地球表面、外部及内部的重力加速度问题

刘颖

摘要： 地球的重力加速度问题是高中物理人教版必修二第六章第三节的内容，该论文的重点在于理解万有引力与重力的区别和联系，掌握地球各处重力加速度的求解及变化原因。该论文紧扣重力加速度这一主线，分别从地球表面重力加速度随纬度的升高而增大、地球内部重力加速度与质点到球心间距离成正比、地球外部重力加速度随海拔的升高而减小三个方面进行详细地阐述，并且每个方面都有具体的理论推导和函数图像。

关键词：重力加速度、纬度、海拔、球壳、图像。

中图分类号：G4 文献标识码：A 文章编号：（2021）-08-203

万有引力定律的应用—重力加速度这一专题在近几年的高考及各地区的模拟考试中频繁考查，少则是6分一道的选择题，多则是15分甚至是18分的大题。2015年天津、重庆、山东卷考查的是地球外部重力加速度，2014年海南、全国Ⅱ卷、重庆卷考查的是地球表面的重力加速度。2012年全国卷考查的是地球内部重力加速度，2016年四川卷和2014年北京卷考查的是地球表面和外部重力加速度的比较问题。由此可见，高考对于重力加速度的考查既频繁又全面，所以我们有必要将重力加速度做为一个专题进行系统的研究。

首先我们先来研究一下地球表面处的重力加速度。

地球表面上随地球一起自转的物体受到两个力的作用，即万有引力和地面的支持力。我们知道相对于地面静止的物体所受的重力与支持力是一对平衡力，而地球表面上随地球一起自转的物体的运动是匀速圆周运动，做匀速圆周运动的物体所受的合外力提供向心力，所以万有引力和支持力的合力应该指向轨迹圆的圆心，即万有引力是重力和向心力的合力。万有引力总是指向地球球心，向心力总是指向轨迹圆的圆心，而重力则总是竖直向下，或者说垂直于水平面向下。重力只有在赤道和两极处才指向地球球心，而地球上的其他位置处重力并不指向地球球心。

地球并不是标准的球体，赤道半径是6378km，两极半径是6357km，平均半径是6371 km。地球表面上的物体做圆周运动的周期与地球自转周期相同，即23时56分4秒，在粗略计算中可以取24小时。根据以上信息可以求解地球赤道处重力加速度约为9.78m/s2，两极处的重力加速度约为9.83m/s2。为了方便计算，重力加速度的标准值通常取9.8m/s2，粗略计算中可以取10 m/s2。

若我们要对地球表面上任意纬度的重力加速度进行研究，就要考虑到万有引力是向心力和重力的合力，那么萬有引力应该是平行四边形的对角线，向心力和重力是夹该对角线的两条邻边，可以利用余弦定理进行推导。最终得出地球表面重力加速度随纬度的升高单调递增。纬度为45°处的地表面重力加速度为9.8m/s2，作为重力加速度的标准值，而我国首都北京所在处接近北纬45°。

由于地球表面上随地球一起自转的物体的向心加速度为，赤道处（θ=0，cosθ=1）的物体向心加速度最大，，而。因此an远小于g，即同一物体的向心力远小于重力，说明平行四边行中的向心力这条邻边极短，重力和万有引力在大小和方向上都极其接近。所以在忽略地球自转时，，这就是我们最熟悉的“黄金代换”。

下面我们再来研究一下重力加速度随海拔是如何变化的。

既然重力加速度随海拔的升高而减小，那么能否说地球内部的重力加速度比外部大，地心处的重力加速度最大呢？我们通过一道高考题来认识一下地球内部的重力加速度。

（2012，新课标全国）假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（             ）

“质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零”这句话作为一个已知条件告诉我们，应该如何理解这句话呢？我们不妨采用类比的方式加以理解。电荷在其周围产生电场，物体在其周围产生引力场。电荷与电荷间的相互作用力是库仑力，物体与物体之间的吸引是万有引力，两个力很相似都遵循平方反比定律。静电场中我们知道“均匀带电球面内部场强处处为零”，那么质量分布均匀的球壳内部引力场场强也为零，所以将一质量为m的物体放入均匀球壳内部，它不受球壳的引力。这样我们就可以将质量均匀的球壳剥落，以地心为圆心做一个过质点的球，相当于只有中心处的小球对质点有引力，可以看成有个物体放在小地球的外表面。本道题采用等效法。“质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零”这一结论可以通过高中的微元法来证明，也可以用大学中的微积分法和高斯定理加以证明。

质量分布均匀的薄球壳中两个对顶小面元对任意点P处的质点合引力为零。同理可证，整个薄球壳对壳内任意点P处的质点合引力为零。将任意厚度的质量分布均匀的球壳分为许多个同心薄球壳，既然每个质量分布均匀的薄球壳都对壳内任意点P处的质点合引力为零，所以整个任意厚度的质量分布均匀的球壳对壳内任意点P处的质点合引力也为零。这道选择题答案为A。

地球内部重力加速度与质点到球心的距离r成正比，说明地心处重力加速度为0，赤道处重力加速度最大。

我们看到地球内部的重力加速度并不像我们想像的那样比地球外部大，而是地心处重力加速度为零，沿r轴方向重力加速度先增大后减小，地球表面赤道处重力加速度最大。

地球各处重力加速度的测定，对物理学、地球物理学、重力探矿、空间科学等都具有重要意义，也是高考中万有引力部分的高频考点，希望所有考生都能对这部分知识清楚的掌握。

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