＜k ＜1)线段和的最小值问题转化为“两点之间,线段最短”的问题过程中,对如何作辅助线构造直角三角形,转化k·PB,该作哪个点关于哪条直线对称等问题,学生在理解和实践上存在着许多困难.

2.4 教学重难点

本节课的重点是经历并理解将PA+k·PB(k ＞0)型的线段和最小值问题转化为“两点之间,线段最短”问题;

本节课的难点是添加辅助线,灵活构造直角三角形,转化k倍线段.

2.5 教法与学法

本节课以问题串为驱动,采用探究式、启发式、讨论法等教学方法;学生自主探究、合作讨论、分享交流.

2.6 教学设计

活动一:热身训练、回顾旧知

问题1.如图a,等边ΔABC中,AD,BE分别是边BC和边AC上的中线,点P为AD上一动点,则PE+PC的最小值等于( )

图a

A.线段AB的长 B.线段BC的长

C.线段AD的长 D.线段BE的长

问题2.如图b,在ΔABC中,AB=AC,BC=4,ΔABC的面积是16,AC边的垂直平分线EF分别交AC,AB边于点E,F.若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则MC+MD的最小值为( )

图b

A.4 B.5 C.10 D.8

【师生活动】学生独立思考完成问题1,2,遇到困难可以举手向老师提问.教师引导性提问:关注问题1,2 所求,熟悉吗?会让你联想到哪一块学过的知识?运用哪一条可能有用的定理?请学生回答,并让学生阐述为什么选这个答案.

【设计意图】通过问题1,2 让学生回顾知识“两点之间,线段最短”,利用轴对称,把定直线同侧两定点转化为异侧两点,进而利用“两点之间,线段最短”解决两条线段和最小值问题.顺势引入本节课的教学内容,为接下来未知问题转化为已知数学问题作好知识和方法上的铺垫.

活动二:真题体验,方法迁移

图d

变式1(问题1 进行变式).如图c,在边长为4 的等边ΔABC中,AD是边BC上的中线,点P为AD上一动点,则的最小值等于____

图c

【师生活动】学生先独立思考,教师启发性提问:与问题1 相比,变式1 难在哪?能不能想办法将转化成图中某条隐形的线段?能否直接在图中找到这条线段?找不到,能否想办法构造出这条线段?会让你联想到哪些我们学过的可能用得上的定理?如何将的最小值转化成与问题1 类似的两线段和最小值问题,进而利用“两点之间,线段最短”求解?可以详细阐述你的思考过程吗?再小组合作交流,探讨结果,选小组代表上台分享.还有其他想法吗?你能提出新的问题吗?你能从条件出发,或者从问题出发,将这道题继续变式吗?再留足时间组织学生进行组内探讨;最后和学生一起归纳变式1 的解法,步骤,思路;通过引申变式1,启发学生反思问题的切入口,突破点,关键处等,进而慢慢感悟通性通法,建立知识模型,提炼通法.

问题3.(2017年广州市中考,第24 题)如图e,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,ΔCOD关于CD的对称图形为ΔCED.

图e

(2)连接AE,若.

①求sin ∠EAD的值;

②若点P为线段AE上一动点(不与点A重合),连接OP,一动点Q从点O出发,以1cm/s 的速度沿线段OP匀速运动到点P,再以1.5cm/s 的速度沿线段PA匀速运动到点A,到达点A后停止运动.当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时,求AP的长和点Q走完全程所需的时间.

图f

【师生活动】针对问题3可直接告知学生第(2)问①的结果,让学生独立思考完成②,巡视学生的完成情况,适时指导学困生,当学生基本做完后,指导学习小组进行讨论交流;然后请小组代表阐述其思考过程,及时追问为什么这样思考?教师适当点拨并与学生一起提炼一般性的解题思路;最后教师启发性追问:

当k ＞1 时,又该如何去找角,进而转化k倍线段长?

【设计意图】设计从特殊到一般,先探究当k=1,时,求PA+k·PB的最小值,方法:构造以PA为斜边含特殊角度30°,45°,60°的直角三角形,转化k·PA,再探究骨干题中所涉及的一般情形.让学生体验数学的学习由浅入深,层层递进;

由变式1 到引申变式1,再到骨干题(广州市2017年中考第24 题),注重学生学习方法迁移能力的培养,教师启发式问题的设计,构建知识模型助力发展学生的数学思维,让学生深刻体会到数学知识的系统性,严谨性,进而达到“讲一题、懂一串、会一类、通一片”的良好局面.

活动三:知识再探、思维拓展

问题4.如图,抛物线y=x2-2mx+3m与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,-3)

(1)求该抛物线的解析式;

(2)点D为该抛物线上的一点、且在第二象限内,连接AC,若∠DAB=∠ACO,求点D的坐标;

(3)若点E为线段OC上一动点,试求的最小值.

【设计意图】培养学生的学习迁移能力、联想能力,发现问题、分析问题、解决问题的能力,渗透转化思想.

活动四:师生互动、反思总结

问题5.议一议

通过上述问题的处理,说说处理动态几何中PA+k·PB(k ＞0)型的线段和最小值问题可以按哪些步骤进行?是否能归纳通法解决此类型题?过程涉及到哪些数学思想方法?

【归纳总结】①解决动态几何中PA+k·PB(k ＞0)型的线段和最小值问题步骤:

寻找满足sinθ=k的θ构造以PB为斜边包含θ的直角三角形转化k·PB=PQ求(PA+PQ)的最小值(A,Q两点之间,线段最短)(PA+k·PB)(0＜k ＜1)最小值=(PA+PQ)的最小值.

若k ＞1,转化

②解决方法:几何法(三角函数、相似、勾股定理等知识求出线段最小值);

③涉及的数学思想方面:从特殊到一般、演绎、归纳、数形结合、转化等.

【设计意图】总结归纳此类型题的解法,把此类题进行模块整合,使学生从整体眼光看待本节专题内容,增长学生的解题能力和加强学生的解题思维,培养学生归纳总结的能力.

活动五:引申巩固、课后作业

问题6.(必做)如图g,ΔABC在直角坐标系中,D为射线AO上一点,一动点P从点A出发,运动路径为A →D →C,点P在AD上的运动速度是在CD上的3 倍,已知点P在CD上的运动速度是3cm/s,则点P运动的最少时间是多少?

图g

图h

(1)若点D的横坐标为-5,求抛物线的函数表达式;

(2)在(1)的条件下,设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,一动点M从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到点F,再沿线段FD以每秒2 个单位的速度运动到点D后停止,当点F的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时最少?

【设计意图】作业分为必做题和选做题两部分,必做题用于巩固本节课所学知识、方法、技能,选做题用于学有余力的学生课后研究,有利于开拓学生的数学思维,激发学生的学习兴趣,培养学生应用意识,也体现了分层教学要求.

3 中考专题教学思考

3.1 中考专题复习内容设计思考

3.1.1 内容基于教材,高于教材

认真阅读中考考纲,解读中考考点,分析近几年中考考题,不难发现大部分的试题都可以在教材当中找到原型,或是教材上的一道例题、习题直接引用,或是对教材几道习题进行变式,然后再加工整合,使之具有更强的综合性,包含更多的知识点,更加考验学生对数学综合知识的灵活应用能力.可以说大多数的中考题都基于教材但又高于教材,活于教材.因此,在中考专题复习内容设计时,教师需要对教材进行提炼、升华,贯彻一题多解,一题多变,多题一法的原则.本节课的内容设计构思源于新人教版八上“13.4 最短路径问题”的提炼、升华,但两者最终都可化归为“两点之间,线段最短”问题,方法归一助力发展学生的数学思维,提高学生灵活运用知识的能力[3].

3.1.2 用数学整体观整合教学内容

新课程标准指出,数学教学,重点在于知识的“延伸点”以及“生长点”.数学是一个整体,思维是一个系统,专题教学应注重整体性设计,提升学生的系统思维水平.因此,在中考专题复习内容设计时,教师需将知识放在整体知识体系之中,帮助学生整合知识体系,理清部分与整体知识之间的关系,引导学生对数学具备的整体性进行感受.为了让学生的知识掌握和知识体系构建更加具有逻辑性、整体性,教师还应当注重强化知识间的纵向联系,联想已学知识点,在获取新知和新方法的同时,还可以实现学生对原有知识理解的升华和综合运用能力的提高.本节课在学习“PA+k·PB(k ＞0)型线段和最小值问题”的过程中,基础知识点为:“两点之间,线段最短”,对复习内容予以明确的过程中,在素材选择、问题设计以及编排方面,均需要以此知识点为基础,凸显知识的发生、发展路径,使学生的思维得到自然生长[3].

3.2 中考专题复习教学反思

3.2.1 以思维分享为核心,引导学生形成问题链

在专题教学过程中,我们借助如图1-图3所示的思维导图,重点引导学生经历理性思考的过程.以本节课为例:

图2

图3

培养学生的思维能力,教师要立足于具体问题的引导与分析,让学生体会探讨问题的自然生成过程.本节课中教师通过提出问题“你是怎样思考的”,实事求是地呈现学生的思考过程,通过问题“为什么这样思考”引导学生理性分析,归纳通性通法,通过问题“还有其他的方法吗”引导学生求变创新,进而发展学生的数学思维能力[2].

3.2.2 提炼规律,构建知识模型

在进行完一道具有代表性的经典例题品析之后,教师需要引导学生对同类型的问题进行适当小结,以思维导图形式展示解题步骤的分析与解题方法的提炼,带领学生一起构建知识模型.本节课以思维导图形式展示了变式1 的解题步骤流程与解题方法.孔凡哲教授曾说:“从某种意义上说,解决问题就是一种模型化的过程”.

3.2.3 反思解题经历,总结通性通法

数学教育家弗赖登塔尔指出,反思是数学思维活动的核心与动力.所以,在进行完一个专题的复习教学之后,教师需要引导学生反思问题涉及的知识考点、问题的结构特征、条件与结论的关系,整合知识模块,总结通性通法,这样有利于学生发现各种类似问题之间的联系和差别,使学生熟练掌握与此类型题相关的一系列问题,能够以一道题为载体解决多个或多类数学问题,从而达到“讲一题、懂一串、会一类、通一片”的良好局面,助力发展学生的数学思维[3].

总之,合理设计中考专题教学,能使学生高效地复习数学知识,自主发现数学知识间的内在联系,加深对相关数学知识的纵向理解,助力帮助学生构建知识的内在体系,发展学生的数学整体观.