立足课程标准发展符号意识

张安军

【摘要】基于《义务教育数学课程标准（2011年版）》对“符号意识”要求.唤醒“符号意识”，建立符号意识的基础;体验“符号内涵”是建立符号意识的核心;自觉“应用符号”是建立符号意识的归宿.

【关键词】课程标准;符号意识;课堂教学

“符号意识”是《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）[1]提出的十个核心概念之一，课程标准指出符号意识“主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律;知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性;建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式”.因此，在数学课堂教学中，应重视发展学生的符号意识.

整式的加减是代数式运算的重要内容之一，其核心学习目标在于进一步发展和强化符号意识，提高代数推理能力.笔者近期在本区七年级教研活动中，听了一节“整式加减（第1课时）”公开课，现将教学设计及其及教学活动加以整理，就教学活动中如何发展学生的“符号意识”进行分析思考，与同行探讨.1唤醒“符号意识”是建立符号意识的基础

片断1从数到字母（式）.

问题1如图1，我国国庆阅兵方阵中，每行士兵人数为25人，则在图2中，

（1）2行的总人数为;

（2）3行的总人数为;

（3）10行的总人数为;……

（4）n行的总人数为.

教学活动教师先让学生观察阅军式中的微视频，然后选取一队方阵如图2，用数学的眼光审视阅队伍中的方阵，抽象得到数学问题1.学生思考片刻后，教师选取了两位学生回答问题，回答之后，然后让学生比较第（4）问和前面第（1）至（3）问的区别，从中让学生感受用字母表示数或式更具一般性、简洁性.

教学再思考《课标》对于字母表示数在不同学段下提出不同的要求，具体如表1.

其实第二学段要求在具体情境中能用字母表示数，例如问题1中的第（4）小问，即“n行的总人数为多少”，是小学阶段的要求.

第三学段不仅学会用字母表示数，而且还要理解其式子的意义，即用“25n”表示n行的总人数所具有简洁性和一般性，当学生理解字母表示所具有的优越性，就能自觉地进行字母表示数，唤醒了学生的符号意识，它有别于第二学段的要求.上述教学中，教师让学生回答2行、3行、10行的总人数，本质上让学生积累这一问题的计算方法，在第（3）小问之后，以开放的形式，让学生自己提出问题，从而自觉地产生用字母表示数的符号意识，教师却在适当的时间启发学生为什么要用字母表示数，从领会走向顿悟，从顿悟走向超越.

然而遗憾的是教师在教学中让学生计算n行的总人数，用填空的形式，学生可能对具体行数的模仿，或许“学会”的是一种浅层次的“字母替换”.有经验的教师都有这样的体会，在后继列方程解决实际问题时，学生习惯于“算术法”，而不愿主动用方程来解决问题，很大的原因是学了“字母表示数”，但对字母表示数仅停留在机械地程序性操作阶段，不会将字母和已知量同等看待并参与运算.思维还没有真正从“缩写代数”向“符号代数”的提升，虽然学生在快速的填空中完成问题，流利地回答，看似小步子、快节奏、高效率，然而课堂顺畅的背后却是教学资源中一次最富贵的流失.经验是在交流中积累，思想却在反思或停顿中领会，犹如中国山水画中，留出大片的“空白”，让观者思考这些“空白”背后的丰富内涵正是其魅力所在.在教学中当学生回答了2行、3行、10行时，教师有意识停下来，引领学生反思：“给出阅兵方阵具体行数，就能计算总人数，有没有更好的方法来计算阅兵方阵总人数呢？”让学生自然地想到用“25n”表示总人数.当学生想到“25n”表示总人数，教师继续追问用式表示阅兵方阵总人数，n是否可以取任意数？以及用“25n”表示总人数好在哪里？请你再举出用字母表示数或式的例子，当学生举例加法交换律、结合律，和绝对值的符号表示（当a≥0时，a=a）等，教师让学生再次体悟用字母表示数的优越性.因此，教师要通过具体数量开始，然后在具体数量的变化过程中让学生有意识地产生用字母表示，唤醒他们的“符号意识”，体悟用字母表示数所具有的简洁性和一般性.这样的过程看似简单、重复，却有着内在认知的层次性，在重复的过程中让学生体会到用字母或式表示更具一般性和简洁美，领悟从数到字母（式）是数学史上一次里程式的飞跃.2体验“符号内涵”是建立符号意识的核心

片断2列式表示简单数量关系.

例1（1）苹果原价是每千克p元，现8折优惠出售，用式子表示现价;

（2）某产品的前年产量是n吨，去年产量是前年产量的m倍，用式子表示去年的产量;

（3）一个长方体包装盒的长和宽都是acm，高是bcm，用式子表示它的体积;

（4）用式子表示数n的相反数.

例2（1）一條河的水流速度是2.5km/h，船在静水中的速度是vkm/h，用式子表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶的速度;

（2）买一个篮球需要x元，买一个排球需要y元，买一个足球需

要z元，用式子表示买3个篮球、5个排球、2个足球共需要的钱数;

（3）如图3，（图中长度单位：cm）用式子表示三角尺的面积？

（4）如图4，是一所住宅的建筑平面图（图中长度单位：cm）

用式子表示这所住宅的建筑面积.图3图4

练习略（练习有4小题，每题都是用字母或含字母的式子表示实际问题中的数量）.

教学活动引出用字母表示数后，用整式表示简单的数量关系，教师利用教材中的例题进行教学.在教学过程中教师着重分析例1中的第（1）小问，分析问题中的数量关系：现价=原价×折扣率，再强调书写规范：数（字母）与字母相乘时，“×”省略或写作“·”;数字写在字母前面.讲解后再让学生独立完成第（2）至（4）小问，并展示它们的解答过程，由于问题比较简单，学生都能正确解答，教师着重强调以下书写规范：带分数与字母相乘，把带分数化成假分数;式子中出现除法运算时，一般按分数形式来写;“-1”和“1”和字母相乘时，省略“1”.对于例2中的第（1），部分学生出现困难，教师给出了问题中的数量关系：船顺（逆）水行驶速度=船在静水中的速度±水流速度.当学生完成后，教师继续强调书写格式的规范：数与字母进行和差运算时，若有单位，需加括号.同一问题情境中，不同的量要用不同的字母来表示，相同的量要用相同字母来表示.

教学再思考《课标》对数量关系的要求：“能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示数量关系及其变化规律”.对于数量关系，在小学阶段，主要是算术运算，例如3×4或3+5等，一般地都要计算出结果12或8，3×4或3+5通常是表示一个过程.可以发现算术运算是表示运算过程，其目的是为了求出算式的结果.在中学阶段，主要是代数运算，例如：m+n，既表示m和n这两个数做加法运算，又表示m和n相加的结果，即m+n本身既可以看作运算过程，又可以看作运算结果，也就是作为一个对象来看待.可见代数运算是结构性的，结构是从语言表达抽象出来的一种形式，是形式變换，代数运算具有过程性和结果性[2].

把代数式作为一个结果对象来理解，对于开始学习代数的学生来讲还是非常困难的.例如，对于一个长为m米，宽为n米的长方形，利用长方形的面积公式，学生可以很容易得到其面积是mn，但学生往往不认为mn就是长方形的面积（运算结果），经常要去问教师：mn到底是多少呢？由此也可以看出，对于代数式意义的理解，学生不可能一蹴而就，需要一个认知的过程.

那么结合本节课教学如何促进代数式意义的理解呢？从而更好地促进“符号意识”的发展.首先教师在定位上要改变，本节课的难点或重点不是代数式的书写规范，课堂上当学生书写不规范时，才有必要强调，本节课中重要的是要帮助学生理解代数式的意义，教师要启发学生解题后的反思：这些字母表示什么？列出的式子表示什么？这些式子还能进行运算吗？式子中包含了哪些运算？让学生更好地理解字母表示数，通过数与字母的运算得到式子，式子再通过运算得到更多的式子，直至无限，而且它们的运算结果都代表数，当学生理解数或字母的运算得到式子本质上还是一个数，这样自然地迁移到列方程解应用题，迁移到式的内容的研究，由于用式中的字母表示数，因此对于数中成立的运算法则和运算律，在式中仍然成立.因此，对于式的研究也就可以转化为数的研究，这就是数式通性，有助于后续整式、分式、二次根式运算的学习.

其次，要帮助学生分析问题中的数量关系列出代数式，要让学生从生活语言到自然语言，再从自然语言走向符号语言，例如例2中的第（2）小问，生活语言：篮球、排球、足球单价分别x元/个，y元/个，z元/个，买3个篮球、5个排球、2个足球共需要的钱数？自然语言：3x、5y与2z的和;符号语言：3x+5y+2z.

帮助学生分析问题中的数量关系并能用字母或代数式表示问题中相应的数量是解应用题列方程的基础，也是整个数学的基础，它是“代数”的精华.在教学中一方面要从生活语言分离抽象出符号语言，另一方面结合符号语言还原为生活语言，例如解释2m，让学生结合生活中的实例予以解释，如青菜的价格是2元/千克，则2m表示买m千克的金额;若m表示长度，矩形的一边长为2，另一边长为m，则2m表示这个矩形的面积.给学生提供了更大的想象空间，深刻理解用字母表示数、数量关系的内涵，体验用符号表征问题的必要性和优越性，有利于学生建立符号意识.3自觉“应用符号”是建立符号意识的归宿

片断3思维拓展与能力提升.

例3如图5，搭一个正方形需要4根火柴棒.

（1）如图6，搭2个正方形需要根火柴棒，如图7，搭3个正方形需要根火柴棒.

（2）搭10个这样的正方形需要根火柴棒.

（3）搭n个这样的正方形需要根火柴棒.

（4）搭100个这样的正方形需要根火柴棒.

（5）用361根火柴棒能搭个这样的正方形.图5图6图7

教学活动以“找规律”作为本节课的能力提升和思维拓展，第（1）、（2）小问学生很顺利地解决，第（3）小问，大部分学生的答案是3n+1，并让学生解释“3n+1”的含义，同时教师继续追问还有不同的答案吗？在教师的追问和启发下，学生们纷纷得到不同的答案：4+3（n-1）、2n+（n+1）、4n-（n-1），在每得到一个式子，学生把自己所发现的规律加以解释，由于学生解释时，表达不是很清楚，教师再重新解释，这样导致这一小问花费时间颇多，第（4）小问学生把100代入“3n+1”，也很快得到答案，第（5）小问从反面去思考问题，得到方程3n+1=361，师生共同得到答案.教师再加以总结和反思，从特殊到一般得到“3n+1”，再从一般到特殊，得到第（4）、（5）小问答案.

教学再思考可以发现在本节课中，“找规律”的题目旨在增加难度，拓展思维.在实际课堂教学中，用时过多的是第（3）小问，当然不是此题的思维难度，而是解法的多元性（有4种解法），学生讲解问题的紧张以及数学语言表达的缺乏造成耗时过多.相反由于图形的直观性，铺垫的到位性，学生比较顺利完成各小题.联系上述《课标》的分析，本节课的着力点不是增加找规律性问题的难度来提升学生的思维能力，找规律虽能体现字母表示数的优越性与一般性，然而该环节未能有序地推进“字母代数”认识的深化和培养学生符号意识的自觉.该学段单元必须关注《课标》中的“符号意识”，着重培养学生核心概念.对于符号意识主要体现在以下三个层面：第一层，主动运用符号表示数的符号意识，它是展开数学思考的基础;第二层，运用符号表示数量关系和变化规律的符号意识，它关注思考的过程;第三层，使用符号可以进行运算和推理的符号意识，它关注数学的过程与结论.

上述课例，执教者在该环节问题的设置，一方面其处理方式在很大程度上还是让学生进行一种替换式的表达，另一方面选题的方向偏离《课标》.那么如何选择典型性的例题促进学生字母代数的进一步理解和符号意识的培养呢？当然选择例题要基于学生的认知，若学生的数学基础不是特别好，可以选择以下的一道例题：

问题假如有一根很长的绳紧贴地球表面，绕赤道一周，然后把紧贴的绳子增加20m，这时绳子与地球赤道之间会有缝隙（假设各处缝隙是均匀的），下面四个估计最接近缝隙的高度的是（）.

A.一张纸的厚度B.数学书本的宽度C.学生课桌的高度D.篮球架的高度

学生在理解题意的基础上，让学生先进行直觉猜想，然后激发如何验证自己的猜想，自觉地用字母代数进行列式，然后进行运算和推理，再让学生反思符号的使用是数学表达和数学思考的重要形式和途径.若学生有困难时，先特殊化为篮球.当學生询问篮球的半径大小时，教师追问“一定要知道篮球的半径大小吗”，然后推广到地球.上述的问题学生难在对具体问题数量关系变化的分析上，难在学生自觉地用字母代数的思想，课堂教学的拓展与提升，要紧扣《课标》，精准的解读《课标》，要难在学生思维的节点上，要难在思想上.

当然若学生基础较好，可以考虑以下的一道例题：

问题：已知两数的和与差，求这两个数.

该问题选自古希腊数学家丢番图《算术》一书的第1卷第1题，由于小学中已学过简易方程，知道用字母可以表示未知数，学生可以设字母表示两个数，而两数的和与差虽是已知的，题中却没有给出，学生产生了认知冲突[3].若学生有困难时，教师启发学生若“和、差”是一个具体的数，你能求出这两数吗？然后教师追问“求出这两数的答案唯一吗”，让学生感悟到这样答案是不唯一，如何刻画这一变化的结论呢？再次解读问题，让学生自觉想到用字母代数，字母不仅可以代表未知数，也可以代表已知数.在这个教学过程中，符号意识的培养和进一步理解字母代数的意义就在其中.

《课标》给出了十个核心概念之，“符号意识”是其中之一，主要是“指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律;知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性.建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式”.“符号意识”首要的是要理解符号表示数、数量关系和变化规律，其次在理解的基础上能进行运用等等.

上述教学只是众多课例中的一个，也很有代表性.粗看整个教学过程，设计思路清晰，不论是问题的提出，还是新知探究运用，都比较合理，但仔细分析，特别是与《课标》相对照，就会发现问题，有的教学设计偏离《课标》，有的不清楚本学段的《课标》要求，人为降低《课标》的深度.对教师来说，研读《课标》和教材是有效教学的前提，决定着“教什么”和“怎样教”的问题.新世纪以来我国中小学数学教科书在编排上采用螺旋上升、混合编写的形式，由于中学教师不了解小学教材，忽视教科书中小学的衔接，也给教师研读教材和《课标》提出新挑战，因此，在教学时，对小学、初中不同学段《课标》要深刻研读，认清不同学段《课标》中的要求和内在关系，以达到对数学教材的深刻理解和整体把握.解读时既要关注《课标》中的课程目标、内容目标等，更要关注课程标准中的对每一节课的深度和广度.基于学生的认知做好每节课的教学目标与《课标》中的目标进行对接和匹配，落实好结果性目标和过程性目标，从而提升学生的核心素养.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2011.

[2]李海东.做好从算术到代数的过渡，实现中小学数学教学的衔接[J].中国数学教育，2015（7-8）：6-8.

[3]孙洲.HPM视角下的“字母表示数”教学[J].数学教学，2017（6）：28-30.