《等比数列》教学案例

唐春娇

【案例背景】

数列是研究现实世界离散问题的数学工具，其中蕴含着函数思想以及方程思想，而等比数列是数列模块的重要内容之一，也是学生学习等差数列相关知识后展开的学习活动。对此，教师可采用与等差数列相关内容类比的方法，进而降低学生的学习难度，提高学生的学习效果。

【案例片段】

一、构建情境，引入课题

由于等比数列的定义较为抽象，因此，教师结合學生的认知需求构建了趣味化的情境，其中，情境1为“细胞分裂”的实例，让学生列出每次分裂后细胞的个数;情境2以“一日之棰、日取其半、万世不竭”为背景，分别列出所剩的量;情境3：计算机病毒的传播速度为1，20、......，让学生通过对三个情境问题进行自主分析、观察、比较，找出所列式子共同的特点。随后，教师再引导学生仿照以上数列写出一个具有以上特点的数列，这便使得每个学生对等比数列产生初步的感性认识，为后续完成等比数列相关概念的构建奠定基础。

二、强化类比，自主感悟

由于学生对等差数列的相关概念有了一定的理解与认识，基于此，教师让学生根据概念的理解列出几组等差数列，对比等比数列，自主感悟两种类型数列的不同，并结合等差数列的概念，概括等比数列的概念。在此过程中，教师将课堂还给学生，并给他们一定的空间，完全让学生根据原有认知与经验说出等比数列的概念，这样一来，既发挥学生的能动性，还强化了新旧知识之间的联系，使学生建立新旧知识体系。

三、合作完善，得出概念

在学生运用个人语言说明等比数列概念后，为了进一步完善概念的准确性，教师首先组织学生进行讨论，再与师生共同讨论。其中，教师重点指出几个问题，如：等比数列实质上是“比相等”的数列，但公比是指后一项与它前一项的比值，而不是前一项与它后一项的比值;要正确理解常数的含义，这个常数是相对项数而言的，也就是这个常数与项数无关。此外，对一个数学概念除了充分理解这个概念的引入、本质意义等基本要素外，还需要挖掘更加深层次的含义，为了让学生澄清迷惑点以及易错点，教师提出问题，即：等比数列的第一项可以为0吗？公比q是否可以为0？以问题为导向，让学生深入探讨，这样能够使学生把握数学概念的本质，进而帮助他们切实掌握等比数列的概念。

四、实践落实，当堂训练

为了使学生真正理解、领会、掌握和巩固等比数列的概念，教师指导学生当堂训练，并出示问题，如：如果一个公比为q的等比数列各项均改为它本身的相反数，所得到的数列是否为等比数列？如果一个等比数列的各项均改为它本身的倒数，所得到的数列是否为等比数列？类似这样的问题能够引发学生的认知冲突，激发学生的积极思考与探究。在探究活动中，学生能够将等比数列的概念迁移到具体问题中，经过辨析的过程，充分把握了等比数列的本质与内涵。

五、反思提升，归纳总结

在小结过程中，教师给学生充分的空间，让他们结合本节学习内容进行反思、总结，这样既有利于学生区别等差数列、等比数列的数学概念，还能通过反思找到易错点，并找到思维矛盾、解决思维矛盾，深化对等比数列相关知识的内化与吸收，此外，也实现学生的数学知识水平的不断提升以及数学认知结构的不断完善。

【案例反思】

一、调动学生的主体性

现代教育理念强调学生主观能动性的发挥，而传统的教育理念却忽视了这一点，对此，在本章节教学中，教师落实“以学生为主”的教育观，并强调学生主体性的彰显，其中，一方面，教师在构建情境时，主要围绕着学生的认知需求，结合学生的现有认知思维水平构建具体的问题情境。学生能够自主参与到问题的探究活动中，并初步对等比数列产生感性认识。另一方面，由于学生对等差数列的概念有了充分的理解，在此基础上，教师并没有将等比数列直接告诉学生，而是建立在学生已有知识的基础上，给学生一定的空间，让他们运用自己的语言初步表达等比数列的概念，这样一来，不仅能够使学生找到旧知识的生长点，以此构建新的认知体系，还能充分发挥学生的能动性，使他们完成新知识的建立。可见，本章节教学活动主要围绕着学生的学而展开，并且教学活动的效果落实到每个学生身上，将以学科中心的理念转化为以学生为中心的理念，以此强化了学生主体性的发展。

二、培养学生的探究力

数学知识是学生自主构建的结果，并且高中数学知识的学习并不仅仅需要学生把握基础知识，还需要达到启发学生思维的目的，进而让学生的探究能力得到不断提升。对此，在本章节教学活动中，教师采用“启发式”的教学方法，首先，在引入教学主题时，教师采用情境的方式导入，让学生思考情境问题，列出具体的数学模型，随后，教师引导学生通过观察、分析、归结总结初步对等差数列有了感性认识。其次，为了使学生能够避免进入到等差数列概念的思维误区中，教师则以问题的方式启发学生的思考，这样便使得每个学生产生探究的兴趣，并产生积极的探究行为。在思考问题的过程中，学生能够深入思考，分析等比数列的第一项以及公比的范围，使学生完善数学认知结构，提高数学认知能力。

三、随堂练习层次不足

虽然在本章节教学活动中，教师落实了学生为主的教育观，并以培养学生的探究能力为主，但还未真正落实因材施教原则，这主要体现在随堂练习的层次不足。首先，基础较好的学生反映出课堂容量较小，也有部分学生反映了练习题比较简单，这便直接体现出了随堂练习在层次上没有太大差异，不能很好地满足各个层次学生的需要，对此，教师在今后的练习题选择方面应精心设计，并多查阅资料，精选细练，对不同层次的学生设计出符合他们认知需求的练习问题，进而让每个学生都能找到适合他们个人实际的练习，帮助他们更好地理解当堂的基础知识，这样不仅能够使每个学生在“最近发展区”内提高数学认知水平，还能满足学生个人数学认知需求，实现课堂学习的时效性。