感应电机等效磁路模型及转子偏心分析

刘官瑞

（重庆交通大学 机电与车辆工程学院，重庆 400000）

电机由于其效率高和成本低等优点，在旋转机械中越来越受欢迎。理想的电机气隙是均匀的，然而由于制造误差、装配误差和运行磨损等，电机气隙在圆周方向上不再均匀分布，其导致的不平衡磁拉力将转子运动中心拉得更远，引发了电机机械系统的稳定性问题。

早在1987年Belmans[1]计算了两极感应电机的径向偏心力并研究了电机中同极磁通量大小。郭丹[2]通过麦克斯韦方程组建立了偏心引起的磁拉力表达式，表明系统非线性程度与偏心大小成正比。Guo[3]等利用麦克斯韦应力张量推导了径向偏心力的解析解。刘清[4]建立了电机弹性转子运动的微分方程，通过分析发现不平衡磁拉力的线性部分与非线性部分对转子的运动特性影响不同。Pennacchi[5]得出了偏心条件下气隙长度的更精确表达方式，并用梁单元对发电机进行建模，以研究由于径向偏心力引起的转子动力学行为。刘锋[6]等利用多尺度法得到了转子涡动引起的不平衡磁拉力表达式，发现了不平衡磁拉力的非线性特性，使得转子涡动振幅随时间改变。何成兵[7]建立了裂纹转子系统在涡动下的弯扭耦合振动微分方程，分析了裂纹转子系统的非线性动力学响应。然而，上述文献都是用解析法和集中参数法模拟电机的不平衡磁拉力，忽略了电机的大部分特性，是一种理想的情况。虽然基于有限元模拟的电机能反映真实的情况，但是转子的运动特性却不能包含在内，同时需要消耗大量的时间进行分析。为了平衡模型的精度和计算时间，MEC模型被用于研究转子偏心问题。Vandevelde[8]建立了感应电机MEC模型，并通过能量法计算了径向偏心力。Han[9]研究了径向力和切向力对转子振动稳定性的影响。综上所述，基于MEC方法研究电机转子偏心特性与实际情况更加符合。目前，所有的文献都没有考虑MEC建模电机下的转子弯扭耦合动态特性。本文基于文献[10]中的感应电机MEC模型，结合Jeffcott转子模型，考虑转子弯扭耦合、磁路饱和以及电机开槽等内部激励对机电系统的影响，建立了机电耦合模型。

1 感应电机MEC模型

图1为转子偏心下感应电机的部分MEC模型。电机分为4层，分别是定子轭部、定子齿部、转子齿部以及转子轭部。每一层的磁动势分别用F1、F2、F3，F4表示。将定子轭部和齿部按照定子齿数(k)平均分割，得到的磁阻分别表示为Gsy(i)和Gst(i)，其中i=1,2,…,k。将转子轭部和齿部按照转子齿数n平均分割，得到的磁阻分别表示为Gry(j)和Grt(j)，其中j=1,2,…,n。Φst(i)、Φrt(j)分别表示齿部磁通量，G(i,j)表示气隙磁导，Gsδ、Grδ分别表示槽间漏磁导。

根据划分规则，由磁场基尔霍夫定理得到节点方程组：

式中，A11和A44分别表示定、转子轭部磁阻矩阵；A22和A33分别表示定、转子齿部磁阻矩阵；A23表示定子磁阻与气隙磁阻的合成矩阵，A23=AT32；Φst和Φrt分别表示定、转子齿部磁通量矩阵。

图1 转子偏心电机MEC示意图

电机定子齿部和转子齿部还应满足如下关系：

式中：ψS和ψR分别表示定、转子磁链；MSψ和Mrψ分别表示定、转子磁链传输矩阵；FS和Fr分别表示定、转子齿部磁动势，均与电流相关。

FS和Fr可表示为：

式中：Mstmmf和Mrtmmf分别表示定转子绕组传输矩阵，与电机的连接方式有关[7]；IS和IR分别表示定转子绕组电流。然而，目前上述方程还无法求解，因为方程只描述了各个节点间的磁势关系而没有引入外部磁链方程。

定子磁链方程可表示为：

式中，VA、VB、VC分别表示三相绕组的电压，ψSA、ψSB、ψSC分别表示三相绕组的磁链，IA、IB、IC分别表示三相绕组的电流，RA、RB、RC分别表示三相绕组的电阻。

转子磁链方程可以表示为：

到此，感应电机的MEC方程已经建立完成，接下来将计算电机转子偏心下的气隙磁导，其中气隙磁导的计算是MEC模型的重点。

本研究中电机气隙并不均匀。由图1可知，在不同的空间角度，气隙长度不同。当电机转子出现混合偏心时，气隙长度可以表示为[2]：

式中：δs和δd分别表示静动态偏心率；g表示平均气隙长度；wr表示转子角速度；θ表示转子外圆机械角度。

最大气隙磁导率为：

式中：μ0表示真空磁导率；Smax表示定转子之间的最大重叠面积。于是，可得到混合偏心下气隙磁导率RG(i,j)：

θt´和θt取决于转子齿面宽度和定子齿面宽度[7]。当气隙磁导和电机的磁压降确定后，电磁转矩Te和径向电磁力Fx、Fy分别为：

式中：r和l分别表示转子铁芯半径和长度；Br和Bt分别表示径向和切向磁通密度，可以由麦克斯韦张量法结合气隙磁导率计算得到。

2 转子弯扭耦合模型

电机转子偏心系统可以被假设为Jeffcott转子模型[9]。整个系统中，系统受到的非保守力为阻尼力、不平衡磁拉力以及电磁扭矩。根据非保守系统的拉格朗日方程，得到转子系统的弯扭耦合振动方程为：

式中：m2表示转子集中质量；e表示总的偏心距；x和y表示转子的振动位移；θm表示转子扭转位移；J表示转子转动惯量；k表示转子轴弯曲刚度。

3 仿真分析

利用牛顿法求解电机MEC方程，并将每一步求解出的电磁转矩和不平衡磁拉力带入转子弯扭耦合方程，通过龙格库塔法求解该方程，最后得到机电耦合系统的动态特性。为了研究偏心程度对机电系统的影响，分别取e=0、e=0.1和e=0.2得到转子的振动特性和电机定子电流时域图，分别如图2和图3所示。

图2 转子振动特性

图3 定子电流时域图

由图2可知，随着偏心程度的增大，转子振动范围扩大。由于不平衡磁拉力非线性的影响，转子运动变得复杂。由图3可知，电机偏心使定子电流不呈标准的三角函数。电流顺滑程度与偏心距成反比，但总体影响较小。

4 结语

本文通过电机MEC方程和转子弯扭耦合的Jefcoot模型，建立了电机转子机电耦合动力学模型。结合牛顿法和龙格库塔法求解该动力学模型，得到了不同偏心程度对机电系统特性的影响结果。仿真结果表明，转子振动特性与偏心距之间并不是线性关系。这是因为随着偏心程度的加大，磁路接近于饱和，不平衡磁拉力不再增大，系统振动的剧烈性也逐渐减小。同时，通过研究发现，定子电流幅值受偏心的影响程度较小。