幂律流体在裂缝-孔隙双重多孔介质中渗流的分形模型

吴 涛，李 港

(武汉工程大学光电信息与能源工程学院，武汉 430205)

近几十年来，随着人类对石油需求量的不断增加，低渗透储层在未来开发中所占的比例越来越大，低渗透储层的渗流规律引起了诸多学者和工程师的高度重视.低渗透储层由于孔隙率较低，渗透性较差，通常伴随裂缝发育，形成所谓的裂缝-孔隙型双重介质.裂缝-孔隙双重介质的概念最早是由Barenblatt[1]等人在1960年提出的，他们用双重介质来描述含有孔隙基质和裂缝同时存在的一种裂缝性岩石系统，他们认为孔隙基质是流体储存的主要空间，其孔隙度高但渗透率低；而裂缝则是流体的主要流动通道，其渗透率高但孔隙度较低.研究流体在裂缝-孔隙双重介质中的渗流规律，对当前油气、地下水资源的开发，土壤污染防治等实际应用领域具有重要的现实意义.

多孔介质的输运特性在油气藏、地下水资源和地热的开发与利用、纤维纺织物等实际应用领域一直是研究的热门问题.然而，由于多孔介质的结构非常复杂，利用欧式几何的传统解析研究方法非常困难.近几十年来，诸多文献研究表明，多孔介质具有统计意义的自相似性，可以利用分形理论研究多孔介质的输运特性[2-6].郁伯铭[2]综述了利用分形理论与方法研究多孔介质的渗透率、热导率及热弥散系数的研究进展.基于分形理论，张斌等人提出了幂律流体在多孔介质中平面平行流的渗透率分形模型[6].王世芳等[7]利用分形理论和广义达西定理研究了幂律流体在树状分叉网络中的有效渗透率及相对渗透率，得出了有效渗透率和相对渗透率不仅与幂指数有关还与分叉网络的微结构参数有关.考虑了流体能从多孔基质向裂缝网络窜流效应，苗同军等人根据分形理论研究了牛顿流体在裂缝-孔隙双重介质中的有效渗透率，并分析了网络结构参数对渗透率的影响[8].然而，他们的模型只考虑了最简单的牛顿流体，且未考虑裂缝网络的分布情况.实际的双重多孔介质微结构非常复杂，裂缝网络分布可能满足分形分布.本文的主要工作是考虑了幂律流体在裂缝-孔隙双重介质中的窜流效应后，研究幂律流体的渗流特性，得到了幂律流体在裂缝-孔隙双重介质中的渗透率分形模型.

1 裂缝-孔隙双重介质渗透率分形模型

假设平行狭缝的开度大小满足幂律分形分布，构成裂缝网络，裂缝管壁上有孔隙大小呈分形分布的毛细管，图1(a)为裂缝网络的结构示意图；图1(b)为一个典型立方体单元的结构示意图.裂缝网络为流体输运提供主要流动通道，储存在基质中的流体会通过毛细管流入裂缝网络，进而形成具有孔隙窜流效应的裂缝-孔隙型双重介质.下面假设单元体基质中的孔隙满足分形分布，考察幂律流体在裂缝-孔隙型双重介质的渗流特性.

图1 裂缝-孔隙型双重介质几何模型Fig.1 The geometrical model of a fracture-matrix dual porositymedium

假设裂缝-孔隙双重介质中孔隙直径的分布满足分形标度律，即毛细管孔隙直径大于等于λ的累积孔隙数目为[9]：

(1)

将上式取微分得到在孔隙直径为λ～λ+dλ区间内的孔隙数目为：

(2)

孔隙面积分形维数Dp与孔隙率φp的关系由下式给出[9]：

(3)

其中,d为欧几里德维数，二维空间其值取2，三维空间其值取为3.λmax、λmin分别为最大和最小毛细管直径.

毛细管迂曲度是描述毛细管弯曲程度的无量纲参数，其定义为[9]：

(4)

同时，毛细管实际弯曲长度Lt与毛细管的直线长度L=L0/2满足如下关系[10]:

Lt(λ)=λ1-DTLDT,

(5)

其中DT为迂曲度分形维数，可用下式计算[10]：

(6)

幂律流体在单根弯曲圆形毛细管中的流量为[6]：

(7)

其中n为幂律流体的幂指数，μ为黏度系数，Δpm为沿基质层方向的压强差.对一个典型单元体内，为求从裂缝上壁面毛细管流入裂缝的流量，需要对(7)式在整个孔隙范围内进行积分，于是得到一个典型单元体中由裂缝上壁面毛细管流进单个裂缝的流量为：

(8)

假设裂缝上下壁面流入裂缝的流量相等，即Qm1=Qm2，并考虑到通常多孔介质λmin/λmax<0.01，DT/n-Dp+3>1，(λmin/λmax)DT/n-Dp+3≈0，得到由上下壁面流进单个裂缝的总流量为:

Qm=Qm1+Qm2=

(9)

1.2 裂缝-孔隙型双重介质渗透率分形模型

下面我们求解幂律流体在裂缝-孔隙型双重介质中的渗透率.幂律流体在单根矩形管道的流量由文献[2]给出，即

(10)

其中,Δpf为沿裂缝水平方向的压强差.考虑毛细管的流体窜流到裂缝中，流过单个矩形裂缝的流量为单个裂缝流量和毛细管流入裂缝流量之和，即

(11)

考虑到裂缝开度远小于裂缝长度，且它们满足正比例关系[11]：

a=βL,

(12)

式中，β为比例系数.假设裂缝的开度a与其壁面最大毛细管直径λmax成正比，即开度越大的裂缝，其壁面的最大毛细管直径也越大，它们之间满足下列关系式：

a=δλmax,

(13)

其中，φ为比例系数.进一步假设裂缝开度大小分布也满足分形分布，裂缝开度的分形维数为Df，则可以得到裂缝开度在a～a+da之间的裂缝数目为：

(14)

根据(12)～(14)式，对所有开度amin～amax范围内进行积分，得到流入裂缝-孔隙双重介质的总流量为：

(15)

幂律流体在单根矩形裂缝管道的平均剪切速率可以由下式给出[2]

(16)

联立(13)式并对(16)式积分，可以得到幂律流体在裂缝网络介质中的总剪切速率为

(17)

幂律流体在裂缝网络中的有效视粘度可以定义为

(18)

根据幂律流体满足广义达西定律[7]

(19)

其中,A为裂缝-孔隙双重介质单元体的横截面积，Kf为幂律流体在裂缝-孔隙双重介质中的的有效渗透率，联立(15)、(18)与(19)式，得到幂律流体在裂缝-孔隙双重介质中的有效渗透率：

Kf=Kf0+Km,

(20)

其中,

(21)

(22)

式中，Km表示来自基质贡献的有效渗透率，Kf0则表示裂缝贡献的有效渗透率，Kf表示幂律流体通过裂缝-孔隙双重介质的有效渗透率，它是基质和裂缝网络结构参数及幂律流体特性的函数，不含其它经验常数，各参数物理含义明确，能清晰揭示影响幂律流体在裂缝-孔隙双重介质中渗透率的物理机制.

2 结果与讨论

下面讨论裂缝-孔隙双重介质微结构参数及幂律流体特性对有效渗透率的影响.分形维数采取计盒维数法或者由式(3)确定，毛细管迂曲度分形维数DT=1.1[6]，比例系数β=0.02，δ=1.0[8].依据孔隙率定义：

(23)

式中，A表示裂缝网络所在立方体单元的横截面积，Af表示裂缝面积，其大小为：

(24)

其中，Df为裂缝网络的分形维数，由下式决定：

(25)

于是横截面积A可以写为

(26)

假设所取的双重介质样品是立方体，则

(27)

图2给出了当β=0.02，δ=1.0，DT=1.1，DP=1.8，amax=1 μm，amin=0.01 μm，Δpm/Δpf=200时，绝对有效渗透率Kf随分形维数Df变化曲线.从图2可以看出，绝对有效渗透率随着分形维数Df增加，这是由于分形维数的增加意味着裂缝网络面积的增大，降低了流体在裂缝网络内的流动阻力，从而增大了幂律流体在裂缝-孔隙双重介质中的有效渗透率.

图2 当β=0.02，δ=1.0，DT=1.1，DP=1.8， amax=1 μm，amin=0.01 μm，Δpm/Δpf=200时，有效渗透率Kf随分形维数Df变化曲线Fig.2 The effective permeability versus fractal dimension Df at β=0.02，δ=1.0，DT=1.1，DP=1.8，amax=1 μm，amin=0.01 μm，Δpm/Δpf=200

图3给出了当β=0.02，δ=1.0，DT=1.1，Df=1.3，amax=1 μm，amin=0.01 μm，Δpm/Δpf=200时，有效渗透率Kf随孔隙面积分形维数Dp变化曲线.从图3可以看出，Dp越高，有效渗透率也会越大.这是因为Dp的增大加强了孔隙基质系统中毛细管的窜流，使得幂律流体的有效渗透率增大.但是，由于在实际的致密多孔介质中，基质系统的渗透率相对裂缝系统来说小的多，因而曲线的斜率变化并不剧烈，且幂律指数越低的流体变化越小.

图3 当β=0.02，δ=1.0，DT=1.1，Df=1.3，amax=1 μm，amin=0.01 μm，Δpm/Δpf=200时，有效渗透率Kf随分形维数Dp变化曲线Fig.3 The effective permeability versus fractal dimension Dp at β=0.02，δ=1.0，DT=1.1，Df=1.3，amax=1 μm，amin=0.01 μm，Δpm/Δpf=200

图4给出了当β=0.02，δ=1.0，Dp=1.8，Df=1.3，amax=1 μm，amin=0.01 μm，Δpm/Δpf=200时，有效渗透率Kf随迂曲度分形维数DT变化曲线.DT是毛细管迂曲度分形维数，其值越大代表更毛细管越弯曲，这就意味着毛细管中流动阻力增大，导致幂律流体的有效渗透率降低.

图4 当β=0.02，δ=1.0，Dp=1.8，Df=1.3， amax=1 μm，amin=0.01 μm，Δpm/Δpf=200时，有效渗透率Kf随迂曲度分形维数DT的变化曲线Fig.4 The relationship between the effective permeability versus fractal dimension DT for tortuous capillaries at β=0.02，δ=1.0，Dp=1.8，Df=1.3，amax=1 μm，amin=0.01 μm，Δpm/Δpf=200

图5给出了当β=0.02，δ=1.0，Dp=1.8，DT=1.2，Df=1.3，amax=1 μm，amin=0.01 μm时，绝对有效渗透率Kf随孔隙裂缝驱动压差之比Δpm/Δpf的变化曲线.图5表明，由于增加了Δpm/Δpf，即增强了流体在孔隙基质的流动能力，从而使得幂律流体的有效渗透率增大了.

图5 当β=0.02，δ=1.0，Dp=1.8，DT=1.2，Df=1.3，amax=1 μm，amin=0.01 μm时，有效渗透率Kf随Δpm/Δpf的变化曲线Fig.5 The The effective permeability versus Δpm/Δpf at β=0.02，δ=1.0，Dp=1.8，DT=1.2，Df=1.3，amax=1 μm，amin=0.01 μm

3 结论

本文基于分形几何理论，在综合考虑幂律流体在裂缝-孔隙双重多孔介质中毛细管的窜流效应，应用幂律流体满足的广义达西定律，详细推导了幂律流体在裂缝-孔隙双重介质中的有效渗透率的分形解析表达式.研究结果表明幂律流体在裂缝-孔隙双重介质中的有效渗透率随孔隙面积分形维数和裂缝面积分形维数的增加而增加；随迂曲度分形维数的增加而减小；随幂指数n及Δpm/Δpf的增加而增加.本文的工作有助于人们理解非牛顿流体在裂缝-孔隙双重介质中渗流特性的物理机制.