浅谈闭区间连续函数性质及其推广

王良晨 童雷雷

(重庆邮电大学理学院 重庆 400065)

连续函数是数学分析的主要研究内容，其相关性质已经相当完善，特别是连续函数在闭区间上的众多性质也已经有了较好的研究成果，再由此推广出的连续函数在开区间和无穷区间上的性质也被广泛地应用。但是连续函数涉及内容多，定义形式和性质多样化，定理证明学生难以理解，对相关性质难以全面掌握。由于证明部分构造性强，对学生的考核目前基本上采用了期中+期末两次考试，但是无论是《数学分析》还是《高等数学》，均存在知识点多、需要考核的内容多等问题，且目前大多数考核局限于对知识点和计算能力的简单考核，而忽视了对数学概念和数学推理能力的考核，考核过程中大多只重视计算能力、简单的解题技巧。由于考试时间一般只有两小时而考核内容较多，主要目的考核学生对简单基本知识点是否掌握，难以深层次考核学生。实际上，该课程要求学生在理解基本概念的基础上，还要灵活地加以应用，特别要求学生能够利用定义去证明相关定理，要求学生具有较强的逻辑推理能力和分析能力，只有这样，学生在今后考研和实际解决问题中，才能够游刃有余，才能够进一步将现有的结果进行推广，才能进一步推动微积分的发展。因此，教师在教学过程中可以分章节进行考核，降低期末考试的分值，加强平时过程考核。教师在平时章节考核过程中必须将基本概念、基本理论和定理的证明思路作为重点考核对象。这样可以做到教考的有机结合，相互促进。考核不仅是为了检验学生的学习效果，也是引导教师进行教学改革和学生改进学习方法的指挥棒。因此，本文系统归纳常用连续函数结论，有利于学生全面掌握连续函数的性质，学生通过系统地积累相关结论，可以为今后实际解决问题做好铺垫。

一、连续函数的概念

sinx在x0上连续。又由于x0的任意性，故sinx在(-∞,+∞)上连续。

这是对开区间连续的定义，那如何研究闭区间上的连续呢？为此，需要给出单侧连续的概念：

定义1.4[1][2]：若函数f(x)在(a,b)连续，在左端点a右连续，在右端点b左连续，则该函数f(x)在闭区间[a,b]上连续。

此外，还可以根据左右连续给出一点连续的充要条件：

定理1.2[1][2]：函数f(x)在点x0处连续的充要条件是函数f(x)在点x0左右均连续。

除了连续，一致连续也是讨论函数性质的重要方法，反应了区间上更强的连续性。

定义1.5[1][2]：设函数f(x)在区间I上有定义，对任意给定的ε>0，存在δ=δ(ε)>0，当x',x''∈I满足｜x'-x''｜<δ，有｜f(x')-f(x'')｜<ε，则称函数f(x)在区间I上一致连续。

从定义可以看出，函数在一点连续和一致连续这两个概念有着重要区别，函数在一点连续反应了函数的局部性质，而一致连续反应了函数整体性质，是一个更强的概念。一般一致连续可以推出连续，反之不成立。但在闭区间上两者却是一致的，可以互相推出。

二、闭区间连续函数的基本性质

定理2.1[1][2]：（有界性定理）若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在该区间上有界。

定理2.2[1][2]：（最值定理）若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在该区间上有最大值和最小值。

定理2.3[1][2]：（根的存在定理）若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0。

例2.1：证明方程x=cosx+2在[0,π]至少有一个正根。

证明：取f(x)=x-cosx-2，则f(0)=-1<0和f(π）=π-1>0，因此根据定理2.3可得，至少存在一点x0∈(0,π）使得f(x0)=0，因此上述结论成立。

例2.2：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且对任何x∈[a,b]都有f(x)≠0，则函数f(x)在闭区间[a,b]上定号。

证明：假设结论不成立，即存在x1,x2∈[a,b]使得f(x1)·f(x2)<0，根据定理2.3可得，至少存在一点x0介于x1和x2之间使得f(x0)=0，这与题设矛盾，故假设错误，即函数f(x)在闭区间[a,b]上定号。

定理2.4[1][2]：（介值定理）若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续且f(a)≠f(b)，若有(μ-f(a))(μ-f(b))<0，则至少存在一点x0，使得f(x0)=μ。

定理2.5[1][2]：（一致连续定理）若函数在闭区间上连续，则数在闭区间上一致连续。

三、闭区间上连续函数性质的推广

下面给出几个常用的连续函数在闭区间上性质。根据函数的奇偶性和变量代换容易得到如下几个推论：

根据介值定理2.4，容易推得如下结论：

推论3.4：函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，设f(x)在[a,b]的最大值和最小值分别为M和m，则f([a,b])=[m,M]。

增加一定条件，该推论反过来容易得到如下结论：

定理3.1[3]：若f(x)在[a,b]上为单调函数，且值域为[f(a),f(b)]或者[f(b,f(a)]，则f(x)在闭区间[a,b]上连续。

对于闭区间上的连续函数，基本性质已经有了保证，但是对于开区间上述结论一般不成立，除非增加一定条件，下面几个结论给出了推广的形式。

定理3.2[3]：若f(x)在开区间(a,b)上连续，且f(x)在点a的右极限和点b的左极限存在且有限，则f(x)在开区间(a,b)上有界。

虽然在闭区间上连续和一致连续具有等价关系，但在开区间上连续不能保证有界，而一致连续却可以保证有界：

定理3.3：设f(x)在开区间(a,b)上一致连续，则f(x)就在(a,b)上有界。

对于一致连续，除了定义和一致连续定理以外，下述三个定理也是常用判断一致连续的方法。

定理3.4[1]：设f(x)在区间I上连续，满足Lipschitz条件，即是对任意x',x''∈I，存在常数L>0，使

｜f(x')-f(x'')｜≤L｜x'-x''｜

则称f(x)是区间I上的一致连续函数。

结合定理3.4和拉格朗日中值定理容易得到如下推论：

推论3.6：若f(x)在区间I上连续可导，且导函数f'(x)在区间I上有界，则f(x)在区间I上一致连续。

注：定理3.5除了判断函数是否一致连续以为，对于判断函数非一致连续也是非常好的方法。比如证明例1.2中的非一致连续。

四、结束语

该论文主要针对闭区间上连续函数的几个性质进行了总结，通过对多个版本的数学分析教材的相关章节进行学习并整理出了闭区间上连续函数的基本性质。在此基础上通过阅读相关文献对闭区间上的性质进行了推广，探讨了连续函数在无穷区间或者一般开区间上的性质，包括一致连续性在开区间上成立的条件等。目的是希望学生尽快掌握连续函数的概念、判断方法、基本性质以及常用推广的性质，这样更有利于学生对该章节知识的掌握。