聚焦模型思想发展核心素养<br/>——对中考压轴题“胡不归”模型的思考

聚焦模型思想发展核心素养
——对中考压轴题“胡不归”模型的思考

2021-07-08广东省肇庆市高新区龙湖学校526238康雯

中学数学研究(广东) 2021年12期

广东省肇庆市高新区龙湖学校(526238) 康雯

湖南省郴州市第十九中学(423000) 马佳

数学模型是指根据特定的研究目的,采用形式化的数学语言,抽象地、概括地表征所研究对象地主要特征、关系所形成地一种数学结构[1].渗透模型思想是义务教育阶段的数学教育的目标要求;建立模型思想对于学生数学认知发展具有重要价值作用;“体会和理解数学与外部世界的联系”是学生数学学习的一个重要方面和模型思想养成的基本策略[2].“胡不归”问题本身源于物理科学中光在不同介质中地传播现象,同时也蕴含着深厚的人文背景,既体现了学科融合,也能在日常教学当中培养学生的情感态度价值观.该问题是进行数学建模的好素材.模型思想作为数学的一种基本思想在中考试题中频频得到考查,在初中数学课堂中,帮助学生积累建模经验、形成模型意识、掌握建模方法、形成一定的模型应用能力,既有助于学生数学核心素养的提升,也有助于开拓学生解题思维,提高学生解题能力,解决中考难题时更加得心应手.

1 “胡不归”问题模型(a+k·b(k ＞0,k /=1))

一个小伙子在A地当学徒,当他得悉在家乡B地的年老父亲病危的消息后,便立即请假启程赶回.如图1,AC是一条驿道,驿道靠B地一侧全是沙砾地带.为了急切回家,小伙子选择了全是沙砾地带的直线路径AB,但当他气喘吁吁地来到父亲床前,老人刚刚过世.小伙子不觉失声痛哭.有人告诉小伙子,老人在弥留之际,还在不断喃喃叨念:“胡不归?胡不归?……”并深为怜惜地反问道:“你为何不先坐个马车,沿驿道走一程再走沙砾地呢?

图1

在这个传说中,老人在弥留之际没有见到儿子着实令人感到遗憾,不禁引人思考,小伙子能用更短的时间到家吗?由于在驿道和沙砾地的行走速度不一样,小伙子如果先在驿道上走一程后,再走沙砾地,总用时会更短吗?如果存在这种可能,在驿道上行走多远再走沙砾地才使得行走的时间最短?

解决这个问题的方法有等效法、微元法、极值法等,在物理学科中,“胡不归”问题可采用力的平衡原理的力学方法、光的传播规律得出的费马原理比较法等方法解决;在数学学科中,一般采用等效法,即构造一条线段代替原来的kPA+PB(k ＞0,k /=1)中的kPA.使得kPA+PB两条折线转化为一条直线,求直线的最小值，即求出kPA+PB的最小值，确定p点的位置.

图2

从情境中可知,驿道上的行驶速度要比沙砾地上的行驶速度快,即V1＞V2,小伙子从A地到B地所需要的时间求赶路花费的最短时间,关键是求出的最小值.由于是常数,可用k代替,即求kPA+PB的最小值.

解题步骤:第一步过点A在直线AC另一侧作直线AM,使得得到一条长度为的替换线段就转换成了求;第二步,根据“垂线段最短”原理有:过B点作AM的垂线与AC交于点P,以PA为边的三角形变成直角三角形,有BP+PE的值最小,此时t取得最小值,即先走一段驿道AP,再走一段砂地PB用时最短;第三步,计算求出相关数据.

2 原题再现

2.1 ka+b(k ＜1)型

例1在平面直角坐标系中,将二次函数y=ax2(a ＞0)的图象向右平移1 个单位,再向下平移2 个单位,得到如图所示的抛物线,该抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),OA=1,经过点A的一次函数y=kx+b(k /=0)的图象与y轴正半轴交与点C,且与抛物线的另一个交点为D,ΔABD的面积为5.

图3

(1)求抛物线和一次函数的解析式;

(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方,求ΔACE面积的最大值,并求出此时点E的坐标;

(3)若点P为x轴上任意一点,在(2)的结论下,求的最小值.

【分析】该题为2019年绵阳市中考第24 题(共25 题),第(3)问中,点A和点E为定点,且PA所在直线的位置不发生改变,求的最小值,可采用“胡不归”模型进行求解.解题的关键在于过点A构造直线把转化为点P到直线l的距离,进而利用“直线外一点到直线上点的所有连线中垂线段最短”即可求得的最小值.

(2)E的坐标为时,ΔACE的面积取得最大值.

过点A作直线过点P向直线l作垂线,垂足为G,那么.

第二步,探究最小值.

作EH ⊥l于H,那么在RtΔEGH中,EH ＜EG.而在ΔEGP当中,EG ＜PE+PG.所以当点G与点H重合时,PE+PG取得最小值,最小值是EH.

第三步,计算最小值.

过点E作y轴的平行线交直线l于点M,那么在RtΔEMH中,所以所以的最小值为3.

2.2 ma+nb(m,n ＞0,m/=n)型

例2(19 天津第25 题).已知抛物线y=x2-bx+c(b,c为常数,b ＞0),经过点A(-1,0),点M(m,0)是x轴正半轴上的动点.

(1)当b=2 时,求抛物线的顶点坐标;

(2)点D(b,yD)在抛物线上,当AM=AD,m=5 时,求b的值;

【解析】(1)抛物线的顶点坐标为(1,-4).

图4

作QH垂直x轴于点H.在RtΔQMH中,∠QMH=所以在等腰RtΔAMG中,所以所以.整理得,解得b=4.

2.3 多线段转化为ma+nb(m,n ＞0,m/=n)型

例3如图5,菱形ABCD的对角线AC上有一动点P,BC=6,∠ABC=150°,则线段AP+BP+PD的最小值为____.

图5

【分析】该题求三条线段的和,可用熟悉的“费马点”模型进行求解.在该题中,由于菱形的性质可得BP=PD,所以AP+BP+PD=AP+2BP=AP+2PB,此时就转化成了ma+nb(m,n ＞0,m/=n)型的胡不归问题.

【解析】作射线AE,使得∠PAE=30°,作PF ⊥AE,则当B、P、F三点一线时,AP+BP+PD的值最小,过点B作BH ⊥AE,AP+BP+PD=2BH=2·.

3 试题感悟

3.1 溯本清源,激发建模兴趣

由于数学建模问题本身具有综合性、复杂性等特点,在实际的建模教学过程中学生普遍对模型的建立理解不到位.数学建模思想能力考查常出现在近几年的中考当中,翻阅历年中考真题,中考压轴题中常有与函数图像结合起来进行考查的几何模型.学生遇到此类题型往往不知从何下手,存在畏难心理,甚至直接放弃该题解答.几何模型常有深厚的实际生活背景,多来源于实际的工程问题,如“胡不归”问题可看作是一道时间最优化问题.教学中,要从学生熟悉的生活情境入手,引导学生通过建模解决问题,激发学生建模的主动性,帮助学生克服数学建模的畏难情绪,树立建模解题的信心.

3.2 技术助力,经历建模过程

在数学建模过程中,由于数学建模问题情境的复杂性,许多教师在数学建模之前先对数学建模问题进行相关的假设,甚至直接从问题背景中提取数学问题让学生进行求解.但是实际生活中的问题本就十分复杂,虽然经过教师处理降低了问题的复杂的程度,体现出问题的本质;但对学生而言,学生没有建模的体验,对于抽象的数学模型的建立难以理解,应用数学模型解题就无从谈起,应该给学生留有对问题进行合理假设的机会,让学生体会数学建模解题的便捷的乐趣.课程标准中明确指出引导学生对实际问题进行合理假设是数学建模的一个重要步骤,因而缺乏让学生从实际问题中抽象出数学问题的教学不过就是习题课的常规讲解.

如何让学生在课堂中经历完整的建模过程呢?信息技术的高速发展为解决这个问题提供了思路.一、现代化信息技术融入数学建模课堂导入.如在“胡不归”问题的教学中,将问题用生动形象的微课进行展示,既能有效提高教学效率,也能使学生获得更加生动直观的体验,提高数学建模的兴趣.二、借助动态数学技术比如几何画板来进行探究.几何模型的学习离不开良好的直观想象素养,借助动态软件改变图形形状、大小,拖动点以观察图形变化等,给学生以直观体验,发展直观想象素养.三、借助动态数学技术直观验证结论.四、利用动态数学技术助力变式教学,一般化数学模型.借助动态数学技术改变问题的非关键属性,使学生从变化中找到不变的规律.