实践推理：从信念和愿望应该形成什么目标

张炎

1 引言

实践推理是关于如何行动的推理。日常生活实践给我们提供了成百上千的这类例子，比如，考虑这个周末该做什么，是去公园散步还是在家写文章。相比理论推理一般需要经过长期训练才能良好的掌握，实践推理似乎是人们与生俱来的，可以说它是人们最擅长的推理形式。尽管如此，至今为止却仍没有一个完整的实践推理理论。导致这种现象的部分原因可能是多个学科，比如，哲学、逻辑、人工智能等，从不同的视角研究实践推理，类似于盲人摸象，尽管每个学科都获得了部分真理，但却无法把它们综合整理成一个完整的理论。鉴于实践推理的复杂度及其涉及范围的广度，在[22]中，Thomason 把实践推理研究划分成为了六个子问题，包括目标推理、从目的到手段的推理、偏好推理等。

本文探讨实践推理中目标推理的问题，试图发现一个理性的主体从她的信念和愿望应该形成什么目标。尽管当今学界有很多探讨实践推理的工作，比如[2,9,13] 等，但研究目标推理问题的工作却为数不多。[20] 和[21] 是在这方面非常有趣的尝试，它们以缺省逻辑（[12,18]）为基础，并试图用缺省规则表示愿望，用缺省规则上的优先序表示愿望间的偏好。1传统的缺省逻辑是为了表示信念而设计的逻辑，而命令、愿望上的优先序与信念上的优先序是存在区别的。这使得把传统缺省逻辑直接运用于实践推理会导致的次序之谜（the Order Puzzle）。在[6,7]中，Horty 通过修改传统缺省逻辑优先序的应用方式，从而尝试解决次序之谜，但其解决方案仍存在争议。除了次序之谜外，缺省逻辑直接运用于实践推理还存在其它的问题。在现实场景中，时常存在多个较弱的理由合在一起强过一个比它们单独更强的理由，但缺省逻辑却没法很好地表示这种情景。因为它总是选择优先的缺省规则，即使存在多个次优先的规则与它矛盾。这个问题在[7]中被称作理由聚合（Reason amalgamation）问题，它在这篇文章中带数值函数的模型上可以得到部分的解决。本文从更基本的视角出发，讨论一个理性主体从信念和愿望形成目标的基本逻辑标准，并非预设缺省逻辑机制对该问题的合理性而直接加以应用。本文由简到繁、循序渐进地分析目标形成的基本标准，并根据这些标准构造出形式化的目标形成理论。这项工作的意义至少有以下两个方面：第一、通过讨论基于信念和愿望的目标形成的标准，为将来设计信念、愿望和目标的逻辑奠定了理论基础；第二、把目标作为衍生的而非原始给定，有助于人工智能中设计基于愿望的自主智能体，而非只是基于给定目标的人工智能体。

在本文余下的部分中，第2 节给出了由信念和愿望构成的基础模型，并探讨了基于它们形成目标的基本标准。因为一个主体不同愿望可能存在强度和等级的差别，所以接下来在基础模型之上引入了采用数值和排序这两种方式表示主体愿望的差别。第3、4 节分别探讨增加了采用数值方式表示愿望强度的数值拓展模型和增加了采用排序方式表示愿望等级的排序拓展模型。第5 节把这两种表示愿望强度方式融合到一起构成混合拓展模型。第6 节证明了混合拓展模型中目标形成的两个基本定理。最后一节总结全文并给出进一步的研究方向。

2 基础模型

这节中的基础模型由信念集和愿望集构成。前者表示主体的信念，它通常是一致的，即不包含矛盾。后者愿望集由主体的愿望构成，它与信念集不同，在给定的信念下通常是不一致的。比如，一个主体可能既想减肥，却又不愿意做运动且实行合理的饮食。尽管愿望集通常是不一致的，但基于它们形成的目标集却必须是一致的，因为不一致的目标是无法完成的。因此，这里的主要任务是，如何从给定的信念集和通常不一致的愿望集，获得合理的一致目标集。

为了弄清楚什么是合理的目标集，我们来看一看下面这个例子。

例1.张三的愿望和信念：

· 张三有三个愿望，分别是看电影、美餐一顿和买一本书。

· 但是，他身上的钱只够看电影和美餐一顿，或者只是买书。

在这个例子中，张三无法实现所有的愿望，从而只能退而求其次，要么选择看电影和美餐一顿为他的目标，要么单独选择买书为他的目标。无论最终选择的目标是看电影和美餐一顿还是买书，它们都是最初愿望集的子集。也就是说，目标是从愿望中挑选出来的。然后，之所以张三不应该同时选择三个愿望为目标，是因为根据他的信念，这是不可能实现的。换而言之，所有目标在背景信念下是可能实现的，即实现目标与背景信念一致。在[2]中3.4 节，Bratman 在探讨意图和信念之间的关系时做出了类似的要求，一个主体的意图与背景信念需要是一致的，否则她是不理性的。最后，张三为什么没有只选择看电影或是美餐一顿为目标呢？因为通过同时选择看电影和美餐一顿为目标，张三能实现更多的愿望。因此，根据这里的分析可以得到下述标准。

标准1.目标形成至少要遵守下述三个条件：

1.目标是对愿望有选择的实现。

2.实现目标与背景信念是一致的。

3.在不违反条件1 和2 的前提下，要尽可能多的实现愿望，即目标集要相对于1 和2 是极大的。

这里的基本想法与[23]中最后一节中道义逻辑的想法非常类似。那里是从一系列祈使句生成应该，祈使句之间允许冲突而无法同时实现，而这里从一系列愿望形成目标，且愿望之间可能有冲突而无法都实现。前者要求被满足的祈使句是极大一致的，而相对应地，这里要求被满足的愿望是极大一致的。2不过，[23]中应该算子是对逻辑后承封闭的，从而并非初始祈使句的子集，而此处的目标集是愿望的子集而不对逻辑后承封闭。因为区分目标和它们的逻辑后承有时是重要的，比如，前者可以作为规划的输入，而后者却不行。

为了把上述想法形式化，我们引入一种形式语言L，并用它中的公式表达信念和愿望。因为之后的讨论不依赖于语言L的具体形式，所以这里不确定具体的形式语言，但要求语言L中推演关系⊢是有定义的。鉴于推演是逻辑中最基本的概念，所有常见的逻辑语言都满足这个要求，比如，命题语言、一阶语言以及模态语言等。L中的一个公式集A是一致的当且仅当并非A ⊢⊥，即从A不能推演出矛盾命题。根据上述的标准，目标形成可以如下形式化。

定义1.一个基础模型是一个有序对〈B,D〉，其中B是表示信念的L中公式集且D是表示愿望的L中公式集。对L中任意公式集G，G是基础模型〈B,D〉的一个目标集当且仅当

1.G是D的子集；

2.B ∪G是一致的；3严格地说，这里形式化的是“目标与背景信念一致”，而并非“实现目标与背景信念一致”。这两者并不完全相同，因为有时一个主体相信可能的却是不能实现的，比如，我可能相信明天会下雨，但明天下雨并不是我可实现的。若要更精确地形式化“实现目标与信念一致”，可以考虑在形式语言中引入cstit 算子，然后把“实现目标与信念一致”形式化为“B ∪{[α : cstit]φ : φ ∈G}是一致的”，这里的α 表示形成目标的主体。有关cstit 算子的介绍，参见[5]中第二章。

3.不存在G′ ⊆D使得G ⊂G′且B ∪G′是一致的。

上述定义中值得注意的一个特点是，如果信念集B自身是不一致的，那么条件2 则无法满足，从而无法产生任何目标集。从直观上看，这是非常合理的，因为若主体自身信念不一致，那么她对现实的理解则是存在偏差的，从而不应该基于该信念去设定任何目标。另一个值得注意的是目标集可能并不唯一，比如上述例子张三的愿望。对于这种情况，若这些目标集都是同等可接受的，那么主体只需从中任意挑选一个即可；若它们不是同等可接受的，那么就需要她从中选出最好的目标集。在这些目标集中进行选择，需要主体能区分它们的好坏。但基础模型中并不包含愿望间偏好的信息，所以下面对基础模型进行扩充以增加主体对愿望的偏好，并采用数值和排序的两种方式来表示。最后，若主体无法获得更多的偏好信息但又必须做出选择时，那么她能做的只能是从中任意挑选一个，这种思考方式对应常识推理中的大胆推理（brave reasoning）模式。

在进一步拓展基础模型之前，这里需要对这篇文章中信念与愿望模型刻画的对象先做三点说明：一、这篇文章刻画的是一个理性的主体4这里假定理性的主体都是理想的推理者。对这一假定的辩护，参见[19]。根据她当下的信念和愿望应该选择哪些愿望作为目标，也就是说，本文探讨目标形成的规范性理论，而非描述性理论。规范性理论规定一个理性的主体应该如何选择，而描述性理论描述现实中的主体是如何选择的。它们通常并不重合，因为现实中的人们并非理想的推理者，可能无法发现信念、愿望之间的矛盾，并时常做出非理性的选择。二、这篇文章中的形式模型预设一个理性主体在当下的信念和愿望是事先确定不变的，并不刻画信念和愿望的动态变化。从这个角度来说，这篇文章中的模型类似于决策论中的决策模型和博弈论中的静态博弈模型，并不直接考虑时间次序的因素。尽管文中模型表示的信念和愿望都是主体当下的，但如果形式语言L可以表达时间，比如，时态语言、一阶语言等5实际上，最简单的命题语言也可以表达关于将来的命题，尽管它不能直接表达关于时间的概念。例如，可以约定p0,q0,...表示关于当下的命题，而p1,q1,...表示关于明天的命题等等。，那么主体当下的信念和愿望可以是关于未来的并有时间次序的，比如，我明天不需要去学校，但后天需要去学校，我想今天休息，而明天写文章等。不仅如此，一个主体对她愿望的偏好可以隐含地涉及实现愿望的方式和实现愿望之后的事态。例如，我偏好买100 元的鼠标超过买500 元的鼠标，因为它们对我来说功能类似，但后者却要花费更多；我偏好今晚写文章超过休息，因为明天是文章提交的截止日期，但如果我考虑的时间维度不超过今天，那么会偏好今晚休息超过写文章，因为工作一天后已经很累了。最后，这里考虑的愿望是相对独立的，一个主体完成一个愿望不是为了完成她当下其他的愿望。三、遵循[22]中把实践推理划分为子问题的研究方案，这里只考虑目标推理问题，即从信念和愿望应该形成什么目标，而不考虑从目的到手段的推理问题，即完成目标应该采用什么手段。这种分开单独考虑目标推理和从目的到手段推理的研究方案，不仅简化了理论研究，而且一定程度上是符合人类实践的。在[2]中，Bratman 认为人们会尽可能地减少或是推迟进行从目标到手段的推理，因为该过程通常是十分耗时耗力的，同时，外部环境的不断变化使得过早定下的计划之后可能并不适用。因此，我们时常会进行较为抽象的目标推理，却不进行细致的从目标到手段的推理。例如，在周四时，我思考这个周末如何度过，是在家工作还是去景点散心放松？考虑到这周工作已经很累了，我更偏好去景点散心，因此选择周末散心为目标。当做出这个选择时，我既未考虑具体去什么景点散心，什么时间出发，采用什么交通方式，也未考虑如果选择工作的话，我具体做什么工作，是写文章还是备课等等。

根据上文的说明，这篇文章探讨的信念和愿望模型与规范决策论中的决策模型有着重要的几点相似之处，都属于规范性理论且都不直接表示时间上的次序关系；另外，这里的模型不考虑完成目标的具体手段，而决策论模型尽管包含了行动，但是它们只是被抽象地看成从状态到结果的函数，也不考虑实施行动的具体方案。这篇文章中形式模型与决策论模型不同的是，它们将采用数值和排序的方法共同表示主体的偏好，而非如决策论模型中仅有数值的方式。在[24]中，Weisberg 认为人们在实践推理中极少采用决策论中最大期望效益规则，而是采用更加经济的定性原则来比较不同的选择，比如字典序比较。这篇文章在一定程度上可以看成是对此类想法的严格形式化表达的一种尝试。

3 数值拓展模型

本文余下部分讨论如何扩充基础模型，从而包含主体对愿望的偏好以便在基础模型的目标集中进一步地选择。表示愿望偏好的方式主要有两种：第一种是数值的方式，给每个愿望赋予一个数值以表示主体对它的愿望强度，愿望强度越高的愿望赋予的数值越大；第二种是采用排序的方式，对所有的愿望根据它们的优先等级进行一个排序，排序中优先的愿望等级更高。

这节先讨论如何进行数值方式的扩展，然后下一节讨论如何进行排序方式的扩展。类似于决策论中采用效用函数表达结果的效用，这里的数值扩展在基础模型上增加一个愿望函数u，它给每个愿望d赋予一个正实数6愿望是主体想到达成的，这里不是进行利弊权衡，而是在不同愿望间选择最好的，即“在好的中挑最好的”，所以只用正数代表主体愿望的强度。u(d)表示主体对d的愿望强度。7[10]探讨了如何采用数值方式表达偏好，但与这里不同的是[10]中的数值是赋给可能世界和事件，而非这里的公式。除此之外，它还探讨了偏好的动态变化等其它一些有趣的问题。如果主体需要在多个愿望之间进行选择，那么她应该选择愿望值大的那个愿望。对于愿望集D的愿望值的计算，这里采用相加规则8此处的相加规则预设主体的愿望满足一些基本前提，比如，愿望的独立性、愿望间不存在严格的等级差别等，参见[15]中5.4 节。：令它为D中所有元素的愿望值之和，即u(D)=u(d)。当主体需要在多个愿望集之间进行选择时，她应该选择愿望值最大的那个愿望集。因此，我们可以总结为下列标准。

标准2.目标形成需要遵守下述条件：

1.目标是对愿望有选择的实现。

2.实现目标与背景信念必须是一致的。

3.不存在比目标集的愿望值更大的愿望子集与信念是一致的。9一个更完善的条件除了考虑愿望值外，也许还需要考虑完成愿望的代价。比如，一个主体有换电脑和换鼠标两个愿望，尽管她更想换电脑，但她却很可能选择换鼠标，因为换电脑的花费要比换鼠标高很多。若要完整地引入关于代价的计算，则需要进一步扩充模型，比如，增加完成愿望的行动、相应的公式表示行动的结果以及对行动赋值的代价函数等。但这将使得形式模型复杂许多，超过了本文的探讨范围，有兴趣的读者可参考[21]，之中Thomason 尝试设计了结合信念、愿望和规划的形式系统。对于这篇文章中的模型，可以考虑采用如下方式部分地刻画代价：若完成愿望d 的代价是c，那么把它的否定¬c 放到愿望集D 中，并对¬c 赋予适当的愿望值使得，对愿望d 和代价c 的比较，可以转换成比较u(d)和u(¬c)的大小。

下面我们举例说明如何得到满足上述标准的目标集。

例2.张三的愿望和信念：

· 张三有三个愿望，分别是看电影、美餐一顿和买一本书。

· 他对这三个愿望的赋值分别是5，7 和10。

· 但是，他身上的钱只够看电影和美餐一顿，或者只是买书。

与例子1 类似，这个例子中张三仍然无法实现所有的愿望，只能要么选择看电影和美餐一顿为他的目标，要么单独选择买书的愿望为他的目标。但与例子1不同的是，此时根据张三对这三个愿望的赋值和相加规则，实现看电影和美餐的愿望值是12，而单独实现买书的愿望值是10。因此，他应该选择看电影和每餐一顿为他的目标。

下面把上述想法形式化，给出数值拓展模型和它之上目标集的严格定义。

定义2.一个数值拓展模型是一个三元组〈B,D,u〉，其中〈B,D〉是一个基础模型，且u是一个从D到正实数集R+的愿望函数满足。对任意。对L中任意公式集G，G是数值拓展模型〈B,D,u〉的一个目标集当且仅当

1.G是D的子集；

2.B ∪G是一致的；

3.不存在G′ ⊆D使得u(G)＜u(G′)且B ∪G′是一致的。

尽管上述定义没要求G是满足条件1 和2 中相对子集关系极大的，但从上述定义中条件3 可以证明它是成立，从而数值拓展模型的目标集是它中基础模型的目标集。注意，下列命题依赖于愿望值是正数和相加规则。

命题1.如果G是〈B,D,u〉的目标集，那么G是〈B,D〉的目标集。证明.假设G是〈B,D,u〉的目标集。显然有G是D的子集且B ∪G是一致的。下面反证法证明定义1 中条件3：设存在G′ ⊆D使得G ⊂G′且B ∪G′是一致的。那么G′-G/Ø,从而u(G′-G)＞0,所以u(G′)=u(G)+u(G′-G)＞u(G)。因此，存在G′ ⊆D使得u(G)＜u(G′)且B ∪G′是一致的。根据定义2 中条件3，这与G是〈B,D,u〉的目标集矛盾，故反证法假设不成立，即不存在G′ ⊆D使得G ⊂G′且B ∪G′是一致的。所以G是〈B,D〉的目标集。

4 排序拓展模型

虽然采用愿望函数的数值拓展方式简单明了，但却不适用于愿望间存在等级区分的情况，即无论完成多少低等级愿望都无法取代一个高等级愿望。对于这种情况，这节引入排序拓展模型，它在基础模型上增加一个优先序来表示愿望间的等级区分，优先序越高的愿望等级越高。当主体需要在愿望间选择时，她应当选择优先序高的愿望。但当主体形成目标时，她通常需要在愿望集之间而非愿望之间做出选择，所以这里需要一个类似上节中加法规则的方法，从愿望间的优先序生成愿望集间的优先序。当主体需要在愿望集间进行选择时，她应该根据生成的优先序选择更优的愿望集。也就是说，排序拓展模型中形成目标应该遵循下列标准。

标准3.目标形成需要遵守下述条件：

1.目标集是愿望集的子集。

2.实现目标集与背景信念是一致的。

3.不存在比目标集更优的愿望子集是与信念一致的。

下面举例说明如何得到满足上述标准的目标集，并对上述标准中第3 条中“更优”概念进行进一步地阐述。

例3.张三的愿望和信念：

· 张三有三个愿望，分别是看电影、美餐一顿和买一本书。

· 不过，张三是一个特别爱读书的人，把买书愿望排在最优先，之后才是美餐和看电影且它们属于同等级别。

· 张三身上的钱只够看电影和美餐一顿，或者只是买书。

与例子1 类似，这个例子中张三也只能要么选择看电影和美餐一顿为他的目标，要么单独选择买书的愿望为他的目标。但与之前例子1 不同的是，此时根据张三对愿望的优先级，实现买书严格优于美餐和看电影。也就是说，对于张三，单独实现高级别愿望买书比同时现实两个低级别的愿望看电影和美餐更好。因此，他应该选择买书为他的目标。

一般地说，一个优先序高的愿望要好过任意多个优先序低的愿望之和。这意味着，一个愿望集D中某些愿望E，被不在D中的某些愿望E′替换后得到D′=(D-E)∪E′，如果E′中某个愿望的级别高于E中所有的愿望，那么替换后的愿望集D′则优于原始愿望集D。这个从愿望间优先序生成愿望集间优先序的方式是对[4]中在优先序为有穷线序情况下字典序定义的一种扩展。这里只要求愿望间的优先序是一个弱线序关系，从而允许存在无穷个愿望等级且每个等级的愿望不唯一。同等级愿望不唯一是常见的情况，同时也给予了下一节中数值扩展的空间和必要性。下面把上述想法形式化，给出排序拓展模型和它之上目标集的严格定义。

定义3.一个排序拓展模型是一个三元组，其中〈B,D〉是一个基础模型，且是D上的优先序，它是一个弱线序关系10一个关系是弱线序当且仅当它满足自返性、传递性和可比较性。。

对任意d,d′ ∈D，d～d′表示且d′ d，d ≺d′表示且并非d～d′。即：～是D上的等价关系，而≺是严格偏序。对任意E,E′ ⊆D，E◁E′当且仅当存在e′ ∈E′使得对所有e ∈E,e ≺e′。下面的定义把愿望间的优先序扩展到愿望集间的优先序。注意，这个定义并不依赖于模型中的信念集B。

定义4.对任意排序拓展模型和任意E,E′ ⊆D，E ≺E′当且仅当存在F ⊆E ∩E′使得E-F◁E′-F。

根据上述定义易见，d ≺d′当且仅当{d} ≺{d′}。这表明上述定义把愿望间的优先序扩展愿望集间时，对愿望间的优先序关系是保持不变的。[11]中的第四节定义了如何从命题间的优先序生成可能世界之间的好坏关系，而这里是从命题间的优先序生成命题集间的优先序。因为命题集不一定是与可能世界相对应的极大一致理论，所以两者的表达形式并不相同。另一个区别是[11]中优先序是严格偏序，不同于此处的弱线序。尽管如此，在线序上这里的定义与[11]中第四节的定义是可以相互转换的。11令G 为[11]中定义在可能世界上的关系且定义≺G 如下：对任意可能世界w,u，w ≺G u 当且仅当w G u ∧¬(u G w)。对于任意可能世界w，令V(w)为w 上为真的公式构成的集合。我们可以如下转换这两种定义：w ≺G u 当且仅当V(w) ≺V(u)；D ≺E 当且仅当存在可能世界w,u 使得V(w)= D，V(u)= E 且w ≺G u。下面根据这节中目标形成标准形式化排序拓展模型上目标集的概念。

定义5.对L中任意公式集G，G是的一个目标集当且仅当

1.G是D的子集；

2.B ∪G是一致的；

3.不存在G′ ⊆D使得G ≺G′且B ∪G′是一致的。12此处的目标集和带优先序的缺省理论的扩张（extension）存在下列对应关系。对任意排序拓展模型〈B,D,〉，如果≺是一个具有良基性的严格线序，构造带优先序的缺省理论〈W,D,◁〉如下：· W= B，· D= {: φ ∈D}，

· ◁={:〈φ,ψ〉 ∈≺}。

我们有，对任意公式集G，如果G是的目标集，那么{φ:B ∪G ⊢φ}是〈W,D,◁〉的一致的扩张；对任意公式集E，如果E是〈W,D,◁〉的一致的扩张，那么E ∩D是的目标集。有关带优先序的缺省理论的扩张定义，参见[12]的第3.8 节。

类似于数值拓展模型，上述条件3 可以推出G是相对条件1 和2 极大的，从而排序拓展模型的目标集是它中基础模型的目标集。

命题2.如果G是的目标集，那么G是〈B,D〉的目标集。

证明.设G是的目标集。显然G是D的子集且B ∪G是一致的。下面反证法证明定义1 中条件3：设存在G′ ⊆D使得G ⊂G′且B ∪G′是一致的。那么G′-G/=Ø,从而G-G=Ø ◁G′-G，根据定义4，G ≺G′。所以存在G′ ⊆D使得G ≺G′且B ∪G′是一致的。根据定义5 中条件3，这与G是的目标集矛盾，故反证法假设不成立，即不存在G′ ⊆D使得G ⊂G′且B ∪G′是一致的。因此，G是〈B,D〉的目标集。

5 混合拓展模型

前面两节分别探讨了数值和排序拓展这两种方式，前者适用于愿望间无等级差别的情况，而后者适用于愿望间存在等级差别的情况。因为这两种方式适用的情景恰好是互补的，所以它们可以很自然地结合在一起。这节探讨这两种方式结合后产生的混合拓展模型，它在基础模型之上同时增加了愿望函数和优先序关系，前者表示愿望强度，而后者表示愿望间的等级。尽管混合拓展模型由愿望函数和优先序关系简单地结合产生，但它之上目标集概念却不能由数值拓展模型和排序拓展模型上目标集概念的简单组合而构成。这是因为数值拓展模型中使用的相加规则，即u(D)=，不适用于包含不同等级愿望的愿望集，从而无法通过数值的方式直接比较它们。尽管如此，这里仍然可以采用标准3：

1.目标集是愿望集的子集。

2.实现目标集与背景信念是一致的。

3.不存在比目标集更优的愿望子集是与信念一致的。

不过，这里需要对“更优”的概念做出一定的修改，融入愿望函数中的强度信息，从而可以对同等级愿望根据愿望函数进行比较。

例4.张三的愿望和信念：

· 张三有三个愿望，分别是看电影、美餐一顿和买一本书。

· 他对这三个愿望的赋值分别是5，7 和3。

· 不过，张三是一个特别爱看书的人，把买书愿望排在最优先，之后才是美餐和看电影且它们属于同等级别。

· 张三身上的钱只够满足之中任意两个愿望：看电影和美餐一顿，或者买书和看电影，或者买书和美餐一顿。

在这个例中，因为张三把买书愿望排在最优，所以他不应该牺牲买书的愿望而去选择看电影和美餐，从而看电影和美餐就不应该是他的目标。值得注意的是，尽管此处美餐的愿望值是7，大于买书的愿望值3，但此时并不能根据愿望值的大小对它们进行比较，因为它们不是同一个等级的愿望。对于后面两种选择，它们都包括了买书，不同之处在前一种选择了看电影和后一种选择了美餐。但看电影和美餐属于同等级别的，可以根据它们的愿望值进行比较，因为看电影的值是5而美餐的值是7，所以美餐好过看电影。综合考虑，张三最终应该选择买书和美餐作为他的目标。从这个例子可以看出，此处“更优”的概念应该是对上一节中“更优”的概念扩展，从而包括同等级愿望间愿望值大小比较，但却又不允许不同等级愿望根据愿望值大小进行比较。

在[24]中，Weisberg 探讨了实践推理，认为人们在实践中时常采用字典序比较不同选择的好坏。对于字典序比较，他说道：“依次（根据重要性的递降序）比较相关性质直到在某个性质时其中一个选项要显著超过另一个选项。”这句话中的“显著超过”显然是一个程度的概念，而非仅仅是排序的，所以隐含了字典序可以融入数值表示程度的想法。上面依次比较的方法预设了优先序的逆是良序，因为我们并不假定这一条，所以需要采用类似上一节的方式给出更一般的定义。一个愿望集E′比另一个愿望集E更优当且仅当对于某个等级，E′中该等级愿望的愿望值之和超过E中该等级愿望的愿望值之和，同时，对任意更高的等级，E′中该等级愿望的愿望值之和都不会小于E中该等级愿望的愿望值之和。下面把上述想法形式化，给出混合拓展模型和它之上目标集的严格定义。注意，那么u(Ø)=0；对任意d,d′ ∈D，d～d′表示且d′ d。对任意d ∈D，[d]表示包含d的等价类{d′ ∈D:d′～d}。

定义6.一个混合拓展模型是一个四元组，其中是一个排序拓展模型，且u是一个从D到正实数集R+的愿望函数满足对任意d ∈D，

下面根据愿望间的优先序和愿望函数定义愿望集间的优先序。注意，下面的定义并不依赖于模型中的信念集B。

定义7.对任意混合拓展模型和任意E,E′ ⊆D，E～E′当且仅当对任意d ∈D，u(E ∩[d])=u(E′ ∩[d])；E⊏E′当且仅当存在e′ ∈E′使得u(E ∩[e′])＜u(E′∩[e′])且对任意d ≻e′，u(E ∩[d])≤u(E′∩[d])；E ⊑E′当且仅当E⊏E′或E～E′。

根据上述定义易见，如果d ≺d′，那么{d}⊏{d′}。另外在命题3 中，我们证明：如果E ≺E′，那么E⊏E′。这说明混合拓展模型中愿望集间优先序⊏的确是对排序拓展模型中愿望集间优先序≺的扩充。下面根据目标形成标准给出混合拓展模型上目标集的定义。

定义8.对L中任意公式集G，G是的一个目标集当且仅当

1.G是D的子集；

2.B ∪G是一致的；

3.不存在G′ ⊆D使得G⊏G′且B ∪G′是一致的。

上述定义的第3 条可以推出排序拓展模型的目标集定义中的第3 条成立，从而可以得出混合拓展模型的目标集是它中排序拓展模型的目标集。但在证明该命题之前，我们先证明混合拓展模型中愿望集间优先序⊏是对排序拓展模型中愿望集间优先序≺的扩充。注意，下面两个命题都依赖于愿望值是正数和相加规则，但是，定理3 并不依赖于信念集中B的内容，因为序关系≺和⊑的定义并不涉及B。

命题3.令为任意混合拓展模型。对任意E,E′ ⊆D，如果E ≺E′，那么E⊏E′。

下面证明混合拓展模型的目标集是它中排序拓展模型的目标集，进而根据命题2 得出，混合拓展模型的目标集也是它中基础模型的目标集。

命题4.如果G是的目标集，那么

1.G是的目标集；

2.G是〈B,D〉的目标集。证明.1.假设G是的目标集。显然有G是D的子集且B ∪G是一致的。下面采用反证法证明定义5 中条件3 成立：设存在G′ ⊆D使得G ≺G′且B ∪G′是一致的。从而由命题3 得出，存在G′ ⊆D使得G⊏G′且B ∪G′是一致的。根据定义8 中条件3，这与G是的目标集矛盾，故反证法假设不成立，即不存在G′ ⊆D使得G ≺G′且B ∪G′是一致的。因此，G是的目标集。

2.根据上述1 和命题2 直接得出。

值得注意的是，就算G是的目标集，也不一定有G是〈B,D,u〉的目标集。比如，在例4 中，同时看电影和美餐的愿望值是12，大于最终选择的目标集买书和美餐的愿望值10。

6 两个基本定理

这节证明关于混合拓展模型的两个基本定理。下面的定理1 说，如果一个混合拓展模型中愿望间优先序≺的逆是良基的，那么它中愿望集间的优先序⊑则是一个弱线序。这意味着，通常情况下混合拓展模型的确包含了足够的偏好信息，即使最终目标集有多个，它们也必定都是等同可接受的，所以可以从中随意挑选。最后的定理2 是关于混合拓展模型上目标集存在性的。

在[1] 中，Andréka 等人探讨了如何根据一集偏好关系和它之上的优先序去生成一个整体的偏好关系，并证明了在何种条件下生成的关系是线序或是良基的；但[1]中采用的优先序是严格偏序，从而无法表示同等级包含多个元素的情况并融入数值函数；最后，[1]中良基性的证明预设了优先序的有穷性。注意，定理1并不依赖于信念集B中的内容，因为序关系⊑的定义并不涉及信念集B。

定理1.令为任意混合拓展模型。

1.⊑是自返且传递的，

2.如果≺的逆是良基的，那么⊑是可比较的。

证明.1.⊑满足自返性是显然的。这里只证明⊑是传递的。假设E1⊑E2且E2⊑E3。下面我们分情况讨论：

值得注意的是，上述可比较性的证明中对良基性的要求是必须的，否则我们可以构造下面这个反例。

这节下面的部分证明关于混合拓展模型上目标集存在性的定理。为此需要用到König 引理，下面给出一些必备的术语。一棵树是一个有序对〈T,＜〉，其中T是一个非空集合，＜是T上一个严格偏序且满足存在最小元树根和向下可比较，即∀x∀y∀z(x ＜z ∧y ＜z ⇒x ＜y ∨x=y ∨y ＜x)。我们用x ≤y表示x ＜y或x=y；y是x的直接后继当且仅x ＜y ∧¬∃z(x ＜z ＜y)。一棵树是有穷的当且仅当它包含有穷个点，否则它是无穷的；一棵树是有穷分支当且仅当它中每个点的直接后继是有穷的；树中的历史是它中极大的链，一个历史是无穷的当且仅当它包含无穷个点。令T=〈T,＜〉是一棵树。对任意t ∈T，它的等级level(t)=|{t′ ∈T:t′ ＜t}|。根据该定义，树根的等级是0。对任意T′ ⊆T，我们用[T′]n表示{t ∈T′:level(t)=n}。T 中点组成的序列s=〈t0,...,tn〉是一个初始段当且仅当t0是树根且对任意0≤i ＜n，ti+1是ti的直接后继。一棵标签树是一个三元组〈T,＜,v〉，其中〈T,＜〉是树且v是一个标签函数把每个t ∈T映射到一个公式集。关于树的各种术语，可以直接推广到标签树上，这里不再定义。

引理1(König 引理).如果一棵无穷的树是有穷分支的，那么它中存在无穷的历史。

令M=为一个混合拓展模型。对任意d,d′ ∈D，[d]≺s[d′]当且仅当d ≺d′。语言L中的推演关系⊢是紧致的当且仅当对任意公式集Γ 和公式φ，如果Γ⊢φ，那么存在Γ 的有穷子集△使得△⊢φ。一个序是ω-型的如果它与〈ω,∈〉同构，一个序最多是ω-型的如果它可以同构嵌入到〈ω,∈〉。

定理2.令M=为一个混合拓展模型。假设

1.⊢是紧致的，

2.B是一致的，

3.≺s的逆最多是ω-型的，

4.对任意d ∈D，[d]是有穷的。

那么存在G是M 的目标集。

值得注意的是，尽管这篇文章中的愿望值是都正数且采用相加规则计算愿望集的值，但定理1 和2 的证明都不预设这一点，它们适用于愿望值是任何实数且采用任何规则计算集合愿望值的情况。

7 总结

这篇文章讨论实践推理中目标推理问题，分析了理性主体根据她的信念和愿望应该形成什么目标，并总结成为目标形成的基本标准：目标集是与信念一致的愿望子集，并且不存在比目标集更优的愿望子集是与信念一致的。然后，根据基本标准构造了目标形成的形式化理论，探讨了不同模型间目标集的关系，并证明了拓展模型的目标集都是基础模型的目标集，也就是说，愿望偏好的效果是从基础模型的目标集中进一步筛选。另外，我们还证明了在愿望间优先序的逆满足良基性时，混合拓展模型中愿望集间的优先序是一个弱线序。这意味着混合拓展模型通常包含了足够的偏好信息决定愿望集间的好坏。最后，我们得到了混合拓展模型上目标集存在的一个充分性定理。

尽管这篇文章给予文中形式模型的解释是信念、愿望和偏好，但是我们还可以尝试赋予它们以下三种不同的解释。令为一个混合拓展模型。一、祈使句解释：B表示主体当下的信念，D表示主体当下接收的祈使句，而和u表示不同祈使句之间的权威性和重要程度，那么目标集则表示主体应该完成的祈使句。在这种解释下，本文的模型可以看成是对[23]中从允许冲突的祈使句生成应该的道义逻辑的一种扩张。二、伦理职责解释：B表示主体当下的信念，D表示主体当下考虑的显见义务13显见义务，又称表面义务，是罗斯义务论伦理学中的一个概念。显见义务之间可以有冲突，但综合考虑显见义务得出的真实义务（duty proper）之间不能有冲突。有关罗斯义务论伦理学的介绍，参见[3]。（prima facie duty），而和u表示不同显见义务之间的优先性和重要程度，那么目标集则表示主体应该完成的真实义务（duty proper）。三、可废止推理14可废止推理是一种非单调的推理模式，一个可废止论证的前提支持结论，但却不保证结论一定成立，之后增加新的前提或论证可能废止之前得出的结论。有关可废止推理的探讨，参见[16,17]。（defeasible reasoning）解释：B表示主体当下确定接受的信念，D表示是可废止理由（defeasible reasons），且和u表示可废止理由之间的优先序和强度，那么目标集和信念集共同的后承则是理性主体应该接受的信念。

这篇文章给出了目标形成的基本理论框架，接下来的工作可以此为基础进行扩展。下面简要地提出五点：第一、文中考虑的愿望都是主体在当下拥有的，即是已经触发了的愿望，但主体的愿望经常是以有触发条件的方式表示的，所以包含条件愿望的目标形成理论是非常值得研究的问题。第二、基于数值拓展模型形成目标的标准采用了加法规则，这要求主体的愿望是相互独立的，但主体的愿望可能是不独立的，所以我们需要不独立愿望的愿望值计算规则。第三、排序拓展模型中的优先序是固定的，可以考虑采用[7]第五章中类似想法，设计依据所选的愿望而变化的优先序。第四、排序拓展模型中优先序满足的弱线序条件可以考虑放弱为传递性，这会要求对文中愿望集“更优”的定义进行相应的修订。第五、采用类似于[8,14]中道义逻辑的想法，以文中拓展模型为语义模型设计关于理性主体的规范性逻辑。