空间解析几何教学探讨——以一道一题多解为例

曾 勇

(重庆工商大学 重庆 400067)

向量代数与空间解析几何是高等数学中的重要内容，大体包括向量代数、平面及其方程、直线及其方程、空间曲线与空间曲面等内容[1][2]。帮助学生牢固掌握所学知识点，一直以来都是教学的重点。本文试图通过对一道题目的一题多解，引导学生从不同角度看待同一问题，挖掘所学知识，解决所面问题，促进初学者对该部分内容的理解与掌握。

考虑如下题目：

我们给出上述题目的四种解法：两种常规计算法、平面束法、暴力计算法。

一、常规计算法一

解：因为直线l'平行于平面π:3x-4y+z+4=0，所以l'在平面π':3x-4y+z+D=0上。又因为直线l'过点P(-1,0,4)，所以点P在平面π'上。将点P的坐标代入平面π'的方程得D=-1，故有π':3x-4y+z-1=0。因为l'与l相交，故交点必为l与平面π'的交点。联立方程组：

二、常规解法二

三、平面束法

注意到两式相减即得x=-1,将其代入上述任一方程即得4yz+4=0，因此，常规计算法与平面束法所求得的方程本质上是一样的。

四、暴力计算法

五、结束语

通过一个题目的多解，融合了直线的一般式方程、点向式方程、参数式方程以及平面方程、直线和平面的位置关系、平面束方法等内容，启发学生从不同角度看待同一问题，有助于学生快速理解和掌握并应用相关知识。在教学过程中，我们应加强类似训练，使学生不断巩固所学。