基于相参积累的捷变频雷达系统相位误差估计与稀疏场景重构算法

丁 逊, 张劲东, 王 娜, 王玉莹

(南京航空航天大学电子信息工程学院, 江苏 南京 211106)

0 引 言

相参捷变频雷达[1](frequency agile coherent radar,FACR)结合了捷变频和相参体制两大优势,一方面利用相参体制提供的信号相位信息来提高雷达对目标的分辨能力,另一方面通过捷变频技术快速切换雷达的工作频率使得雷达在电子对抗中获得优势。目前,实现FACR接收的手段一般通过直接数字式频率合成方法,但因其无法实现数千赫兹范围的跳频,为了实现大范围的调频避免大宽带的干扰,改用直接频率合成方法,然而该方法不可避免在各脉冲间产生随机初相,即系统相位误差,从而影响到目标回波信号的相参积累性能。如何实现对系统相位误差、目标距离和速度引起的脉间回波相位的精确估计以及获得良好的目标重构幅度性能,成为研究问题的关键。

由于FACR工作载频处于脉间跳频状态时,目标回波相位不仅受到目标雷达之间距离变化的影响,还受到载频捷变的影响,传统的延迟对消或快速傅里叶变换的多普勒处理方法与FACR回波已不再兼容,无法提取目标的多普勒信息。因此,在FACR中,需要采用高分辨率距离-多普勒联合处理的方式,同时提取雷达载频和距离变化带来的相位信息。麻省理工学院林肯实验室研究人员提出的Stretch处理方法[2]是步进频雷达高分辨距离成像的基本方法,其核心算法是利用逆离散傅里叶变换来实现匹配滤波的思想从而合成高分辨距离像。文献[3]提出一种扩展的Stretch方法,通过设计高分辨距离-速度二维匹配滤波器来联合估计FACR中高分辨距离和速度。文献[4]提出一种基于最大似然法的目标相干积累方法用于捷变频雷达中高速目标检测。文献[5]应用了Radon变换,相位补偿函数,Chirp-z变换和离散傅里叶变换来完成捷变频雷达中高速目标的相干积累。文献[6]根据载波频率将回波分为不同的脉冲群,然后采用keystone变换和尺度变换来消除捷变载频和慢时间所带来的残余相位耦合,完成目标的相参积累。上述基于匹配滤思想的方法优点在于整个计算过程都是线性运算,计算复杂度低,计算结果也比较稳定;缺点在于存在旁瓣平台较高,造成虚警,弱小目标被掩盖等问题。

随着压缩感知(compressed sensing,CS)理论[7]的迅速发展,利用目标在捷变频雷达高分辨距离-速度观测场景内具有明显的稀疏性,引入稀疏先验信息,有望对场景进行精确重建,从而抑制匹配滤波中的旁瓣问题。文献[8]通过挖掘场景的稀疏性,提出一种基于压缩采样的步进频雷达系统,探究了基于压缩采样的目标距离速度联合估计问题。文献[9]提出并行传输离散随机选择的频率,并用CS进行数据重建。文献[10-11]提出两种基于CS的步进频率连续波探地雷达,使用一组随机选择的频率来重建一维或二维稀疏目标,利用CS减少所需的频率数,以实现精确重构。文献[12]提出一种基于CS的随机频率合成孔径雷达成像方案,利用目标的稀疏性,仅发射少量的随机频率就足以重建目标,在保持距离和方位分辨率的同时,提高了有效的成像范围宽度。文献[13]提出将高分辨率逆合成孔径雷达(inverse synthetic aperture radar,ISAR)成像问题转化为正交基信号的重构问题,并基于CS理论给出交叉距离分辨率的概念上界。文献[14]提出一种新的速度估计和目标图像重建算法用于解决随机步进频ISAR雷达成像中的距离扩展问题。文献[15]提出一种捷变频雷达的认知机制,根据观测到的目标场景来自适应设计发射脉冲频率,提高CS算法的性能和追求更精确的目标重构。文献[16]提出一种相干自适应脉冲压缩算法,以抑制随机步进频雷达中距离维旁瓣以及解决高速运动目标带来的距离迁移问题。文献[17]等人提出基于高分辨率距离像的CS算法和一种新的最小1范数运动补偿准则,用于解决随机步进频雷达成像中的高旁瓣问题。文献[18]提出了交互投影技术用于捷变频雷达中高分辨率距离-速度联合估计,和匹配滤波算法相比,该方法能准确恢复出弱小目标,避免了弱小目标被旁瓣掩盖的问题。

针对雷达系统中存在的误差问题,相关文献也给出具体的研究。文献[19]详细探讨了在正交匹配追踪(orthogonal matching pursuit,OMP)算法中目标真实参数与离散网格点之间的格点误差问题,提出一种基于约束总体最小二乘的自适应匹配追踪算法来自适应进行网格格点的校正。文献[20]针对多输入多输出(multiple input multiple output,MIMO)雷达系统中存在的随机相位误差和载频偏差,分别提出期望最大化的稀疏成像算法和基于有界扰动的稀疏成像算法,同时针对网格失配,将基于Band-exclusion技术的改进型OMP算法引入MIMO稀疏成像,提出基于连续参数估计的稀疏成像方法。文献[21]提出基于连续稀疏重构的成像方法用于解决稀疏重构算法在雷达成像中的基失配问题。文献[22]提出一种用于随机步进频-ISAR相位补偿和图像自聚集的方法,该方法第一阶段是目标径向运动的参数化粗补偿,第二阶段是运动残差和雷达系统缺陷的非参数化精补偿。文献[23]提出一种基于加权最小二乘(weighted least squares,WLS)算法的相位误差估计方法,用于ISAR自聚焦应用,该方法在估计误差方差最小的意义上最优。文献[24]提出一种基于稀疏约束的ISAR方位自聚集算法,利用图像的稀疏特征建立相位误差下基于矩阵模型的最小1范数成像代价函数,通过数值迭代进行相位误差自适应估计,最终获得聚焦良好的ISAR图像。文献[25]从复图像领域出发,利用最小熵准则盲解卷积原理,通过多维搜索完成相位误差校正,同相位梯度自聚集算法相比,无需在图像域分离出强点目标,适用于无任何明显特征的图像。文献[26]基于WLS的最小方差准则,根据各个距离单元的相位方差的差异,提出一种加权最小熵的ISAR自聚集算法,权值系数的应用可以提高算法的收敛速度以及有效降低杂波和噪声对聚焦结果的影响。

由于系统相位误差导致FACR目标回波信号相位非相参,从而无法进行有效的相参积累,导致估计的目标散射强度精度不高。针对系统相位误差导致的FACR信号相参积累性能下降问题,本文考虑在FACR目标回波稀疏重构模型的基础上引入系统相位误差作为模型误差,通过建立最小1范数优化模型来实现对目标场景的二维稀疏表征。根据Kuhn-Tucker理论[27],即广义拉格朗日乘子的存在定理,将原目标函数和约束条件通过乘子项结合形成新的目标函数。借鉴文献[24]中稀疏约束自聚焦算法,对系统相位误差与目标稀疏解进行迭代求解。然而,该方法在不同信噪比下为了平衡场景稀疏度和原始信号估计误差精度,需要动态调整乘子项系数,以达到不等式约束中噪声门限的约束作用。为了充分利用噪声门限这一阈值,同时做到不同信噪比下自适应平衡求解,考虑对最小1范数优化模型进行辅助变量的引入,将不等式约束改写成含有辅助变量的等式约束,同时将噪声门限转价给辅助变量。其目的在于,一方面可以将原先的优化模型变成等式约束条件下的凸优化问题,进一步转化成无约束的增广拉格朗日函数形式,通过惩罚项的引入,提高待估计解的求解精度和速度。另一方面在利用一般形式的交替方向乘子法(alternating direction method of multipliers, ADMM)[28]框架进行各个类型变量的交替迭代求解过程中,对于目标稀疏解的更新可以借鉴ISAR相位自聚焦算法,但对于辅助变量的更新需要以噪声门限为阈值进行更新,以达到不同信噪比下场景稀疏度和原始信号估计误差精度的自适应平衡求解,相较于传统的ADMM算法框架,该步骤的更新思路更具有工程实践性。

1 捷变频信号相位自聚焦稀疏重构

1.1 系统相位误差观测模型

假设FACR脉冲初始载频为fc,第n个脉冲载频为fn=fc+dnΔf,n=0,1,…,N-1,其中n为脉冲序列号,N为一个相参处理间隔(coherent processing interval, CPI)内的脉冲个数,Δf为跳频间隔,dn为随机整数,被称为第n个脉冲的频率调制码字。则捷变频雷达发射的第n个脉冲表示为

(1)

那么对于距离为R,沿雷达视线方向的速度为v的目标回波可以写成:

(2)

式中，c表示光速。

在不考虑目标速度带来包络的位移情况下,对回波信号下变频处理后,根据基带信号形式,若为矩形脉冲信号则直接采样,若为线性调频信号则脉压后采样,采样时刻选择靠近目标最近的距离单元,即tn=2R/c+nTr,则得到目标在第n个脉冲回波信号为

(3)

式中,C(R,v)表示与目标速度和距离相关的目标后向散射幅度。

对于非全FACR而言,除了上述存在由目标的距离和速度引起的相位因子,还存在一个由于非数字跳频导致系统相位误差φn,满足[0,2π)内均匀随机分布,即

Sr(n)≈C′(R,v)exp[-j(dnp(R)+q(v)n+φn)]

(4)

式中,

(5)

考虑跟踪情况,即目标距离和速度可以先验获取,但存在一定的估计误差,无法满足精确补偿的要求。因此可以将目标区域和杂波区域进行分离,即可以忽略杂波的影响,即:

q(vl)n+φn]}+wn

(6)

将式(6)写成如下紧凑形式:

y=EFa+w

(7)

式中,a为散射目标在距离和速度维网格点上的形成的PQ×1维散射系数向量,w为加性噪声向量;y为目标所在的距离门参考单元观测数据,为N×1维向量,表示为

y=[y(0),y(1),…,y(N-1)]T

(8)

将目标观测场景距离维和速度维分别离散化为P,Q个网格格点，形成N×PQ维稀疏字典矩阵F,表示为

(9)

式中,导引矢量定义为

φl(n)=exp{-j[dnp(Rlp)+q(vlq)n]},

0≤lp≤P-1;0≤lq≤Q-1;0≤l≤PQ-1

(10)

式中,l与lp,lq的关系为:l=lp×Q+lq,lp=|l/Q|,lq=mod(l,Q)。

式中,E为N×N维系统相位误差矩阵:

E=diag(e)

(11)

式中,e的定义为

e=[exp(jφ0),exp(jφ1),…,exp(jφN-1)]T

(12)

1.2 基于稀疏重构的优化模型

稀疏重构理论利用信号的稀疏性,通过1范数最优化问题近似完美的重构出原始信号[29-30],由于目标在距离维-速度维强散射点个数有限,因此可以用强散射点近似表示目标距离-速度分布,利用二维场景的稀疏性,通过数学建模来求解系统相位误差,得到基于稀疏表征的目标距离-速度二维场景分布,分析式(7)观测方程和利用a的稀疏性,建立如下最优化问题:

(13)

1.3 相位自聚焦稀疏重构算法

根据Kuhn-Tucker理论,式(13)最优化问题可以转化为

(14)

上述目标函数包含了估计误差精度和场景稀疏度两种约束信息。其中,常数μ>0,用于平衡稀疏度和估计误差精度之间的关系,作用与ε相同。

(15)

式中,an为向量a中的第n个元素;(·)*表示取共轭操作;δ>0为非常小的量。

将式(15)代入式(14)中,目标函数改写成:

(16)

对目标函数求得a的共轭梯度函数为

(17)

式中,

(18)

共轭梯度函数的梯度代表目标函数f(a)的Hessian矩阵:

(19)

式中,

(20)

由式(19)中,等式右边第1项为半正定矩阵,第2项为正定矩阵可知目标函数的Hessian矩阵正定,则目标函数为凸函数,对于无约束的凸函数,其稳定点,局部极小点,全局极小点三者等价。

令共轭梯度向量等于零向量,求得a的递推表达式:

(21)

(22)

式中,

(23)

式中,[·]n表示取向量的第n个元素操作。

利用式(21)～式(23)可以得到a(t+1)以及E(t+1)的更新表示,则迭代终止条件设为

(24)

式中,ζ是设置大于零的常数门限值。当a和E的相邻两次估计满足式(24)或者满足一定的迭代次数时,停止迭代更新。ISAR相位自聚焦稀疏重构算法具体步骤如下所示。

算法 1 ISAR相位自聚焦稀疏重构算法输入:观测向量y,稀疏字典F输出:稀疏向量估计a^,误差矩阵估计E^步骤 1 记t为迭代次数,初始化t=0,初值a(0)随机生 成,初值E(0)设为单位矩阵。步骤 2 利用共轭梯度算法更新向量a: a(t+1)=FH(E(t))HyμW(a(t))+FHF步骤 3 利用式(22)和式(23)更新E: e(t+1)=[exp(jφ(t+1)0),exp(jφ(t+1)1),…, exp(jφ(t+1)N-1)]TE(t+1)=diag(e(t+1))ìîíïïïï步骤 4 若满足迭代收敛条件式(25)则算法终止,否则 令t=t+1,回到步骤2,继续循环。

2 基于ADMM的相位自聚焦稀疏重构

2.1 ADMM相位自聚焦稀疏重构算法

根据第1.3节所得到的相位自聚焦稀疏重构算法,考虑采用ADMM来实现稀疏向量a和相位误差矩阵E的交替求解。考虑到后续推导公式的简洁性,采用向量e进行替换,建立如下等价优化问题:

ei=ej2πk(i),0≤k(i)<1,i=0,1,…,N-1

(25)

根据ADMM算法框架,引入辅助变量β,将其变形为

β=Fa-e*∘y

ei=ej2πk(i),0≤k(i)<1,i=0,1,…,N-1

(26)

根据式(26)写成增广拉格朗日函数:

(27)

记u=(λr+jλi)/ρ,则式(27)可写成:

(28)

设a(t),e(t),β(t),u(t)为第t次ADMM迭代后取值,则更新步骤如下。

步骤 1更新a,此时e(t),β(t),u(t)可看作已知量:

(29)

(30)

一般代价函数的共轭梯度可以表示目标函数的收敛方向,求得梯度函数为

(31)

上述目标函数的Hessian矩阵与第1.3节一致,采用共轭梯度算法可求得a的解:

(32)

步骤 2更新e,此时a(t+1),β(t),u(t)可看作已知量:

s.t.ei=ej2πk(i),0≤k(i)<1,i=0,1,…,N-1

(33)

忽略常值部分,转化为

s.t.ei=ej2πk(i),0≤k(i)<1,i=0,1,…,N-1

(34)

因为式(34)中e中N个元素为所求变量,且相互独立,可将上述问题分解成N个子问题,记q(t)=β(t)-Fa(t+1)+u(t),则第i个子问题:

s.t.ei=ej2πk(i),0≤k(i)<1

(35)

(36)

s.t.ei=ej2πk(i),0≤k(i)<1

(37)

上述几何意义为求k(i)满足0≤k(i)<1,使得复平面两个向量夹角最小,则令

(38)

其中,arg(·)表示取相位操作,则k(i)的解为

(39)

(40)

步骤 3更新β,此时a(t+1),e(t+1),u(t)看作已知量:

(41)

(42)

步骤 4更新u,此时a(t+1),e(t+1),β(t+1)看作已知量:

u(t+1)=u(t)+β(t+1)-(Fa(t+1)-e(t+1)*∘y)

(43)

算法 2 基于ADMM的稀疏约束最优化相位自聚焦 算法输入:观测向量y,稀疏字典F输出:稀疏向量估计a^,相位误差向量估计e^步骤 1 记t为迭代次数,初始化t=0,给定随机生成的初值a(0),e(0),β(0),u(0)步骤 2 利用共轭梯度算法更新向量a: a(t+1)=FH[β(t)+e(t)∗y+u(t)]ρ-1W(a(t))+FHF步骤 3 利用式(39)更新向量e: e(t+1)=[e(t+1)0,e(t+1)1,…,e(t+1)N-1]T步骤 4 根据β(t+1)=Fa(t+1)-e(t+1)∗y来更新β: β(t+1)= εβ(t+1)-u(t)(β(t+1)-u(t)), β(t+1)-u(t)>εβ(t+1)-u(t), 其他ìîíïïïï步骤5 更新u: u(t+1)=u(t)+β(t+1)-(Fa(t+1)-e(t+1)∗y)步骤 6 若满足迭代收敛条件β(t+1)-β(t)2<ζ,ζ为足 够小的正数,则算法终止,否则令t=t+1,回到 步骤2,继续循环。

2.2 算法流程图

ADMM相位自聚焦算法流程设计中,针对各变量间相互独立,首先利用共轭梯度算法求解目标稀疏解向量a,接着在对系统相位误差向量e的更新中,考虑e中各元素彼此相互独立,进一步分解成单个元素问题的求解,进行辅助变量β的更新时以噪声门限ε为限制约束条件,从而保证不同信噪比下场景稀疏度和原始信号估计误差精度的平衡,重复交替迭代各个变量,直至达到算法终止条件,输出求解向量a和e。

图1 ADMM相位自聚焦算法流程图Fig.1 Flow chart of ADMM phase autofocus algorithm

3 仿真结果及分析

3.1 实验仿真及分析

本节设计仿真实验进行验证,在一个CPI内,FACR信号参数设置为:脉冲个数N=64,脉冲重复周期Tr=100 μs,脉冲宽度Tp=20 μs,基准载频fc=10 GHz,跳频个数64,脉间跳频方式采用伪随机遍历,跳频间隔Δf=16 MHz,合成带宽B=1 GHz,假设距离-速度维的观测场景中存在一个动目标,其距离参数R=118 m,速度参数v=10 m/s,目标的后向散射幅度A=10。相位误差采用随机相位误差形式。

ADMM算法参数设置:收敛门限ζ=10-3,二次项惩罚系数ρ依据不同信噪比下进行相应合理设置。相位误差矩阵E初值设为单位矩阵,β,a,u初值随机生成。

图2给出了在信噪比SNR=10 dB,系统相位误差随机存在时,直接相参积累和基于ADMM相位自聚焦稀疏重构的目标场景恢复对比图。可以看出本文所提方法通过对系统相位误差的自适应估计,实现了目标距离-速度的精确估计,同时提高了目标幅度的重构性能。由于利用目标场景的稀疏特征,显著降低了恢复场景的旁瓣水平。

图2 存在相位误差时目标场景恢复对比Fig.2 Comparison of target scene restoration with phase error

图3给出了不同信噪比下存在系统相位误差时直接相参积累和本文所提方法对比。可以看出本文所提方法在不同信噪比下都能获得良好的稀疏重构结果,原因在于本文方法可以根据噪声门限进行自适应平衡场景稀疏度与原始信号估计误差精度。同时可以看到,在不同系统相位误差下,直接相参积累随着相位误差的增大,目标幅度不断降低,而本文方法因能够进行系统相位误差校正,故目标幅度基本不随系统相位误差的变化而出现大的波动。

图3 不同信噪比下存在相位误差时目标重构幅度Fig.3 Target reconstruction amplitude with phase error under different signal to noise ratio

图4给出了基于ADMM的相位自聚焦稀疏重构算法在不同信噪比下的系统相位误差估计误差对比。由图 4可以看出,在信噪比一定时,该算法在不同系统相位误差下,误差估计精度基本不随系统相位误差的变化而出现大的波动。当信噪比改变时,会随着信噪比的提高,系统相位误差估计误差不断降低,即表明系统相位误差的估计精度不断提高,在信噪比20 dB,估计误差在2°以内。

图4 不同信噪比下系统相位误差估计误差Fig.4 Estimation error of system phase error under different signal to noise ratio

图5给出了SNR=20 dB时,不同系统相位误差下,本文方法与借鉴ISAR相位自聚焦算法对比图。可以看出,在目标重构幅度性能上本文方法优于借鉴ISAR相位自聚焦算法。

图5 本文方法与借鉴ISAR相位自聚焦方法所得目标幅度对比Fig.5 Target amplitude obtained by the proposed method compared with that obtained by ISAR phase autofocus method

图6给出了本文方法与借鉴ISAR相位自聚焦方法收敛情况,可以看出约10次迭代后,本文方法逐渐趋于收敛,而借鉴ISAR相位自聚焦约15次迭代才趋于收敛。且相比于借鉴ISAR相位自聚焦方法,本文方法在目标重构幅度误差上提高了10 dB左右。表1给出了两种方法的运算时间,可以看出本文方法在计算效率上也具有优势,运算时间减少一半。

图6 本文方法与借鉴ISAR相位自聚焦方法收敛曲线对比Fig.6 Convergence curve of the propsed method compared with that of ISAR phase autofocus method

表1 本文方法与借鉴ISAR相位自聚焦方法运算时间对比Table 1 Calculation time of the proposed method compared with that of ISAR phase autofocus method s

3.2 实测数据验证及分析

本部分通过实测数据以验证本文所提方法的有效性,对某型雷达对海捷变频数据进行处理,根据跟踪给定的目标距离和方位截取出某些目标区域,该数据为捷变频波形对海辐射数据,系统参数为:X波段,基带瞬时带宽45 MHz,捷变频点数为8。图7给出了对海观测数据的处理结果图,可以看出,采用本文方法进行相位误差补偿后,场景中各个目标的恢复效果相比于非相参积累更加明显。图8给出了位于第775～776个距离门上的目标积累幅度对比情况,可以看出,相位补偿后的相参积累目标幅度远高于非相参积累下的目标积累幅度,表明本文的算法能够进行相位误差的校正。

图7 非相参积累和相参积累场景恢复对比图Fig.7 Comparison of incoherent accumulation and coherent accumulation scene recovery

图8 非相参积累和相参积累下目标积累幅度对比Fig.8 Comparison of target accumulation range under incoherent accumulation and coherent accumulation

4 结 论

本文针对捷变频相参雷达系统相位误差导致回波信号相参积累性能下降问题,结合相位自聚焦与ADMM算法,提出了一种系统相位误差校正与目标场景稀疏重构联合处理算法。建立了系统相位误差和目标稀疏解相互独立的最小1范数稀疏重构优化模型,利用所提出的算法实现了系统相位误差和目标参数的精确估计。仿真结果表明,该算法在信噪比为20 dB的情况下,系统相位误差估计误差在2°以内,且相比于相位自聚焦稀疏重构算法,目标的重构幅度均方差可以提高10 dB,运算时间减少一半。最后通过实测数据验证了本文方法的有效性。