狭义相对论中质量与速度关系的特色推导方法

冯仕猛

(上海交通大学 物理与天文学院,上海 200240)

相对论质速关系是相对论一个基本关系式，并由此可导出相对论质能关系.在各类教科书中，除有一些为了简明而不加推导地直接引入相对论质速关系外，对于相对论质速关系的推导，基本上都是如采用两个完全相同小粒子发生完全非弹性碰撞成一个大粒子的方法，或反过来采用一个大粒子自我裂成两个相同小粒子的裂分方法，然后利用大粒子的静止参考系与两个小粒子的运动参考系之间的洛伦兹速度变换公式，以及动量守恒和质量守恒来导出相对论的质速关系式[1-4].然而，在此推导过程中这两个守恒又是以质速关系为基础的，实际上形成了相互证明的循环关系.其它的推导方法，则先假设两个惯性坐标系中力的变换关系式，而这种力的变换关系的推导则又牵涉到狭义相对论的质能方程，而质能方程又是以质速方程为基础的，这也是一个相互循环的证明.这样的逻辑处理过程，对刚刚开始学习狭义相对论的读者来说，理解有很大困难.其它的推导方法[5-6],则不大适应低年级的理工科大学生学习.

本文从狭义相对论时空关系出发，先证明两个惯性参照系中在运动方向上力的不变性，然后直接利用牛顿第二定理推导质速关系，这种推导过程更直观、简单,比较适用于低年级的理工科大学生学习.

1 质速关系的推导过程

1.1 两个存在相对运动的惯性参照系中运动方向上力的变换

对于两个直接接触的物体之间的相互作用力，本质上是两个物体弹性形变产生的弹性力.为了研究弹性力在两个惯性坐标系中的变换关系，本文给出在静止参照系中材料受力模型，见图1.

图1 材料在外力作用下的模型示意图

图1是材料的示意图，对于第一列和第二列原子之间的弹性变形，有下列关系：

(1)

式(1)中β是第一列原子和第二列原子之间发生弹性变形时的比例系数，d是第一列原子和第二列原子之间的距离，S是两列原子接触处总的端面积，F1,2是第一列原子和第二列原子之间受到x方向的外力，dx是两列原子之间在外力作用下的弹性伸长量.同理，在其它相邻的两列原子之间，同样存在如下关系：

(2)

显然，对个多个原子构成的块体材料，其总的弹性伸长量为

(3)

(4)

将式(4)写成胡克定律的形式有

(5)

假定有两个惯性参照系，一个静止参照系S系，一个相对于静止参照系沿x方向作匀速直线运动的参照系S’系(见图2)，运动速度为u.将上面材料放在静止坐标系中，材料受力方向、长度方向与x方向平行，则静止坐标系中，材料所受弹性力就是式(5).

图2 两个惯性坐标系中力的转换模型.

图2中l0是材料原长，S’系是运动坐标系，S系为静止坐标系.根据狭义相对论的相对性原理和式(5)表示的物理意义，在运动坐标系中同样有

(6)

(7)

式中Fx是静止坐标系中材料所受的弹性力，l0是静止坐标系中材料的长度，Δx是静止坐标系中材料的弹性伸长量.将式(6)代入式(7)中可以得到

(8)

1.2 式(8)的推论

本论文中利用两个电荷之间在x方向的静电力的变关系推论式(8)的正确性.由洛伦兹时空变换,得

(9)

式(9)x′、y′、z′是运动坐标系中的坐标，x、y、z是静止坐标系中的坐标.考虑到运动坐标系中任意一点的坐标大小变换到静止坐标系中必须保持同时性，则式(9)可以转换为下列形式:

(10)

取用微分形式：

(11)

现在假定两个惯性参照系：一个是静止参照系S系，另一个是以速度u向x方向运动的参照系S’系.刚开始，两个坐标系原点重合，一个点电荷放在运动坐标系的原点，并与运动坐标系一起运动，如图3.

由于电荷与运动坐标系相对静止,因此,运动坐标系中观察者看来，该点电荷在运动坐标系中产生的电位移矢量分布仍然是球形对称分布，即

(12)

(13)

(14)

把式(11)代入式(13)中并和式(14)对比得到

(15)

从式(15)中可以看出，在电荷运动的方向上，两个惯性坐标系中运动方向上空间的电场强度相等.利用静电力的概念，如果有另外一个点电荷q放在B处，则受到的静电力分别为:

(16)

把式(15)代入式(16)中得到

(17)

式(17)的结论的正确已经被相对论力学中用其它方法证明了的[7].但本文中，式(17)的推导是利用狭义相对论中洛伦兹空间变换直接推导出来的.因此，可以推断出，利用洛伦兹变换直接推导的式(8)也是正确的.

1.3 质速关系的推导

根据狭义相对论的速度变换公式:

(18)

(19)

如果把运动坐标建立在质点上，式(19)可以简化为

(20)

狭义相对论中时间的转换关系为

(21)

将式(21)对t求导数得

(22)

同样，当质点运动速度与运动坐标系速度相等时，即u=ux，式(22)可以表示为

(23)

根据力的定义式，在两个惯性坐标系中均有

(24)

(25)

将式(23)代入到式(25)中得到

(26)

如果把运动坐标系原点建在质点上，运动坐标系中，任意时刻质点的瞬时速度为0，则质点任意时刻的质量就是静止质量，则式(26)可以写为

(27)

将式(20)代入到式(27)中得到

(28)

然后对式(28)两边求积分

(29)

式(29)的积分得

(30)

化简得到

(31)

式(31)就是狭义相对论中运动质量和静止质量的关系.

2 讨论和结论

狭义相对论是大学物理教学中的一个难点，主要是时空的变换关系和质速关系，学生理解起来比较麻烦.经典物理基本上都是解释现实问题，学生看得见摸得着，容易想得明白.而狭义相对论则是学生看不见摸不着的世界，所以大多数学生刚开始学起来就觉得很抽象.大学物理的教学，一个基本点是让学生觉得物理很简单而不是深奥.所以在大学物理力学教学过程中，设法建立简单的物理模型，尽可能用学生容易理解的方式处理物理问题，是本论文给出研究的价值所在.

本文论文的推导方法，没有假设，基本都是按学生的思维习惯一步步地推导，这种推导方法符合现在大学生的认知规律的.