交轨法在一次函数中的运用

邱春霞

引言:在八年级一次函数内容的学习中,我们经常会遇到求点的坐标的问题。这些题的特点是需要求出的点往往在一条已知直线上。解决这类问题,我们可根据条件求出另一条经过这个点的直线,然后把这条直线与已知直线的解析式联立,解出此点坐标。这种求点的坐标的方法叫“交轨法”。下面举例说明。

例1.如图,在直角坐标系中,直线y=x+4 与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C(-2,0).

过点O作OD⊥BC交AB于点D,求点D的坐标。

解:过点A作OA的垂线,交线段OD的延长线于点E。由y=0,x+4=0,得x=-4。由x=0,得y=0+4=4,可得A(-4,0),B(0,4)。∴OA=OB=4,∵OD⊥BC,设垂足为点G,∴∠BOG+∠OBG=90°,∵∠BOG+∠COG=90°,∴∠OBG=∠COG。∵ ∠BOC=∠EAO=90°,OA=OB,∴△EAO≌△COB(ASA),∴AE=CO=2,可得点E坐标为(-4,2)。设直线OE的解析式为y=kx,把点E坐标代入y=kx,可得2=-4k,∴k=-。∴直线EO解析式为y=-x,联立y=x+4 与y=-x,解得x=-,y=。∴点D坐标为

方法点评:点D在已知直线AB上,在此题里我们构造了全等三角形,得到线段AE的长度,再转化为E点的坐标,进而求出直线OE的解析式,再与直线AB解析式联立,从而求出点D坐标,这是数学中典型的“交轨法”。

变式练习:

已知如图,平面直角坐标系中,直线y=-x+4 交坐标轴于A,B两点,点C(0,-1),过点A作直线BC的垂线,垂足为点P,求点P的坐标。

分析:设直线AP交x轴于点D,由条件容易证明△AOD≌△BOC,可得OD=OC=1,可求出直线AD的解析式,再与直线BC的解析式联立解出点P坐标。同学们可以试一下。

例2.如图,直线y=2x+3 交x轴于点A,交y轴于点B,直线AC交y轴于点C,且SAOB=3SAOC

(1)求直线AC的解析式

(2)直线AC上是否存在点P,使得△APB的角平分线的交点在y轴上。

分析:第一问容易求出点C坐标。对于第二问,要正确理解条件“△APB的角平分线的交点在y轴上”。△APB的角平分线肯定在三角形APB的内部,所以首先排除点P在射线CA上,点P只能在第四象限。由条件知道,y轴平分∠ABP,可设边PB与x轴交于点D,容易证明△AOB≌△DOB,得到OD=OA,进而可得D的坐标。容易求出直线BD的解析式,再与直线AC解析式联立求出点P坐标。同学们可以把解题过程写一写。

例3.如图,平面直角坐标系中,直线y=2x+m与y轴交于点A,与直线y=-x+5 交于点B(4,n),P为直线y=-x+5 上一点.

(1)求m,n的值;

(2)求线段AP的最小值,并求此时点P的坐标。

分析:第1 小问容易求出m=-7,n=1。点P是直线y=-x+5上一点,结合问题理解点P是一个动点。欲求线段AP的最小值,根据定理“垂线段最短”容易知道,当AP垂直于直线y=-x+5时,点P为所求作的点。不妨设直线AP与x轴交于点C。容易得到直线y=-x+5 与坐标轴夹角是45°,可得∠OAC与∠OCA都是45°,于是有OC=OA=7,故可求出直线AC的解析式,再用交轨法求出点P坐标。读者可以算一算。

例4.如图,直线y=-3x+3 与坐标轴交于A,B两点,点C在y轴上,∠ABC=45°,求点C坐标。

分析:总体思路是根据条件在直线BC上再找一个点,求出此直线解析式,然后与y轴交轨求点C坐标。此题条件是∠ABC=45°,常见思路是根据45°的角构造三垂直全等。我们可以过点A作直线AB的垂线,交直线BC于点D,可得等腰直角三角形ADB。再过点D作DE⊥AC于点E,易得△ADE≌△BAO,可得AE=OB=1,DE=AO=3。于是容易求出点D坐标,再求出BD的解析式,从而求出点C坐标。同学们可以写一写过程。

结语:交轨法是初中八年级,九年级数学常用的方法,核心是两个函数解析式联立。特点是欲求点而先要找一个点,如例1 中是找一个E点,变式练习中先找一个D点,例2 中是先找一个D点,例3中是先找一个C点,例4 中是先找一个D点。题目中往往设置了几何背景,要根据几何背景去构造(作辅助线),这对学生的能力有一定的要求,但难度也不是很大,只要适当进行练习,是可以掌握交轨法的精髓的。