利用狄利克雷函数及其改造构造反例

马小丫

【摘要】狄利克雷函数作为分析学中的一种构造性函数，存在着一些特殊的性质.在数学分析中，许多定理成立的条件并非充分必要，可能正向成立，而反之不成立，不成立时只需要找到合适的反例即可说明不成立.可通过狄利克雷函数构造一些反例，从而更好地理解矛盾所在.本文分别从狄利克雷函数本身的性质、极限、连续、可导、可积、收敛等角度引入狄利克雷函数及其改造，从而构造反例.

【关键词】狄利克雷函数;极限;连续;可导;可积;收敛

实数域上的狄利克雷函数虽然不是初等函数，但仍可利用极限函数建立分析表达式表示D（x）=limk→∞（limj→∞（cos（k！πx））2j）（k，j为整数），也可以简单地表示为分段函数的形式D（x）=1x为有理数，0x为无理数.

一、函数本身性质带来的反例

该函数有如下一些特殊的性质：

1.基本性质

（1）定义域为整个实数域R.

（2）值域为{0，1}，因此有界.

（3）函数为偶函数.

（4）无法画出函数图像，但是它的函数图像客观存在.

（5）以任意有理数为其周期，由实数的连续统理论可知，其无最小正周期.

2.分析性质

（1）处处不连续.

（2）处处不可导.

（3）在任何区间内黎曼不可积.

（4）函数是可测函数.

（5）在单位区间[0，1]上勒贝格可积，且勒贝格积分值为0（且任意区间以及R上甚至任何R的可测子集上（区间不论开闭、是否有限）的勒贝格积分值为0 ）

从其本身的性质出发，可直接得出：

（1）画不出图像（图像客观存在）——不是所有的函数都能画出图像.

（2）狄利克雷函数为周期函数，但无最小正周期，它以任意有理数为正周期——不是所有的周期函数都有最小正周期.

二、极限有关的反例

函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的.

定义 设函数在某点的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于给定ε（无论它多么小），总δ>0，使得当x满足不等式0<|x-x0|<δ时，对应的函数值都满足不等式

|f（x）-A|<ε，那么常数A就叫作函数当x→x0时的极限.

根据定义可知，要求满足“0<|x-x0|<δ”的x均成立，而在这一领域内既有有理数又有无理数，相应的函数值可能不同，造成了ε的取值不能任意小，因此造成极限不存在;但由于其取值相对单一，所以两个类似的函数的和、积可能会相互抵消，为常值函数.

反例有如下：

①若极限存在，则一定有界;反之，不成立.如

D（x）=1x为有理数，0x为无理数，

在R上有界，但极限处处不存在.

②若f（x）极限存在，则|f（x）|极限一定存在，反之不成立，即绝对值极限存在，则原极限不一定存在.如，改造狄利克雷函数得到：

E（x）=1x为有理数，-1x为无理数，

因为|E（x）|=1，所以limx→x0|E（x）|=1，而任意在点E（x）的极限不存在.

备注：利用此构造，可同理得出，若|f（x）| 在[a，b] 内连续（可导、黎曼可积），则f（x） 在[a，b]

上不一定连续（可导、黎曼可积）.后文探讨可导、黎曼可积等性质时将不再重复叙述.

③若f（x），g（x） 在x0 处极限存在，则limx→x0（f（x）+g（x））=limx→x0f（x）+limx→x0g（x），limx→x0f（x）g（x）=limx→x0f（x）·limx→x0g（x），反之不成立，即两個函数和、积极限存在，这两个函数分别的极限不一定存在.

如：D1（x）=1x为有理数，-1x为无理数，

D2（x）=-D1（x）=-1x为有理数，1x为无理数，

D1（x）+D2（x）=0，则limx→x0D1（x）+D2（x）≡0，

但limx→x0D1（x） 与limx→x0D2（x）不存在，

D1（x）D2（x）=-1，limx→x0D1（x）D2（x）≡-1，

但limx→x0D1（x） 与limx→x0D2（x）不存在.

备注：利用此构造可同理得出，若两个函数的和连续（可导、黎曼可积），不一定能得到每一个函数连续（可导、黎曼可积）.

三、与连续有关的反例

一般常见的函数，不连续点较少，大多出现在个别点.

函数在某点连续的本质即在该点处的函数值等于极限值.由上文分析可知，在狄利克雷函数及其构造中可能会导致极限值不存在，因此不连续点颇多.

连续点不止一个或者有限个的反例如下：

1.函数在定义域内所有点不连续

如狄利克雷函数在R上的任意点不连续.

2.函数只有有限个连续点，无限个不连续点，且交错分布

如下函数只有一个连续点.有无限个不连续点：

D1（x）=xD（x）=xx为有理数，0x为无理数.

证明 ∵limx→0x∈QD1（x）=0，∴ε>0，δ>0，当0

又∵当x∈Q- 时，D1（x） =0仍满足|D1（x）|<ε，

∴ ε>0，δ>0，0<|x|<δ时，|D1（x）|<ε，

∴ limx→0D1（x）=0=D1（0），

∴D1（x） 在x=0 处连续，但根据狄利克雷函数在任一点连续性的类似讨论同理可得，x≠0 处不连续.

3.在无穷个点连续，在无穷个点不连续

y=sin πxx为有理数，0x为无理数.

① 当x 为整数点x0 时，limx→x0y（x）=0=sin πx0=yx0，

∴y在整数点连续;

② 当x0 取非整数点时，取有理列x（1）n，x（1）n>x0，limn→∞x（1）n=x0，limn→∞fx（1）n=limn→∞sin（πx（n）n）=sin πx0.

取无理点列x（2）n，x（2）n>x0，limn→∞ x（2）n=x0，limn→∞fx（2）n=0，

∴当x0为非整数时，limx→x0f（x） 不存在.

4.复合函数的极限及其连续性

由课本中的定义我们知道：若u=g（x）在x0连续，f（u）在u0连续，则复合函数y=fg（x）在x0连续，此时limx→x0fg（x）=fgx0=f（u0）=A.

但若只知道limx→x0g（x）=u0，limu→u0f（u）=A，而没有连续的条件，则不能得出limx→x0fg（x）=A的结论.如下：

y=f（u）=0u=0，1u≠0， D（x）=xx为有理数，0x为无理数，

limx→x0D（x）=0，limu→0f（u）=1，

则fD（x）=1 x为有理数且x≠0，

0 x为无理数，

0 x=0，

但limx→0fD（x）不存在.

矛盾的原因在于f（x）与g（x）在相应点处不连续，而这恰恰让狄利克雷函数有了有乘之机.

5.上半连续或下半连续不一定连续

如狄利克雷函数在有理点上半连续，在无理点下半连续，但总体不连续.

四、与可导有关的反例

可导的实质为函数值的差与自变量差的比值的极限，其实质也是极限存在.

我们知道，可导必连续，但连续并不一定可导.

如：E（x）=xx为有理数，0x为无理数， 在x=0处连续（已证），E（x）x=1 x为有理数且x≠0，0 x为无理数，

则limx→x0E（x）x极限不存在，因此不可导.

五、与积分有关的反例

与积分有关的，利用定积分的性质，绝对可积性∫baf（x）dx≤∫baf（x）dx，可推得若函数的反常积分绝对收敛，则一定收敛.但绝对收敛的定义为：f（x）在其定义域内的任何有限区间内可积，如果∫+∞0|f（x）|dx存在，那么，称∫+∞0f（x）dx为绝对收敛.但若仅知道函数加绝对值后的反常积分收敛，而不能确定f（x）在定义域内可积，则并不符合绝对收敛的定义，因此不能推出原反常积分收敛.

若反常积分∫+∞a|f（x）|dx 收斂，则∫+∞af（x）dx 不一定收敛，如f（x）=1x2x为有理数，-1x2x为无理数，f（x）=1x2，∫+∞a|f（x）|dx收敛，但f（x）黎曼不可积，所以∫+∞af（x）dx不存在.

但若加条件，在已知f（x） 在[a，A]上收敛的前提下，则能推出∫+∞af（x）dx一定收敛.

六、构成的函数项级数

函数项级数的收敛域未必为一个区间.

我们常理解的“域”往往是一个连续区域，而收敛域未必是一个连续的区域，有可能是离散的.

例：设Un（x）=D（x），则∑∞n=1Un（x）的收敛区域补集合为{x|x为无理点}.

∑ki=1Un（x）=kx为有理点，0x为无理点.当x为无理点时，limk→∞∑ki=1Un（x）=0;当x为有理点时，limk→∞∑ki=1Un（x）=+∞.所以∑∞n=1Un（x）的收敛区域为集合{x|x为无理点}，不是一个连续的区域（区间）.

【参考文献】

[1]陈纪修.数学分析：上册[M].第3版.北京：高等教育出版社，2019.

[2]林艺，李军.狄利克雷函数的应用研究[J].青岛职业技术学院学报，2005（01）：57-58，56.

[3]张永康，胡鑫洋，和昊，等，狄利克雷函数在证明函数连续性方面的简单应用[J].数学与数学研究，2020（05）：5.