几何理解洛伦兹变换的时空内涵

张 亮

(空军军医大学 基础医学院，陕西 西安 70032)

狭义相对论是现代物理学的重要理论基石，也是大学物理课程中重要教学内容.但由于狭义相对论相关理论与人们所熟知的经典力学时空观相悖，且难以进行实际观测.这导致在教学过程中，学生对这部分内容感到抽象，难以理解其概念本质，更多是机械性的记忆、套用公式.

洛伦兹变换作为狭义相对论的核心内容，是开启狭义相对论时空观的关键“钥匙”.在各个教材中都是重点讲解部分并且是衔接后续狭义相对论时空观的重要内容[1-3].如果不能及时理解洛伦兹变换的概念内涵，学生在后续学习中则很难将学习内容前后关联，导致所学知识点孤立，难以形成完整的知识结构框架，不利于学生从整体上理解和把握狭义相对论.

为了让学生加深理解洛伦兹变换，张元仲[4]、缪劲松[5]、王永刚[6]、秦立[7]等从图示、模型、公式、示例等多个角度，对洛伦兹变换的推导引入以及狭义相对论时空观中“长度收缩”、“时间延缓”等内容进行了探讨研究.其中邓魁英[8]基于闵式空间时空图，从几何层面对洛伦兹变换进行推导；魏益焕[9]基于空间几何旋转研究了洛伦兹变换与欧氏空间中旋转变换的联系.两人的研究成果论证了从几何层面直观理解洛伦兹变换的可行性.对此，本文基于时空图的二维旋转变换，从几何层面对洛伦兹变换中包含的时空变换关系进行分析，让学生可以更直观形象的理解二者之间的关联，进而加深对洛伦兹变换本质内涵的理解.

1 时空变换简化研究模型

伽利略变换、洛伦兹变换本质上解决的都是不同惯性参考系下，对物理事件P的坐标转换.为了便于分析理解，我们将问题简化，以图1所示模型为例：在惯性系S和S′中建立坐标系.令两个坐标系的y、z轴与y′、z′轴分别平行，x轴与x′轴重合.已知惯性系S′相对于惯性系S沿x轴以速度u做匀速运动.求空间中物理事件P在两个惯性系下的坐标(x,y,z,t)与(x′,y′,z′,t′)之间的变换关系.

图1 时空变换简化研究模型

图1模型在伽利略变换和洛伦兹变换中，均有：y=y′，z=z′.而(x,t)与(x′,t′)之间的变换关系，根据线性空间变换可知二者应满足

矩阵A即为空间坐标变换矩阵.无论是伽利略变换还是洛伦兹变换，都是矩阵A的不同表达形式.

2 几何理解洛伦兹变换的时空内涵

2.1 洛伦兹变换下时空坐标的几何变换规律

由洛伦兹坐标变换公式可知图1模型中事件P坐标(x,t)与(x′,t′)满足

(2)

由此可得洛伦兹变换下矩阵A为

(3)

从式(3)很难直观判断变换矩阵A的几何作用效果.为此先设

(4)

可知，式(4)满足cos2θ+sin2θ=1.且矩阵A变为

(5)

已知[10]，欧式空间中二维旋转矩阵A′为

(6)

矩阵A和A′存在相似性，因此可推测二者在作用效果上近似.

为了进一步理解并分析式(4)，在欧式空间中建立时空坐标系t-x并作出匀速直线运动速率u直线和单位圆x2+t2=1进行辅助分析，如图2(a)所示.

图2 欧式空间的时空坐标系与闵式空间的时空坐标系

从图2(a)中可知：单位圆周与匀速直线运动速率u直线的交点(x0,t0)可用极坐标表达为(sinθ,cosθ)，其中sinθ满足

(7)

若进一步假设光速c=1(这一假设的意义将在后面进行讨论)，则式(4)可转化为

(8)

对比式(7)，可知式(8)差异性在于虚数i在时间轴的引入.也由于i的引入，时空距离测度的表达不再是传统欧式几何中距离与时间的平方和，而变为了距离平方与时间平方负值之和，称为闵可夫斯基距离测度[8].因此，相应的时空坐标系t-x也将从欧式空间转换到闵式空间中.参考图2(a)，我们在闵式空间中重建时空坐标系t-x，并作出匀速直线运动速率u直线.此时，用于辅助分析的单位圆x2+t2=1由于闵式距离测度的定义将转变为双曲线x2-t2=±1，如图2(b)所示.和单位圆周的几何意义一样，单位双曲线x2-t2=±1表示闵式空间中所有到原点的时空距离为1的点的集合.

从图2(b)中可知，时空坐标系从欧式空间转换到闵式空间后，单位圆周x2+t2=1变为单位双曲线x2-t2=±1，且根据双曲正余弦函数的定义与推导[11]，双曲线t2-x2=1与匀速直线运动速率u直线的交点(x0,t0)可用极坐标表达为(shφ,chφ)，其中φ为双曲线t2-x2=1的双曲角，其大小等于对应曲边三角形面积的2倍[12](如图3所示).

图3 双曲角几何意义示意图(φ1等于直线x/y=u1与双曲线y2-x2=1和y轴构成的曲边三角形面积(虚线阴影部分)的2倍；图中φ2等于直线x/y=u2与双曲线y2-x2=1和y轴构成的曲边三角形面积(实线阴影部分)的2倍)

因此，对比图2(a)和(b)以及双曲正余弦函数与正余弦函数的定义，可在闵式空间的时空坐标系下重新定义式(8)

(9)

可得闵式空间中洛伦兹变换下矩阵A为

(10)

该矩阵即为闵式空间中时空坐标系下的二维伪旋转变换矩阵[9].时空坐标系t-x在该矩阵的变换下有如下特点：

1) 在该矩阵作用下，坐标轴t与x分别向直线x/t=1以相同的角度θ内旋靠拢(从数学关系上看也可以外旋分离).其中内旋角度θ大小恰好等于旋转后的坐标轴t′与x′与单位双曲线x2-t2=±1交点对应的双曲角φ的大小.因此，时空坐标系t-x在洛伦兹变换矩阵A的作用下，也可以看成坐标轴t与x在第一象限内沿双曲线x2-t2=±1进行内旋(如图4所示)；

图4 伪旋转变换下时空坐标系变换示意图

2) 从式(9)可知，坐标轴t与x内旋角度θ的大小与惯性系S’相对于惯性系S做匀速运动的速度大小u相关，u越大内旋角度θ越大.并且由于已假设光速c=1，根据光速为极限速度可知u/c的取值范围应在0～1之间；

3) 伪旋转变换与旋转变换均为等长度旋转，不同点在于，旋转变换是沿着圆周进行等长旋转，而伪旋转变换是沿着双曲线进行等长旋转.并且理论上经伪旋转变换后的时空坐标轴t′与x′会与任意一对以x/t=±1为渐近线的双曲线x2-t2=±k2(k为任意常数)相交.这些双曲线是闵式空间中到原点等距点的集合，类似于欧式空间中的圆(该特点的意义将在下一节体现).

因此，在解析了洛伦兹变换下时空坐标的转换特征后，下面就可以从几何层面进一步理解洛伦兹变换下时空变换的特点.

2.2 几何理解洛伦兹变换下时间变换规律

图5 洛伦兹变换下时间变换规律几何示意图

2.3 几何理解洛伦兹变换下空间变换规律

图6 洛伦兹变换下空间变换规律几何示意图

在图6中，由前述特点3可知：该双曲线与x′轴必然存在交点，且该交点恰为A′(x1′,0,0,0).并且从图6中可知：在S′系中，直尺长度x1′的几何长度在t′-x′坐标系下为|O′A′|，其经伪旋转变换在t-x坐标系下的等几何长度应为|OB|，在S系中，直尺长度x1的几何长度为|OA|，|OB|<|OA|.因此在S系中看，直尺的长度缩短.同理当u越大，伪旋转变换的角度θ越大，|OB|与|OA|之间的几何长度差异也会越大：|OB|<<|OA|，尺度缩短程度越大.

2.4 几何理解洛伦兹变换中的光速不变性

在洛伦兹变换中，光速不变性作为基本假设之一，具有十分重要的意义.2.1节中也是在假设光速c=1的前提下，才能进一步分析得到洛伦兹变换的时空几何变换规律(若假设光速为其他常量：c=k0，也可以得出相应结论，只不过由于系数k0的引入，坐标变换将不再是等长变换，相对比较复杂).

已知双曲线x2-t2=±1在第一三象限内的渐进线为x/t=1.根据假设条件，光速c=1，因此该渐近线可视为x/t=c，即光速线(如图7所示).根据伪旋转变换特点1可知：t-x时空坐标系在洛伦兹变换下，将沿着双曲线x2-t2=±1进行等长旋转变换为t′-x′系，不论旋转角度θ大小，光速线始终为坐标轴t′与x′的角平分线，从几何层面上体现出了光速c在不同惯性系S′下的恒定性.

图7 洛伦兹变换中的光速不变性几何示意图

3 总结

综上所述，本文基于时空图的旋转变换，从几何层面对洛伦兹变换中包含的时空变换关系进行分析：洛伦兹变换在几何上等价于从欧式空间到闵式空间中的二维伪旋转变换.通过几何图像分析，学生能够更加直观理解洛伦兹变换中隐含的“钟慢尺缩”时空变换特点以及光速不变性基本假设.“钟慢尺缩”是狭义相对论时空观的本质概括，理解了“钟慢尺缩”，对学生后续学习狭义相对论相关内容具有十分重要的意义.