高一数学运用参变分离和基本不等式求解不等式恒成立问题

方林

摘要：参变分离法是求解不等式恒成立问题的常用方法，可利用等价变形，使得参数与变量分离于不等式的两端，从而转化为基本不等式的最值，来避免变量分类讨论。

关键词：基本不等式;恒成立;参变分离;分类讨论

在高一数学学习中，经常遇到含有参数的某些函数、方程、不等式，并要求确定参数的取值范围题目。同学们在解决此类问题时总有这样的犹豫：到底用分类讨论方法，还是用参变分离法？虽然可以采用对变量进行分类讨论的方法，逐步排除不合理要求的变量范围，最终得出变量的范围，但是比较繁琐，不易做到最终结果。

参变分离法广泛适用于不等式恒成立取值問题，参变分离后可将不等号的两侧分离为参数、代数式，只需求一侧代数式的最值。在求解代数式的最值问题时经常涉及到基本不等式，高一许多不等式恒成立取值问题经过整理、变形、换元等都可以转化为基本不等式，然后利用基本不等式求最值，进而可以求出参数范围。

小结：参变分离是避免参数分类讨论的方法技巧，是不等式恒等转化的策略，将不等式分离为不等号两侧是不同的结构，一侧为参数的代数式，另一侧为变量的代数式，通过基本不等式分析来求代数式最值，再转化求参数取值范围。教学中可引导学生对常见的恒成立问题进行条件转化、方法探究，生成常见的最值情形。

参考文献：

[1]人民教育出版社课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中教科书（数学A版·必修第二册）[M].北京：人民教育出版社，2020：86-89.

[2]人民教育出版社课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中教科书（数学A版·必修第一册）[M].北京：人民教育出版社，2020：92.

[3]金兔，陈浩.不等式的恒成立、恒不成立和不恒成立[J].理科考试研究，2006（7）：11-12.