例谈数学思维能力的阶梯培养——以“概率”复习课为例

广东省清远市清城区清城中学(511500) 李健

思维是认识过程的高级阶段,是人脑对事物本质和事物之间规律性关系的反映.思维通俗说就是人们在工作、学习、生活中每逢遇到问题,总要“想一想”,这种“想”就是思维[2].思维能力是通过分析、综合、概括、抽象、比较、具体化和系统化等一系列过程,对感性材料进行加工并转化为理性认识来解决问题的能力.思维能力是一切发展能力的核心.新课标下的初中数学课程的出发点就是促进学生全面、持续、和谐地发展,而新课标的基本理念也是培养学生的思维能力[3].因此,如何培养初中生数学思维能力就成了笔者近几年研究的重点.笔者以课例研究为抓手,打破知识界限,完善知识体系,跨知识点组合,极大地拓宽了学生的思维发展空间.

初中生的数学思维能力培养要充分考虑其计划性、连续性、系统性,不可急功近利,应该按照由低级到高级,分层次逐步培养,形成阶梯式培养.在课堂教学中,要善于挖掘数学关系的内涵,由浅入深,由表及里,采取阶梯式培养方式,特别是复习课,机会更好,效果更佳.笔者结合教学实践,现以“概率”复习课为例子,和大家共同思考.

在初中概率复习教学中,必须要让学生理解“概率”的内涵,要准确理解概率,重点是弄清“频率”与“概率”的区别和内在关系.

第一,频率是通过实验、计算实际发生情况的数据,它与实验情况和发生次数有关,而概率是确定的数据,它不是实际发生的,与实验的情况无直接关系.第二,对同一种数学关系进行实验,虽然每一次的频率不一定相同,但它有一种内在趋势,它会在某一种数量关系中上下波动;而概率则是反映某种数量关系的稳定性,属于理想或理论范畴.第三,概率是可以通过分析比较频率的不断变化而估计出来的,是事件发生的大概机会(百分比),因此,在实际中,我们通常用“频率”去估计“概率”.

1 复习频率(培养分析、判断、理解能力)

频率:在某一种样本实验中,某件事情发生的次数与事件的总数的比叫做频率.通过对例题的分析、判断,达到理解“频率”内涵的目标,实际上就是培养学生的分析性思维能力.

例1某人进行分组射击练习,其数据如下表,求出每组射中靶心的频率.

组数第一组第二组第三组第四组第五组数据射击次数(次)10 20 50 100 200射中靶心(次)9 17 45 92 178射中靶心的频率0.90 0.85 0.90 0.92 0.89

引导学生观察,每一组射击次数不同,频率只有第一组,第三组相同,其它都不一样.继续观察五组数据的频率,虽然不尽相同,但是发现它变化不大,具有相对的稳定性.

2 发现概率(发现新的数学关系,培养学生创造性思维能力)

在上例中继续设问:可否找到五个频率上下波动的“中间位置的数”?学生能大概估计出上面五个频率可能围绕“0.90”上下波动.让学生理解,实验中频率是变化的,但是它不会无序变化,它好像围绕某一个稳定的数上下波动.

例2下面是世界上一些科学家作掷硬币的实验数据.

实验者德·摩根布丰费勒皮尔逊罗曼洛夫斯基数据掷的总次数2048 4040 10000 24000 80640正面朝上次数1061 2048 4979 12012 40173频率0.5181 0.5069 0.4979 0.5005 0.4982

引导学生观察表格中三种数据的关系,学生很快会发现:虽然每个科学家掷硬币的总次数不同,出现正面朝上的次数也不同,但是他们掷出正面朝上的频率接近“某一个数”,并且学生容易发现这个数可能是0.5(发现猜想关系).

因为这些都是实验数据,结论只能是“猜测”、“估计”,没有理论依据,所以要引导学生进一步深入思考.

设问:“硬币有几个面?”“正面和背面,共两个面”,“将一个硬币随便抛出去可能出现几种情况?”,“正面朝上或背面朝上两种可能”,“这两种可能出现的机会均等吗?”,“应该均等”.拓展深化问题:“骰子有几个面?”,“六个”,“掷骰子时,有没有可能出现某一个面或某几个面的可能性会大些?”,“不会,因为是正方体,每一个面出现的可能性一样”(进一步理解猜想关系).

教师引导学生分析,掷硬币时,总共有两种可能,一是正面朝上,二是背面朝上,而正面朝上与背面朝上的机会是均等的,所以它们出现的可能性是50%,即0.5,也就是说,正面朝上和背面朝上的可能性都是50%.继续引导学生思考,掷一次骰子,正面出现“两点”的可能性又如何?学生思考,教师启发点拨,然后发现:正面出现一到六点的机会是均等的,总共有六种可能,因此正面出现两点的可能性是1/6.这个时候,学生在思考中发现了一种新的数学关系.

概率:事件发生的可能性大小的数值叫做概率.

3 概率应用(通过三个层次的应用,培养学生的实用性思维能力)

3.1 直接应用

创设简单的“概率”问题情境,直接运用“概率”数学关系进行计算、解答.

例3某人掷10 次硬币,前8 次都是正面朝上,最后两次应该是背面朝上,这种说法正确吗?

让学生分析讨论,教师启发引导:因为掷硬币,每一次正面朝上和背面朝上的机会是均等的(属于概率范畴),并不等于说实际掷出正面朝上或背面朝上的次数一样多(属于频率范畴),所以最后两次背面朝上和正面朝上的机会还是一样的.

例4我们拿一个不透明的布袋,先放进5 个红球,再放进2 个黄球和1 个白球,这三种球形状、大小和质地一样,数学科代表小明从布袋中随机摸出一个球,问小明摸到红球的可能性有多大?

引导学生思考:“三种球的形状、大小和质地一样”是什么意思?说明靠手摸只能感受形状、大小和质地,分辨不出颜色;那为什么要将球放在布袋里?因为不放在布袋里,就看得到,能分辨颜色,在拿球的时候容易受主观因素的影响,机会就可能不均等.题中的两个外部条件“放在口袋里”,“除颜色外完全相同”,目的是为确保摸到每一个球“机会均等”,这是关键.只有让学生将不同情境中的概率的内在关系弄明白,学生才会准确理解、掌握、应用知识.

解:红、黄、白球共有8 个,随机摸一个球出来,有8 种可能,而摸到红球机会有5 次,摸到黄球机会有2 次,摸到白球机会有1 次,因此,摸到红球的概率为5/8.

3.2 叠加应用

利用两个或两个以上的知识点,通过创设数学关系,营造“概率”问题情境,让“概率”知识能与其它知识联通融合,扩大“概率”知识,灵活运用[4].

例5在一副扑克牌中拿出四张,并在四张扑克牌的正面分别贴上等腰三角形、矩形、菱形、圆,然后把四张扑克牌背面向上并洗牌,学生小李在四张牌中随机抽出1 张,问小李抽到的牌的正面图形是中心对称图形的可能性有多大?

此题就是将概率问题与中心对称图形判断相结合的问题,属于两个知识点叠加问题.因为从4 张扑克牌中随机抽取1 张是等腰三角形、矩形、菱形、圆的机会均等(背面相同),而矩形、菱形、圆3 张都是中心对称图形,所以随机抽1 张扑克牌图形为中心对称图形的概率为3/4.

例6在一次用频率去估计概率的实验中,将数据绘成折线统计图,根据折线图判断可能是下面哪一种?

A.掷一枚六面体的骰子,出现1 点的概率

B.抛一枚硬币,出现正面的概率

C.任意写一个整数,它能被2 整除的概率

D.从一个装有2 个白球和1 个红球的袋中任取一个球,球除颜色外相等,取到红球的概率

这个问题就是让学生在理解概率的计算和掌握用频率去估计概率的数学思想方法的基础上找到结合点.引导学生分析思考:既然它是两个问题的结合,那么就先分别弄清两个问题,再进行对比就可以了.根据事件计算概率:

然后由折线图可看出实验频率在接近处上下波动,因此可以判断是D 实验.

3.3 创新应用

通过多个知识点结合或将知识点与数学思想方法相结合,创设复杂多变的“概率”数学关系情境,培养学生解决新的实际问题的能力[5].

例7假如知道一个三角形的三条边分别是3、5 和x,且这个三角形的周长为正整数,那么这个三角形为等腰三角形的概率是多少呢?

引导学生分析思考:三角形三边中已知两边,第三边为可变量,根据构成三角形的条件,可求出x的范围:5-3＜x ＜5+3 即2＜x ＜8,因为三角形的周长为正整数,而有两条边是3 和5,所以第三条边也应为正整数.故x可能取3、4、5、6、7,共有5 种可能,而等腰三角形只有3、5、3和3、5、5 两种.所以自然得出是等腰三角形的概率为.本例就是由概率、三角形构成判定、等腰三角形判定、正整数解这几个知识点构成的一个新型问题.

例8某公司将农副产品运往杭州某市场销售,记该车行驶时间为t小时,平均速度为v千米/小时,汽车行驶速度不超过100 千米/小时,根据经验v、t的一组对应值如下表:

v(千米/小时)75 80 85 90 95 t(小时)4.00 3.75 3.53 3.33 3.16

(1)根据表中数据,求v关于t的函数关系式.

(2)汽车上午7:30 从公司出发,能否在上午10:00 之前到达市场?

(3)若3.5 ≤t≤4,求v的取值范围.

引导学生分析:①关于速度、时间、路程问题,很简单s=vt,而此题中公司和杭州某市场地点是相对固定的,因此要先确定公司与市场的距离,按经验数据计算出路程分别是:300 千米,300 千米,300.05 千米,299.7 千米,300.2 千米,公司与市场的距离是固定的,而上面计算出的路程虽然不同,但是差距很小,说明车辆在实际运行过程中有误差,这很正常,我们可以用频率估计概率的思想,从而得出公司到市场的实际距离为300 千米,因此可以得到函数关系式.

本例是利用“频率”估计“概率”的数学思想和方法,巧妙构建问题情境,让学生解决行程问题和不等式问题.

通过加强学生思维能力培养,笔者所教学生升上高中后,能很快适应高中学习,学习能力比其他学生强,并且发展很好.清远市第一中学、清远市华侨中学及珠三角地区的一些学校很乐意招收这样的毕业生.