主动建构 理法相融 促进生长——以《分数乘整数》教学为例谈计算教学

文|张冬梅（特级教师）

教材在各个学段中，都安排有四个部分的课程内容，分别是“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”。我们通常所说的“计算教学”其实是指“数与代数”中“数的运算”。数与计算是人们生活、学习、科学研究和生产实践中应用最广泛的一种数学方法，也是人们认识客观世界和周围事物的重要工具之一。计算教学直接关系着学生对数学基础知识与基本技能的掌握，关系着学生观察、记忆、思维等能力的发展，也关系着学生的学习习惯、情感、意志等非智力因素的培养。因此，小学阶段的计算教学就显得非常重要。《数学课程标准（2011年版）》对学生的“运算能力”作了具体的说明：主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。

但是，一直以来，计算教学却得不到师生的青睐，教师不喜欢执教计算教学，在公开课的教学中，也很少看到计算教学的踪影；学生也不喜欢上有关计算教学的课，对他们来说，计算往往就是做不完的习题。教师不喜欢让计算课“上台”，是认为计算教学缺少数学思想、数学内涵不丰富、没有太多的“花招”、不够精彩。学生不喜欢计算，是认为计算枯燥、方法刻板、“思维含量”低、没有挑战。真的是这样吗？那我们不免困惑：看似非常简单的知识，为什么学生学起来有时也很困难？认为“思维含量”不高的计算，学生看似已经掌握了计算方法，做起来为什么总出错呢？看来，计算教学还是值得我们研究的。下面以杨敏老师的《经历数学化过程促进算理理解》（简称设计一）和王永梅老师的《提出问题促探究沟通联系明算理》（简称设计二）为案例，谈谈对小学计算教学的一些思考。

一、在自主探究中主动建构算法

传统的计算着眼于算法的单一化和最优化，学生是在教师亦步亦趋牵引状态下无条件地吸收教师讲授的知识。而新课程倡导算法多样化，于是在现今的课堂中每当探索计算方法时，教师不断地鼓励学生从不同的角度思考算法，尊重学生的个性差异，提倡思维方法的多样化。往往一节课下来，方法是“多样化”了，但学困生连基本的方法都没掌握好。笔者想，这些，都不是知识建构的理想状况，也不是计算教学所追求的状态。

“设计一”中，杨敏老师设计了一个“想、写、说”的活动。对于×3，有的学生通过算式的意义转化为加法便知道了答案，有的学生凭感觉认为答案是，总之，课堂上往往会出现算式一出来，很多学生能直接报出答案的情形。这能表明学生已经拥有了分数乘整数的算法吗？显然，学生的认知还需提升。杨老师的做法是明智的，她首先肯定了学生的答案，然后请学生自己想办法说明×3为什么等于。于是，课堂呈现了“算法多样化”。

再看“设计二”，王老师设计了“尝试计算，寻求算法”的教学活动，让学生自己尝试计算出×3的结果。同样，学生思维活跃，经验被不断地激活，于是也收获了“算法多样化”。

这里“算法多样化”的出现，不是学生个体刻意追求“不同”才有的场面，而是学生群体主动建构算法所表现出来的生动景象。但至此，学生对各自算法的理解是浅层次的，“主动建构算法”的数学活动还没有完成。两位教师都没有在此时立即进行算法的优化，而是在后续的数学活动中，让学生自主感悟，选择合适的算法，并以“追问”的方式引导学生思考，这样的优化过程是自主的、自由的，更是学生自己的。课堂上，我们也看到学生的感悟进程是不同的，有的学生在时就已获得一般的算法，有的学生却认为转化成加法计算也不难，直到时，才终于体会到用分子与整数相乘的方法更优，如果能约分的话，先约分更是简便。

数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。让学生“主动建构”算法，其真正意义是指向学生思维生长以及全面发展的。笔者以为，上述案例中“建构算法”的环节，两位教师都作了很好的示范，都给了学生足够的空间，让学生拥有表达、思考的自由，让学生自主经历这样的探索过程。一方面，让学生真实感受到算法的可行性与多样化，注重培养学生合理的计算策略和灵动的计算思维；另一方面，又能充分利用资源性算法，引导学生经历抽象概括出一般算法的过程。这样的过程，往往不顺畅，还常常“曲折”，但正因为这样，最终收获的不仅仅是“算法”本身，更是学生理性思维的发展与科学精神的培育，从而促进学生的全面发展。

二、在合作学习中深刻明晰算理

有经验的教师常常感叹：学生在学完运算律以后，计算2.4÷（0.4+0.6）时，经常出现这样的错误：2.4÷（0.4+0.6）=2.4÷0.4+2.4÷0.6=6+4=10。诚然，从学的角度分析，学生知道了运用整数运算定律可以使计算简便，受乘法分配律负迁移作用，以为2.4÷（0.4+0.6）与2.4×（0.4+0.6）一样，可以运用分配律进行简算。但我们反思教学的过程，教师教学活动的组织是否也值得反思呢？教师是否引导学生从不同的角度进行比较辨析，帮助学生真正理解乘法分配律的内涵意义了呢？显然，这里错误的出现，多多少少存在着“理”“法”脱节的因素，如果学生真正理解了乘法分配律的“理”，这样的错误就完全可以避免。那怎么才能做到“理法相融”呢？笔者以为，合作学习不失为一种有效途径。

所谓“学习”，是同客体（教材）、同他人（伙伴与教师），也是同自己的相遇与对话。我们通过同他人的合作，同多样的思想的碰撞，实现同客体的新的相遇与对话，从而产生并雕琢自己的思想。从这个意义上说，学习原本就是合作性的，原本就是基于同他人合作的“冲刺与挑战的学习”。学习是从已知世界出发，探索未知世界之旅；是超越已有经验与能力，形成新的经验与能力的一种挑战。计算教学同样强调合作学习，通过合作学习更能帮助学生深刻明晰算理。在帮助学生明晰算理的过程中，“设计一”安排了两次合作学习，一次是学生独立探索算法后，要求在四人小组交流并理解；另一次是全班的交流分享。“设计二”安排了一次大合作，即在学生独立探索算法后，组织集体交流、智慧碰撞。无论是安排几次合作学习，无论是以什么形式进行，显然，在探索算法活动中，这样的合作学习是非常有必要的。

“设计一”首先引导学生关注“这几种方法都是正确的吗？谁来评价评价他们的方法？”这样的合作学习，不仅能引导学生去关注其他算法，理解多样化的计算策略与路径，从道理上承认不同方法的可行性，也能在相互质疑、多向比较中发现不同算法所包含的相同的道理，以及各种算法在不同情况下体现出来的“优”与“劣”。

“设计二”的“对比交流，融理于法”环节，教师追问：这些方法之间有联系吗？学生的回答非常精彩。显然，学生在这样的合作与交流中，抓住了知识的“本真”，理解了的算理：用3×3算出有9个，所以结果是。

必须强调的是，笔者在这里强调合作学习，一是期待课堂上能呈现“强强联手”“弱弱相帮”“强弱互促”的一种互惠状态，二是确实认为“算理”应该在合作交流中“辩”明白。“设计二”中的一位学生说，在伙伴“画图”的方法中也找到了“3×3”，而且还能在图中直观看到“3×3”算得的是9个，所以结果是。正是这样的合作学习，才能不露痕迹地通过“数形结合”的策略，让算理直观呈现，从而帮助学生成功实现算法的抽象。

当然，还必须强调“合作学习”中学习的主体终究是个人。在小组活动中绝不强求一体化，恰恰相反，它追求的是学生的思考与见解的多样性。学习，并不是从同一性中产生的。学习之所以形成，恰恰是在差异之中。如“设计一”中，杨老师虽然先安排了小组内的“说一说”，但并不要求组内方法的一致与统一。相反的，引导学生尊重不同的思考，理解伙伴不同的计算策略，才可能实现接下来多角度的比较与分析，为算理的明晰创造有效路径，也让理法相融成为现实。

三、在沟通联系中完善认知结构

学生数学思维发展的实质就是在更高层次上对原有的认知结构进行重构，从而使原有的认知结构成为更大认知结构的一部分。从这个角度分析，学生数学认识的发展具有无限的可能性。正如皮亚杰所说：“学生的数学学习可以依据结构的建构来思考，而且这种建构是开放的……当学生的认知结构由一个水平发展到另一个水平，其功能在不断发生变化。”这个过程不断重复，学生的认知结构不断重建，不断形成更高层次的认知结构。

依据建构主义学习理论的观点，学生认知结构的重组或扩展是一次学生主动建构的数学活动过程。那么，笔者以为，在这一堂课上，“沟通联系”可以是认知结构更新的一个策略。“设计二”中，王老师在学生理解算理、抽象出一般算法后，启发学生思考：“你认为分数乘整数与整数乘法、小数乘法计算道理一样吗？”从而促进学生将所学的知识与原有认知结构迅速产生联系，并积极比较、沟通。这个“沟通联系”的过程必定“磕磕碰碰”，课堂上学生的表现也正是如此。可以看到，学生今天所学的“分数乘整数”与原有的认知结构产生矛盾冲突，也正是这样的矛盾冲突激发了学生强烈的求知欲，促使学生进行认知结构的同化和顺应。果然，通过这样的“碰撞”，有学生提出：虽然整数乘法算有几个1，小数乘法算有几个0.1，分数乘法是算有几个，但这正是它们计算道理一样的地方，都是在计算有多少个计数单位。王老师又适时地引导学生举例说明其中的道理：

这时，教室里一片“哦——”的声音，体现了学生恍然大悟后的兴奋、激动与快乐，认知结构也在这一声“哦”之间成功得以完善。

基于学生原有的认知结构，以新的学习载体激发学生的认知冲突，引导学生沟通联系，实现认知结构的重构，形成更高层次的认知结构，帮助学生实现其认知结构由潜在水平向其实际水平的转化，即维果茨基提出的“最近发展区”的概念。这些，在计算教学中同样值得强调与关注，从而真正助力学生成长。

当然，计算也是一种技能的培养，“基本技能的形成，需要一定量的训练，但要适度，不能依赖机械的重复操作，要注重训练的实效性。教师应把握技能形成的阶段性，根据内容要求和学生的实际，分层次地落实。”科学适当的练习是很有必要的，小学计算教学要重视练习设计的有效性，强调练习的多样化与层次性。关于这一点，两位教师都做得不错。但对于两份教学设计，笔者小有疑惑的是：学生在算法探索的过程中，或者在后续的相关练习中，没有出现错误的现象吗？笔者以为，没有固然很好，但如果有错误也不是坏事，更要拿出来辨析，比如通过“估算”来获得相关判断，不也是发展学生计算素养的很好途径吗？要知道，估算能力是运算能力中不可缺失的一部分，估算教学应该渗透于教学的每个角落，尤其是计算教学中。

综上所述，小学计算教学的内容同样内涵深刻，包含着丰富的数学思想，学生在计算技能形成的同时，发展思维，成就智慧。总之，小学计算教学不仅要着眼于“会算”，更要着眼于“发展”。