基于波利亚解题思想的解题教学思考——以2020年高考全国Ⅱ卷理科数学第21题为例

华南师范大学数学科学学院(510631) 张雁

解题教学是教师引导学生学习与反思的一个重要途径,对于学生解题能力的提高具有重要作用.有意义的解题教学可以让学生在掌握特定题目解法的同时,对数学问题有更深入的认识,理解数学解题的策略.而波利亚解题思想为怎样解题提供了清晰的思路,波利亚的“怎样解题表”结合理论与实践,通过程序化的解题系统与启发式的过程分析一步步指引学生进行解题思考,引导学生产生念头,培养他们的独立探索能力.波利亚解题思想与解题教学的结合能够指导教师教学,教会学生思考,帮助学生培养良好解题习惯,构建解题思维,向他们传授解题学习的技能与方法,使他们从中领会数学的精神实质.而数学高考卷的第21 题作为压轴题,很好地考察了学生的数学思维,区分度强,对学生的数学素养要求较高,其解题教学能体现高中数学的重点内容,2020年高考全国Ⅱ卷理科数学第21 题对于学生采取合适的解题方法、正确运用所学知识以及数学思维能力都有较高的要求,故本文以该题为例,探析波利亚思想在解题教学中的应用.该题与波利亚解题思想结合的教学方式有利于帮助学生巩固三角函数的相关知识点,训练学生在解题时开展积极活跃且有逻辑的思维活动,提高学生的解题能力.

1 试题呈现及解法

(2020年高考全国Ⅱ卷理科数学第21 题)已知函数f(x)=sin2xsin 2x.

(1)讨论f(x)在区间(0,π)的单调性;

(3)设n ∈N*,证明:sin2xsin22xsin24x...sin22nx≤.

评析:该题第(1)问探究三角函数的单调性问题,主要考查复合函数求导方法、三角函数运算方法等知识;考察学生数学运算能力.第(2)问要求学生求函数的值域,结合函数周期性知识,考查学生的分析问题能力、数学运算的能力.第(3)问求证原函数表达式的拓展形式相关的不等式,重点考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力,考查学生的数学思维.试题的各小问间联系密切,层次分明,不断递进,达到了试题的考察目的,实现思维方法在不同小问解题过程中的协调和统一,体现了“能力立意”的命题原则.

由于该题第(1)问考察知识内容较为基础,第(2)问与第(3)问内部存在较强逻辑关系,因此本文重点关注第(2)问与第(3)问的解法选取.

第(2)问解法:

方法一:利用函数单调性与周期性求解最值

由(1)知,f(x)在单调递增,在单调递减,f(0)=f(π)=0,可以求得f(x)在(0,π)的最大值为最小值为而f(x)=sin2xsin 2x=2sin3xcosx是周期为π的周期函数,故.

该法充分利用第(1)问得到的函数区间单调性信息,求解得到函数在特定区间上的最值,再通过函数表达式分析函数的周期性,将函数在区间上的最值推广到整个定义域中.思路相对清晰,逻辑联系强,大部分学生的思维定势倾向于利用单调性解决问题,采取此种做法进行解题.

方法二:利用多元均值不等式消去变量

该法将函数值的范围转化为其平方值的范围求解,结合多元均值不等式巧妙地拆分函数平方项表达式,以凑出正弦平方项与余弦平方项,消去变量使问题得证.这种解法快速便捷,计算简单,但要求学生对多元均值不等式有较为深入的理解,难点在于学生缺乏与均值不等式相关的的解题经验,难以从函数表达式中抽象出均值不等式对应表达,顿悟到4 sin6xcos2x可视作四元乘积.

第(3)问解法:

方法一:结合函数最值问题求解

这种解法将不等式左侧进行指数运算,以拆分为三角函数和多个函数值的乘积,结合第(2)问函数值域范围,使不等式得证.此解法充分运用了已知结论,简化运算,与第(2)问关联性强,学生容易产生解题联想,是大部分学生倾向采取的解法.

方法二:多元均值不等式消去变量

第(3)问需要证明的不等式左侧为题目所给函数的拓展形式,可利用与第(2)问相同的多元均值不等式拆分函数平方项表达式,化不等式左侧为多个正余弦平方项之和的积,从而使不等式得证.这种解法在第(3)问中的应用是在第(2)问中应用的拓展,学生对于该解法在前一问中应用的理解对此法在本问中的应用具有重要意义.

方法三:数学归纳法证明

则当n=k时,上式得证.所以

这种方式将原不等式左侧式子进行缩放,得到原函数的连乘拓展表达式,结合第(2)问中结论,利用第一数学归纳法进行证明,对数学素养要求较高,是较少学生会采取的解题思路.

针对第(2)问,方法一与第(1)问存在较强关联,且利用单调性求解函数值域是学生经常遇到的问题,在学生脑海中存在思维定势,学生更容易联想到这种方法,他们解题时可能会遇到的问题包括函数周期性的判断、函数极值的求解,这些问题对于大多数学生而言都是易于解决的;方法二思路较为独特,对学生掌握多元均值不等式的程度要求高,在考试解题中的运用比较少见,关键点与难点都在于三角函数与均值不等式联系的建立,而这是学生在短时间内难以做到的.针对第(3)问,方法一是第(2)问单调性解法的延续,思维过渡自然,简单快捷,难点在于如何将多个平方项的乘积转化为与已知函数相关联的形式;方法二与第(2)问中均值不等式求解方法本质相同,在学生掌握第(2)问对应方法的前提下比较容易联想应用;方法三需要学生具备较强的逻辑推理能力与数学思维,对于大部分学生来说难以寻找到此法突破口.故本文选择引导学生掌握第(2)问方法一与第(3)问方法一的思路,对此展开与波利亚解题思想结合的解题教学研究.

2 试题教学方法探析

波利亚的解题程序将解题过程分为四个部分:弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾,他强调程序化的解题系统、启发式的过程分析、开放型的念头诱发、探索性的问题转换.教师在试题教学的过程中,应做到不只是让学生学会了这道题目的解法,更应该在教导解法的过程中,让学生思维更加严密,了解迅速找到适合的解题方法的策略,累积解题经验,总结规律,提高学生分析问题与解决问题的能力,锻炼学生的数学素养.本文在波利亚解题模型的基础上设计解题教学过程,借助波利亚解题思想,在教导本题的同时培养学生独立探索能力,提高解题效率[1][2].

2.1 弄清问题

教师解题教学的第一步是要让学生弄清问题,“问题想得透彻,意味着问题解决了一半”,学生在理解了问题中的各项信息以后才能对问题进行清晰透彻的分析.这项过程可以借助波利亚的解题表进行.波利亚的解题表包括:未知是什么?已知是什么?条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知,条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的?

针对本题,教师应先引导学生思考上述问题,揭露问题的本质:

第(1)问第(2)问第(3)问未知是什么?3函数的单调性|f(x)|与38 的大小关系.sin2 x sin2 2x sin2 4x...sin2 2nx与3n 4n 的大小关系已知是什么?一个给定的函数表达式函数的表达式函数在(0,π)上的单调性sin2 x sin 2x≤33 8条件是什么?一个确定的区间(0,π)给函数加一个绝对值n ∈N*满足条件是否可能?可能,(0,π)是给定函数的一个正常区间,函数在这个区间上有其单调性可能,每一个函数都可以加上绝对值可能,对于任意的n,n ∈N* 时,sin2 x sin2 2x sin2 4x...sin2 2nx都是一个确定的式子要确定未知,条件是否充分?或者不充分?或者多余?或者矛盾?当函数的表达式确定时,其在某个固定区间的单调性就是确定的,因此可以求出函数在这个区间的单调性,故条件充分.|f(x)|的函数图像是确定的,其最大值和最小值也是确定的,因此|f(x)|与33 8的大小关系是可以被确定的,故条件充分.当n 确定时,sin2 x sin2 2x sin2 4x...sin2 2nx就是一个确定的函数,由于每一个sin2 2kx(k ∈N* 且k ≤n)都有最大值,所以sin2 x sin2 2x sin2 4x...sin2 2nx也存在最大值,因此其与3n 4n 的大小关系是确定的,故条件充分.

当学生对问题有了清晰的理解之后,他们就会明白,自己能做什么,要做什么,从而对问题的解决有了进一步的规划.

2.2 拟定计划(分析题目)

教师在指导学生拟定计划时应先让学生结合所学知识与以往解题经验,对目标问题与过往解决的问题形成联结,对实际题目进行明确、清晰的分析,判断过往方法是否可以直接运用或稍作改变运用在本次题目中.

在求解第(1)问时,学生可能会尝试利用掌握的函数图象相关知识直接绘制函数草图,或利用函数求导对函数单调性进行判断.教师引导学生拟定此问计划时应唤起学生对判断单调性方法的记忆,对多种方法对此题的适用性进行判断,从而拟定合适的计划.

你以前见过类似的问题吗?这个问题让你联想到什么?解决这类问题能够采用什么方法?你能重新叙述这道题目吗?能以不同的方式叙述它吗?第(1)问1.可以画出函数的图像来大致模拟函数的变化规律.2.求函数单调性的问题遇到过很多,其中也有与1.一般可以直接使用求导的方法.2.有的时候可以先通过二倍角公式等方法将式子变成更简单的形式,然而再求单调性.求一个给定的复合三角函数的单调性,知道它在(0,π)上哪部分递增,哪部分递减.三角函数相关的问题,但一般难度不大.

在求解第(2)问时,根据以往学习判断函数值域的方法,学生很可能会结合第(1)问的函数单调性结果进行分析,在极值处判断最值.教师可以引导学生思考这道题的另一本质:求证不等式,分析是否可利用不等式的相关知识与过往解不等式问题的经验从另一角度制定此题的解法,从多个三角函数的乘积联想到多元均值不等式,结合正余弦平方和公式解决问题.

你以前见过类似的问题吗?这个问题让你联想到什么?解决这类问题能够采用什么方法?你能重新叙述这道题目吗?能以不同的方式叙述它吗?问题的形式似乎指引我们从函数的角度来证明|f(x)|≤31.遇到过不少这种比较函数与某固定数值大小关系的问题,其形式上涉及函数,因此可以从函数的角度来思考.2.其结构上涉及到不等式,应该也可以从不等式的角度来思考.3.第(1)问帮我们求出了函数的单调性,所以可以直接从函数的角度入手.1.一般可以通过求导了解左侧函数的变化规律,进而求出|f(x)|的最大值,以此来判断不等式是否成立.2.证明不等式也可以直接使用不等式的相关公式,比如可以通过两边平方的方式处理左式的绝对值,对得到的4 sin6 x cos2 x联想到:a sin2nx cos2m x ≤b 的结构,也许可以采用均值不等式来处理.3 8,但是将f(x)=sin2 x sin 2x代入|f(x)|≤33第(2)问8后,其本质就是让我们证明对于任意的x,必有sin2 x sin 2x≤33 8 这个不等式成立.

在求解第(3)问时,从不等式的形式中学生可以形成其与第(2)问的关联认知,但学生对这个关联的具体内容往往还不太清晰,教师需要引导学生寻找这个关联,抽象出其指数形式是一个三角函数与若干个题目所给函数的乘积,从而拟定解题计划.

你以前见过类似的问题吗?这个问题让你联想到什么?解决这类问题能够采用什么方法?你能重新叙述这道题目吗?能以不同的方式叙述它吗?1.第(3)问和第(2)问的形式有点相似,都有sin x sin 2x 这样的结构,只是次数不同而已.是不是可以借用第(2)问的结论?2.这种n 项累乘的结构好像并不少见,但是想不起什么固定的题型.3.由于随着n 的变化,并不能同时满足每一个

sin2 2kx(k ∈N*且k ≤n)都有sin2 2kx ≤3 4,因此这道题似乎不能单独去证明sin2 2kx ≤3第(3)问4,而应该整体看待这个问题.4.x,2x,4x...后者均与前者呈2 倍关系,由此联想到2 倍角公式.5.333 2)3,数字3 对应f(x)的总次数.8=(好像暂时没有其他的角度来理解这个问题,只能从原题目本身来认识它:设n ∈N*,证明:sin2 x sin2 2x sin2 4x...sin2 2nx ≤3n 1.n 项累乘的不等式,有的时候可以采用数学归纳法.2.可以采用放缩法,但暂时不知道如何下手,可能需要配合其他方法.3.x,2x,4x...后者均与前者呈2 倍关系,或许可以通过2 倍角公式将式子变形,然后求解.4.看起来好像可以用第(2)问中的结构进行累乘得到类似结构,然后再想办法处理.5.如果和第(2)问有关,那么也可以使用第(2)问的不等式进行放缩.4n.而(33 2)2n,数字2n 次对应sin2 x sin2 2x sin2 4x...sin2 2nx的总次数.联想到第(2)问与第(3)问之间存在关联.4)n=(

学生在分析题目的过程中,通过不断地对问题内容和结构进行模式识别,提取脑海中的相关信息进行认知迁移,进而发散出多种可能解决问题的路径.然后学生需要选取某种路径制定相应的解题计划——这种路径的选取并非是完全随机的.比如上表对第(3)问的分析中,多处线索均显示第(2)问与第(3)问之间可能存在关联,因此学生在拟定解题计划时,可以优先考虑从第(2)问的结果或结构延伸出来的思路.

2.3 实行计划

学生选定了具体的解题计划后,教师应当引导他们注意“低头看路和抬头望天”——在执行解题方案的过程中,学生一方面需要脚踏实地,检查每一个步骤,确保思维的每一次进程都严谨正确;另一方面则要随时监控自身的解题情况,在解题过程中对未来的方向做评估和预判.比如这个方法是否可行?是否将所有的线索串联了起来?是否能够顺利地进行下去?等等.此外,如果在实行计划的过程中遭遇困难,是分析困难原因,有针对性地进行调整,然后继续沿着该方案前进,还是退回思维的起点,采用其他解题路径继续思考?前者可能会导致学生继续消耗大量时间,也可能能够帮助学生最终解决问题;后者可能让学生转回到了正确的思路上,也可能让学生走上了另一条“死胡同”.由此可见,在实行计划的过程中,学生并非简单地依照预设的思路进行推理计算,还需要运用元认知策略对解题过程中的重要决策进行判断.

比如上述的第(3)问中,如果学生一开始观察x,2x,4x...2nx,发现后者均与前者呈2 倍关系,由此联想到2 倍角公式.于是可以将sin2xsin22xsin24x...sin22nx转化为:4nsin2xsin2xsin22xsin24x...sin22n-1xcos2xcos22xcos24x...cos22n-1x,然后对这个式子进行放缩:由于所以sin2xsin22xsin24x...sin22n-1x即证4nsin2x ≤,这显然是放缩过头了.一些学生在这里陷入了苦思,白白耗费了时间;而另一些学生则会在心里进行评估:这种变形似乎除了构造出新的cos2x结构以外,并没有其他什么好处.相反第(2)问中的sin2xsin 2x与第(3)问的sin2xsin22xsin24x...sin22nx存在某种结构上的相似,加上第(2)问中数字3 对应f(x)的总次数,而第(3)问中数字2n次对应sin2xsin22xsin24x...sin22nx的总次数,由此可见第(3)问的解答与第(2)问的结果存在关联.接着这种评估,学生将会放弃2 倍角的方法,转而投入到新的思路中.

在难题解决的过程中,这种对拟定计划的不断尝试和否定将耗费学生大量时间,因此教师也应该给予学生足够的时间来实行计划,并且重点关注学生的尝试与否定过程,据此结合上一步对于题目的分析,培养学生对于最简便方法选取的意识.

2.4 回顾

在完成解题以后,学生通过重新考虑与检查这个结果和得出这一结果的解题过程,能够巩固他们的知识和发展他们解题的能力.

需要注意的是,通过波利亚的解题方式对学生进行解题教学,是旨在通过讲解特定题目的解法向学生传授普遍的解题思路.掌握特定题目的解题方法不是解题教学的根本目的,只是向学生传达解题思想的途径.教师需要重点关注教学过程中对学生思维的引导,加强学生对于解题模式的理解,在不断的解题教学过程中一步步地培养学生独立探索、思考能力与数学解题能力.

3 总结反思

波利亚强调:“解题的成功要靠正确思路的选择,要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒为了找出哪个方面是正确的方面,哪一侧是好接近的一侧,我们从各个方面、各个侧面去试验.”教师在解题教学过程中需要把握住教学目标,巩固学生对过往知识的认知,丰富学生的题目认知经验,培养学生的解题能力与解题兴趣.教师与教育研究者也应立足题目,充分发挥题目的价值,实现解题之于学生的意义.