原油、黄金、美元的资产组合风险度量

邢可可 洪振木

摘 要：在全球疫情期间，原油和黄金都经历了暴涨暴跌，不仅吸引了一大批投资者将投资重点重新转移到了原油市场和黄金市场，也加剧了美元价格的震荡幅度，为了应对这个挑战，需要准确度量其价格波动带来的风险。因此，本文将Copula函数与GARCH模型相结合，构造条件联合分布，并用方差-协方差法、历史模拟法以及蒙特卡洛模拟法计算原油、黄金、美元投资组合的VaR，并对VaR进行回溯检验，最后利用马克维兹理论求出最优投资组合并计算它们的风险值。研究结果表明t分布能够更好地拟合各资产的边际分布，基于t-Copula-GARCH模型的蒙特卡洛模拟计算出来的VaR最为准确，原油、黄金和美元的投资组合是有效的，能更好地降低投资风险。

关键词：Copula-VaR模型;投资组合;风险度量

中图分类号：F830.59  文献标识码：A  文章编号：1673-260X（2021）02-0050-07

1 引言

原油是当今全球经济最重要的大宗商品之一，通常被视为一种比较优势和战略资源。过去的研究表明，油价动态会影响经济活动和股市。最近，关于原油价格动态及其对实体和金融部门影响的研究受到了几个重要事实的挑战。原油价格在过去的三十年里经历了非常大的波动，而且比从第二次世界大战到二十世纪七十年代初这段时间更加不稳定。油价更大的不稳定最初出现在1973年和1979年世界石油危机之后。这种趋势在1980年代石油价格崩溃时得到加强。更重要的是，近期，全球原油价格暴跌，纽约商品期货交易所WTI原油日内最低已跌至17.31美元/桶，引发了广大投资者的关注，原油价格波动明显高于其他能源产品。一直以来也有很多人把黄金当作一种投资工具，主要是因为黄金的价值高，而且黄金具有独立的特性，它既不受制于国家和贸易市场，也与政府和公司没有任何牵扯。因此，在经济环境不好的情况下，投资黄金可以帮助投资者避免可能会发生的问题。作为投资对象，黄金与其它投资对象相比有着不同的属性。一直以来投资者对这个市场都抱有极大的興趣，通常情况下，黄金的波动率较低，很多人都把黄金当作避险资产，然而这些年来投资黄金的人越来越多以及投机行为的增加，导致了黄金的价格波动变大了。尤其是近期黄金的暴涨暴跌，2020年3月初，黄金伴随美股的暴跌，也下降了10%以上，而在3月中旬以后，黄金价格开始大涨，在全球股市低迷时，避险的黄金价格创出了七年新高，点燃了全球投资者的热情，大量资金流入黄金市场。而美元是国际原油价格唯一的结算货币和国际黄金市场上的主要标价货币，通常与原油和黄金的价格变化呈现负相关的关系。为了尽可能地减少风险，投资者在构造投资组合时通常会选用相关性为负或者较低的资产进行组合。因此，我们在选择黄金和原油构造投资组合时，再增加美元这种资产，能够有效地降低金融机构和投资者投资石油和黄金时所面对的风险。如果能准确地测度出三个市场的价格风险，那对中国经济的平稳运行也具有重要意义。

2 文献综述

风险价值（VaR）模型是目前应用最广泛的风险度量方法之一，已经成为一种综合不同因素风险的标准方法。金融资产价值评估的核心问题是建立一个能够准确反映金融资产价值的评估模型。现有的估计模型可以分为两大类：非参数估计模型和参数估计模型。前者主要包括历史模拟法。这种方法的主要优点是，它没有假设风险因素的变化是从一个特定的分布。后者通常对收益做出具体的分布假设，如正态分布，在此基础上通过分析或模拟计算相应的VaR值。然而，实际上，金融资产的收益通常呈现非正态分布[1]。因此，实证金融学文献中的许多研究发现，多元正态分布不能给出金融资产组合价值的准确估计，而且往往低估了金融资产组合价值。Bastianin[2]（2009）总结了金融资产收益率数据至少呈现两种非正态的特征。首先，金融资产收益的联合分布包含两种不对称性。个别股票收益率的分布呈现出偏态或不对称性，金融资产收益率之间的相关性也呈现出非对称性。金融资产收益率的第二个非正态特征是峰度较高，这意味着资产收益率的概率分布往往比标准正态分布显示出较肥的尾部。根据定义，VaR集中于分布的尾部，在多元正态分布的假设下将会被低估。之后，Jorion[3]（2007）提出了t分布并将其应用于建立金融收益率的风险模型，这是因为t分布能够更准确的描述尾部关系。综上所述，当使用参数估计模型计算VaR时，联合多元建模的假设是至关重要的。为了克服由于正态分布假设而引起的这些问题，并考虑到近几十年来金融资产收益序列大都呈现非正态性以及Copula理论在金融和其他学科的成功应用，我们借助Copula理论来改善VaR的计算。

近年来，Copula理论得到了迅速发展。这首先是因为Sklar[4]（1959）说明了任何n维联合分布函数都可以分解成n个边缘分布，这些边际分布能够完全地描述n个变量的位置、尺度和形状参数，而且Copula函数可以完整地描述n个变量之间的相关关系，并证明了著名的Sklar定理。Embrechts等人[5]（1999）首先将这一概念引入到金融文献中，Copula模型已被广泛应用于风险管理、期权估值、衍生品资产定价等金融领域。Stoyanov[6]（2010），介绍了Copula的基本概念，详细地分析了不同类型Copula的用法以及它们在金融风险管理领域的使用。Copula也被用于投资组合风险管理，包括VaR的计算。例如，Cherubini等人[7]（2004）明确使用了copula函数来衡量无条件分布下的投资组合VaR。研究表明，广义自回归条件异方差（GARCH）模型及其扩展模型是构建金融资产收益率边缘分布的常用方法。Longin和Solnik[8]（2001）引入了Copula-GARCH模型，对边际时间序列分别建立联合密度函数模型。韦艳华、张世英和孟利锋[9]（2003）基于Copula理论研究了沪深股市之间的相关性，证明了沪深指数之间的相关性较高，用它们来构建投资组合来降低风险是无效的。赵鲁涛，李婷等[10]（2015）利用Copula-VaR模型研究了能源价格之间的相互关系并且计算出了能源投资组合的在险价值，证明了基于Copula-VaR模型计算出的结果较为准确。苟红军，陈讯等人[11]（2015）将美元、欧元、日元和港元四种人民币汇率作为投资组合，利用GARCH-EVT-COPULA方法度量了它们等权重下的风险值。吴高键，钱凯等人[12]（2015）基于Copula-VaR模型度量了石油和黄金的资产组合风险值，证明了石油和黄金的投资组合是有效的。王明哲[13]（2017）将沪综指和深成指作为投资组合，通过实证研究，证明了运用Copula-VaR模型能够更好地衡量资产组合的风险，并给出了相关的投资建议。刘新和王福豪[14]（2017）建立t-Copula-GARCH模型研究了沪深股市的相关性以及波动特点，进而利用蒙特卡洛模拟方法测算了沪深金融市场的风险值。宫晓莉等[15]35（2018）以GJR-GARCH-Copula模型描述了资产之间的相依性，然后计算投资组合的在险价值VaR，实证结果证明了使用Copula-VaR模型对投资组合进行风险测度能够提高准确性，进而有效地帮助投资者降低损失。杨坤等[16]（2019）选取巨潮风格系列指数建立异质风格资产组合，利用Copula-GARCH-EVT模型度量了它们等权重下的风险值并基于在险价值VaR的预测结果对组合风险预警系统进行构建，证明了基于组合风险值测度所构建出的风险预警系统能够较好地实现组合风险的分级预警。林宇等[17]（2019）选取全球七大股票市场的重要指数为研究对象，基于Copula模型来刻画七个股票市场的相依结构，进而测度组合风险VaR，证明了利用Copula-VaR模型能够达到优化投资组合的效果，从而为投资者和金融机构提供决策参考。韩超等[18]（2019）以精准计量系统性金融风险为主要目标，选取六家股份制商业银行上市的日收盘价为研究对象，基于GJR-GARCH模型来刻画研究对象的边缘分布，然后基于Copula模型计算VaR并进行VaR的回溯测试，证明了利用Copula模型计算出的VaR更加准确，为系统性金融风险计量提供了新的模型支持。侯叶子和卢俊香[19]（2019）选取上证综合指数和深证成分指数为研究对象，建立了二元Copula-GARCH模型来刻画沪深金融市场间的相依关系，结果表明二元t-Copula函数的拟合效果更好。朱孟楠和段洪俊[20]（2019）选取了美元、英镑、欧元、日元四种外币的人民币汇率和十年期国债收益率作为投资组合，基于GARCH-Copula模型和蒙特卡洛模拟方法进行风险测度，结果表明投资组合能够明显地分散风险。

综上所述，Copula理论已广泛应用于投资组合风险的度量，但大多数文献所研究是沪深股市指数组合、几种股票的投资组合和外汇投资组合的风险度量，现有文献很少有将能源市场、黄金市场以及美元市场结合起来，研究三个市场之间的资产组合风险。因此，本文将原油、黄金、美元作为投资组合，分别建立GARCH模型，利用Copula函数建立联合分布模型，分析三者之间的波动关系，然后应用VaR模型计算它们等权重与不同权重下的风险值并进行回溯检验。

3 实证设计

3.1 数据选取

本文采用布伦特原油期货价格代表原油市场的价格;采用伦敦金价代表黄金市场的价格;采用美元指数来代表美元市场的价格，出自纽约棉花交易所。数据选取是从2014.05.01到2020.03.13的日收盘价，剔除它们的非公共交易日，共1506组数据，数据来源于大智慧。

3.2 Copula函数的参数估计

Copula函数的参数估计常用的有3种方法，分别是最大似然估计法（ML估计）、分布估计法（IFM估计）、半参数估计法（CML估计）。分布估计法是目前使用最多的一种方法，因为它的计算灵活、方便，而且精确度较高。所以本文采用了两阶段极大似然估计法对Copula模型的参数进行估计，第一步是运用GARCH模型分别对三种资产的收益率序列进行拟合，并从中选出拟合优度最好的GARCH模型并求出相对应的参数;第二步是将第一步中所求出的参数代入Copula密度函数，然后进行参数估计。

3.2.1 边缘分布函数拟合

本文选取三个GARCH模型（标准GARCH模型、EGARCH模型、GJR-GARCH模型）和3个标准化残差分布（标准正态分布、标准t分布以及广义误差分布）进行组合共有9个GARCH-D类模型。通过对比分析，选出对三个市场来说，拟合效果最优的模型。

3.2.2 Copula函数的选择

Copula函数是一种连接函数，随着理论的逐步完善，Copula被用来确定随机变量之间依赖关系的非参数测度。它提供了一种有效的方法来创建分布，对相关的多数据进行建模。由于相互依赖关系的度量，可以通过首先指定边际的单变量分布，然后选择一个Copula来检查变量之间的相关结构来构建一个多元联合分布。Copula函数对于金融市场的风险资产建模非常有用，因为它们不仅可以准确地刻画资产之间的相关结构，还可以帮助投资者可以灵活地构建许多多元分布来适应金融资产，而不需要被限制于维度。引入Copula函数在测度金融资产投资组合的风险中起到了非常重要的作用。

Copula函数有很多不同的形式，而且不同形式对应的特征也不同，在金融领域分析中主要用到的是椭圆族Copula函数和阿基米德族Copula函数。Deheuvels认为最佳的Copula函数应该是最小化的经验Copula和假设Copula之间的距离，即平方欧式距离。因此本文采用平方欧式距离法来确定最优的Copula函数。

3.3 VaR值的计算

3.3.1 VaR的定义

VaR是指在正常的金融市场条件下，投资组合在目标范围内和给定置信水平下可能发生的最大预期损失。设q为置信水平，L为预期损益。我们把VaR定义为正数（负损耗）。那么，给定投资组合在t时刻（从t-Δt时刻到t时刻的收益）的VaR，其置信水平为1-q，被定义为：

VaRt（q）=-inf{x|Ft（x）≥q}

其中Ft（x）为t时刻投资组合损益的函数

3.3.2 VaR的計算方法

VaR的计算方法主要有三大类，分别是方差—协方差方法、历史模拟法和蒙特卡洛模拟法，这三种方法从不同的角度来测度金融资产投资组合的风险价值VaR。本文将利用以上三种方法计算资产组合以及单个资产的VaR值，并对结果进行对比分析，分析三种方法的精确度。

3.4 VaR值的有效性检验

在计算出原油、黄金、美元的投资组合的VaR以后，我们要与真实的投资组合损益进行对比来评估不同模型的测度效果。本文采用的Kupiec失败频率检验法，该检验由Kupiec（1995）提出，检验有效组合损益的真实值与预期值之间的差异。原假设H0：p=p*的检验由似然比（LR）检验统计量给出：

LR=-2ln（（1-p*）T-Np*N）+2ln（（1-p）T-NpN

其中T为实际观察的总天数，N为真实值大于预期值的天数，失败率p=N/T，假设VaR的置信水平为α，则p*=1-α。

当T足够大时，LR服从自由度为1的？字2分布。在给定的显著水平下，存在一个临界值，首先看LR值是否小于临界值，如果小于临界值，这说明VaR的检验是有效的;然后通过比较不同模型的失败率，失败率较小的模型计算出来的在险价值VaR较为准确。

3.5 不同权重下投资组合的VaR

马克维兹理论是当代投资组合理论的创始者，其主要思想是，选择一组多元化的投资组合，将各资产期望收益率的加权平均作为投资组合的期望收益率，将期望收益率的标准差（或方差）作为该组合的风险。通过一定的数学方法，求解出较优的投资组合权重。本文会利用马科维兹理论计算出10组较优的投资组合权重，然后计算这10组投资权重的VaR值，与等权重的VaR相比较。

4 实证分析

4.1 数据分析

4.1.1 平稳性检验

首先我们需要通过一阶对数差分方法计算出这三种资产的日收益率。令rt=log■×100，rt是指上述三种资产的日收益率。然后对这三组数据进行平稳性检验，使用的方法的ADF检验，结果如下表所示。

由上表可知，三种资产的价格序列未全部通过检验，而它们的收益率序列p值显著为0，因此可以拒绝原假设，即序列不存在单位根，可认为是平稳序列，所以本文使用它们的收益率序列来做实证分析。

4.1.2 描述性统计分析

由上表可知，三种资产的日收益率的均值趋向于0，偏度都不为0，说明它们的收益率序列都有拖尾的现象，而且它们的峰度都明显大于3，说明它们都具有尖峰的特点。通过以上分析可知，它们的日收益率都具有尖峰厚尾的特点，很有可能存在条件异方差，即ARCH效应。

4.1.3 ARCH效应检验

本文采用LM检验法来检验ARCH效应，结果如下表所示。三种资产的收益序列的p值显著为0而且F统计量显著，因此可以拒绝原假设，即序列存在ARCH效应。

4.1.4 相关性分析

秩相关，也称等级相关，用于分析两个变量之间的相关性。在分析变量的相关性问题中，是非常重要的一类方法。其中最常用的两种统计量是Kendall的τ（肯德尔系数）和Spearman的ρ（斯皮尔曼系数），也是最具代表性的两种系数。本文将分别采用这两种系数来分析原油、黄金、美元之间的相关性。计算结果如下表所示。

由上表可知，两种秩相关系数都说明原油与黄金之间存在正相关关系，美元与原油、黄金之间存在负相关关系，而且关联程度都不大。由此可以推测要用这三种资产进行组合投资是可行的，能够起到分散风险的作用。

4.2 Copula函数的参数选择

4.2.1 边缘分布函数拟合

通过对比分析，EGARCH-t模型对应的AIC值为-5.114282最小，拟合效果最优，因此我们采用EGARCH-（1，1）-t模型拟合布伦特原油的日收益率序列，其参数估计结果如下表所示。

通过对比分析，GJR-GARCH（1，1）-t模型对应的AIC值为-6.903302最小，拟合效果最优，因此我们采用GJR-GARCH（1，1）-t模型拟合现货黄金的日收益率序列，其参数估计结果如下表所示。

通过对比分析，GARCH（1，1）-t模型对应的AIC值为-8.210638最小，拟合效果最优，因此我们采用GARCH（1，1）-t模型拟合美元指数的日收益率序列，其参数估计结果如下表所示。

4.2.2 Copula函数的参数选择

通过计算欧式平方距离可知，三元正态Copula函数与经验Copula函数的平方欧式距离dN2=0.2204，三元t-Copula函数与经验Copula函数的平方欧式距离dt2=0.1823。由于dt2

4.3 VaR值的计算

利用三种方法计算VaR值，结果如下表所示。

根据4.10可知，利用方差-协方差方法所计算出的VaR值偏小，历史模拟法计算出的VaR值偏大，基于Copula-GARCH模型的蒙特卡罗模拟计算出来的VaR较为准确。而且原油的风险较高，美元的风险最低，黄金的风险在二者之间，投资组合的风险值介于三者之间。

4.4 VaR值的检验

下表是利用Kupiec似然比率检验法对投资组合VaR的检验结果。

由下表可知，历史模拟法计算出来的VaR值失败率虽然是最小的，但是无论在哪种置信区间下，LR值均大于临界值，故VaR值的计算是失效的。基于Copula-GARCH模型的蒙特卡罗模拟的失败率较低，而且LR值均小于临界值，所以VaR值的计算是有效的。因此较其他两种方法来说，根据Copula-GARCH-MC模型计算出来的结果比较准确。

4.5 不同权重下投资组合的VaR

由上表可以看出，不同权重下的VaR值是不同的，而且全部低于等權重下的VaR值;并且随着原油权重的降低，美元权重的增加，VaR值越来越小，这也说明原油市场的风险较高，美元的风险较低。

5 结论

本文基于Copula-VaR模型对原油、黄金和美元的价格收益率序列进行了实证研究，得到以下三个结论：

（1）原油、黄金以及美元的投资组合是有效的，其风险介于单一资产的风险之间。其中原油市场的风险较高，美元市场的风险较低，因此在投资时，可以将投资原油的权重适当降低，美元的权重适当提高。

（2）按照最优投资组合进行投资，其风险值全部小于等权重下的投资组合风险值。因此在资金固定的情况下进行组合投资时，不同资产的权重分配十分重要，如果分配不合理，投资组合策略就不能达到最大的避险效果。

（3）相比于方差-协方差法和历史模拟法，基于Copula-VaR模型计算出来的VaR值较为准确。

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