基于石墨烯压力传感器的能带理论研究

张 腾，王俊强，齐 越，李孟委

(中北大学仪器与电子学院，中北大学前沿交叉科学研究院，电子测试国家重点实验室，山西太原 030051)

0 引言

石墨烯是由单层六角元胞碳原子构成的蜂窝状二维晶体，于2004年被曼彻斯特大学的Novoselov成功制备。石墨烯具有高达200 000 cm2/(V·s)的电子迁移率[1-2]、1 TPa的杨氏模量[3]、125 GPa的断裂强度[4]、5 000 W/(m·K)的热导率[5]，可承受20%的可逆弹性变形[6]，以其优越的电学、机械、力、热等性能被广泛关注。石墨烯作为力敏膜片被广泛应用在压力传感器中，已有研究表明石墨烯压力传感器有较高灵敏度及高一致性[7]。目前石墨烯压力传感器理论模型尚未完善，极大地制约了石墨烯压力传感器的设计及制作。石墨烯压力传感器压阻效应是外部压力引起石墨烯电阻变化的现象。外部压力作用于石墨烯上使石墨烯产生应变，而应变将改变石墨烯的能带结构，石墨烯能带结构的变化是电导率发生改变的直接影响因素。

1 石墨烯压力传感器能带原理仿真

理想石墨烯平面是零带隙的半金属[8]，其晶格结构如图1所示，但石墨烯的电子性质会受到应变的影响，最终改变石墨烯的能带结构。在石墨烯中，碳原子周围4个价电子分布在2s、2px、2py和2pz轨道上。任一碳原子与最近邻的3个碳原子以sp2杂化轨道的形式形成3个δ键，分别为δ1、δ2、δ3键，其波函数分别为

(1)

式中：Ψc(2s)为2s方向上2p轨道的波函数；Ψc(δi2p)为δi方向上2p轨道的波函数。

这3个δ键使任一碳原子与周围3个最近邻碳原子紧紧相连，并排列成正三角形，从而构成稳定的晶格结构。在垂直碳原子平面的方向上还有一个价电子和2pz轨道，它们与近邻原子相互作用形成π键，占据π键的这个价电子称为π电子。由于在石墨烯中只有π电子参与导电，另外3个成键的价电子不参与导电，所以石墨烯的导电性能完全取决于这个π电子，因而在计算石墨烯的能带结构时通常只考虑这个π电子的影响。

图1 石墨烯晶格结构图

(2)

(3)

(4)

在紧束缚条件下建立归一化基矢{β1，β2}：

(5)

(6)

根据紧束缚近似，可用原子轨道线性组合来表示石墨烯的波函数，具体为

(7)

式中：c1和c2为组合系数。

(8)

t=toe-φ·ε

(9)

式中：to为平衡跳跃能量[9]，to=2.8 eV；φ为应变能级调制因子，φ=3.37。

图2 应变ε与跳跃能级曲线图

石墨烯作为零带隙结构材料，本征状态下导带与价带相交于布里渊区狄拉克点(K点和K′点)。由于每个碳原子仅具有一个电子，所以在零温的基态，石墨烯的导带全空，价带刚好填满，因此其费米能级刚好位于狄拉克点处，费米面即狄拉克点，且费米面附近的电子决定着体系的输运性质。利用第一性原理仿真软件得出本征状态下能带结构如图3(a)所示。当压力作用于石墨烯时，石墨烯应变导致导带与价带打开形成带隙，大小为3.01 eV。石墨烯能带结构如图3(b)所示。

(a)本征状态下石墨烯能带图

(b)ε=0.2状态下石墨烯能带图图3 石墨烯能带结构

2 石墨烯费米能级与带隙分析

(10)

(11)

式中：kF为费米波矢；a为石墨烯未发生应变时的键长，0.142 nm；h为普朗克常量。

费米能级EF与应变ε关系及费米速度vF与应变ε关系如图4所示，费米速度vF、费米能级EF都随着应变ε的增加而减小。本征状态时石墨烯费米速度为0.86×106m/s。

图4 应变ε与费米速度vF、费米能级EF曲线图

3 石墨烯带隙对传感器影响分析

石墨烯在不受到外界压力产生应变时，相邻碳原子之间的跃迁积分参量t1=t2=t3，石墨烯能量色散体现为各向同性的零带隙。随着对石墨烯压力传感器施加外界压力，石墨烯材料产生应变，石墨烯中电子及空穴发生移动，自由电子形成的能量空间为导带，空穴形成的能量空间为价带，并产生能量跃迁形成带隙。石墨烯带边缘能量Eedge如式(12)所示，由费米能级EF及带隙Eg决定。

Eedge=EF+Eg

(12)

其中“+”适用于电子载流子(导带)，“-”适用于空穴载流子(价带)，形变势能Eε如式(13)所示，由带边缘能量Eedge决定。

(13)

带隙Eg与应变ε关系如式(14)所示。

(14)

式中：St=1.29为引入常量，反映跳跃能量t对键长r的依赖特性；υA≈0.145为石墨烯泊松比。

(15)

比较在不同应变情况下沿不同拉伸方向(扶手椅型方向与锯齿型方向)石墨烯带隙变化情况，如图5所示。沿扶手椅型方向拉伸应变达到0.2时带隙为0.237，沿锯齿型方向带隙为0.240，利用第一性原理仿真得出应变为0.2时带隙为3.01 eV。应变与带隙的关系近似为|Eg|∝1.2ε。

图5 应变ε与带隙Eg曲线图

4 结论

外界压力作用于石墨烯压力传感器时，石墨烯产生应变从而使石墨烯能带结构发生改变，产生带隙，影响费米能级以及费米速度，费米能级及跳跃速度随应变的增加而减小。带隙是影响石墨烯电阻发生改变的直接影响因素，并比较扶手椅型方向与锯齿型方向石墨烯带隙变化情况，得出沿不同拉伸方向石墨烯带隙变化情况近似相等，应变与带隙的关系为|Eg|∝1.2ε。