借力多维探究助跑高三数学复习

摘 要：“一题多解”教学对提升数学核心素养，提升解题能力起到促进作用.“一题多解”教学是高三数学教学的重要组成部分，“一题多解”教学应该通过发现、分析、启发、探究等课堂活动培养学生的思维方法 ，从而达到培育核心素养的目的.

关键词：核心素养;一题多解;深度学习

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2021）36-0016-02

新课程标准强调高中数学教学要以培育数学核心素养为任务驱动，启发学生思考，引导学生理解知识的本质和内在联系，体现数学教育的功能.它引领着新课程改革以及教育教学方式改革.高三是学生最后冲刺备战高考的重要阶段.高三知识点多，综合性强，题目变形纷繁复杂，解题方法千变万化，对学生的思维要求很高.在高三的课堂教学中如何增效提质，如何让核心素养落地决定高考的成败.笔者发现“一题多解”教学对提升数学核心素养，提升解题能力起到促进作用.“一题多解”教学是高三数学教学的重要组成部分，“一题多解”教学应该通过发现、分析、启发、探究等课堂活动培养学生的思维方法 ，从而达到培育核心素养的目的.

本文以高三教学中的两道适合我校生情的试题为例，谈谈“一题多解”教学的实践与探析

一、例题分析

1.用“一题多解”梳理整合知识，发散学生思维

例1 在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知csinB+C2=asinC.

（1）求角A;（2）若b=4，△ABC面积为33，D是BC上的点，AD平分∠BAC，求AD.

本题主要考查正弦定理、角平分线性质、三角形的面积公式和三角恒等变换等基础知识.考察逻辑推理能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，体现基础性和综合性.有较大的研究空间和教学价值.第（1）小题：这是解三角形问题中常见的利用正弦定理边化角问题.主要考查正弦定理，三角诱导公式，二倍角公式以及三角恒等变换.本题用三种方法解决问题，可以让学生进一步熟悉边角互化这个通法，同时引导学生回顾三角恒等变形需要储备的知识，构建知识体系，训练思维，培育素养.解法1把B+C转化为π-A，进而转化为关于角A的恒等变形.解法2中由sinB+C2=sinA引发的分类讨论需要学生具有一定的逻辑推理能力，通过该题达到提升核心素养的效果.解法3思路基本和解法1一致，目标都是转化成同角进行恒等变形，把角A转化为B+C，通过求B+C间接求出角A.通过三种方法的解答实践，优化解题过程，梳理、整合知识，培育逻辑推理和数学运算的素养.第（2）小题：本题主要关注∠BAC的角平分线的使用策略：解法1将大三角形拆分成2个小三角形，利用角平分线定义，根据面积关系建立等量关系.解法2仍然利用角平分线定义，将角C放在不同的三角形中通过两次余弦定理，建立等量关系.解法3利用坐标法把点坐标全部表示出来，根据B，C，D三点共线，利用斜率公式建立等量关系.解法4着眼于角平分线重要性质得到对应线段成比例.进而通过基底法，把AD用AB与AC表示出来.利用向量的数量积的性质（a=a2）求向量的模长.坐标法中选用的是单位正交基底，运算相对简洁.基底法中基向量更具一般性，适用范围更广.

通过本题让学生感受解题方法的多样性.教师以知识间的相互联系引领学生思考，通过层层设问，激发学生自主探究的兴趣，使学生的学习由表层走向深度.这有助于发展学生核心素养，培育学生的创新意识.

2.用“一题多解”优化解题过程，培养创新意识

例2 a，b，c为单位向量，a·b=0，求（a-c）·（b-c）的最小值.

解法1直接利用平面向量数量积运算律中的分配律展开，根据展开式把（a-c）·（b-c）的最小值转化为求c与a+b数量积的最小值，再根据平面数量积的定义进一步转化为求c与a+b夹角余弦的最小值，根据三角函数的有界性得出当夹角的余弦等于1时，所求最小.此法充分体现了化归与转化的思想，培养了学生逻辑推理的数学核心素养.坐标法是平面向量中的一种重要方法，可以把向量运算的问题转化为函数与方程的问题.当条件给出两个垂直的单位向量时，那么建立平面直角坐标系显得合理科学，利用坐标法解决问题有时候会快速有效.方法2、3、4都是在坐标法的背景下将（a-c）·（b-c）转化为含x，y二元变量的目标函数1-（x+y）.方法2利用基本不等式求x+y的最小值，方法3利用三角换元，则目标函数的最值问题就转化为三角最值问题.方法4利用线性规划，得到特殊位置相切时，目标函数取得最值.此法给代数赋予几何直观，通过数形结合的思想培育直观想象的核心素养.

在《平面向量》的学习中，灵活掌握向量的三种转化方法（向量法，坐标法，数形结合法）能起到事半功倍的作用.

二、感悟

1. “一题多解”是一个归纳总结，交流合作的过程数学解题活动的过程，本质就是学生思维活动的过程.在“一题多解”的课堂实践中教师以知识为载体积极引导学生对问题展开分析，促进激发小组交流合作，比较各个方法优缺点，寻找最优解的过程.对于一个数学问题，从多角度探究，一题多解，一题多变，从通性通法到特殊技巧，从大胆猜测到小心求证，从嚴谨的逻辑推理到几何直观，方法多样不唯一，不仅能够发散学生的思维，培育思维的开阔性，还能有效发展学生的数学深度学习能力达到培育核心素养的目的.2. “一题多解”是一个追根溯源，自主探索的过程

在探究“一题多解”解决路径的过程中，教学中一些重要的问题学生也渐渐明朗清晰起来：1）条件中关键词的数学基本概念是什么;2）这类问题的基本解题策略，基本步骤是什么;3）有的方法可以直达，有的方法为什么堵死;4）如何根据自身学习特点找到最适合的思维方法;5）利用等价转化的数学思想如何将复杂问题简单化，陌生问题熟悉化.

三、反思

1.“一题多解”教学要关注学生的差异性.

教师在“一题多解”教学中密切关注学生的差异性，不要让这堂课成为少数优等生的课堂.让每一个学生通过不同思维层次的问题都能够积极参与到教学活动，提高教学实效性.例如，案例1的第二小题解法1和解法2比较基础，大部分同学可以领悟.解法3由于对学生的数学运算能力有一定的要求，不需要所有同学都掌握.解法4向量基底法作为有效工具，往往可以快速解题，还是要求优等生、中等生掌握.这样各个层次的学生都能各取所需.所以，“一题多解”教学要求老师要真正做到分层次教学.

2.“一题多解”教学要让出独立运算的体验.

教师在“一题多解”教学中，每一个解法都要讲清楚思路，但不止于此.如果学生没有深入地将数学运算进行下去，就没有获得感.数学运算是重要的数学核心素养之一，好的数学运算能力不是靠教师“讲出来”，而是靠学生独立地“算出来”.所以教师必须留给学生足够的时间独立运算.当学生运算错误时，教师要耐心包容，鼓励学生反复检查，坚持算出最后结果.教师在运算技巧上也要给予一定的指导，这对于提升运算效率有大的帮助.因此，学生获得独立运算的体验，对自身的数学运算核心素养有很大的提升.

3.“一题多解”教学要让出自我反思，感悟提升的机会

“一题多解”不是教师“满堂灌”，不是教师一个人的狂欢.在“一题多解”课堂，教师要引导学生对解题方法进行归纳和总结，引导学生思考探索的路径和方向“这道题的题眼在哪里、解题策略是什么、怎么想到的、有没有陷阱、處理哪类问题可以这么解决、会用到哪些数学思想方法”等，通过学生自我反思，会发现自己解题方法的局限性，进而感悟提升，采用更优解题方法，数学思维得到拓展升华.

总之，“一题多解”教学应该贯穿整个高三教学始终.作为一线教师，在平时的教学实践中要善于观察，勤于思考.多归纳，多总结，全面提高自己的业务能力，才能更好地开展“一题多解”教学.在平时教学实践中要站在“立德树人”的高度，不遗余力地践行以培育核心素养为目标的教学理念，以达到更好地服务于学生终身发展地需要.

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[4]范东晖.入乎其内，出乎其外——让习题教学更有效[J].中学数学教学参考，2018（11）：47-49.

[责任编辑：李 璟]

收稿日期：2021-09-25

作者简介：王妍（1982.3-），女，福建省福州人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.