对一类不等式题型进行总结

白鑫松　缪国栋

摘 要 不等式作为数学的基本内容，同时最值问题又是不等式问题中一大热门考点，它可以与函数，图像，解析几何等知识紧密结合在一起，将问题变得复杂化，成为大多数初学者的一大难点.本文以具体题目为例，探究一种关于不等式题型的一种模式解题方法，归纳并总结了以圆锥曲线，向量，函数为背景的不等式问题，并且对每一道问题进行点评，总结，让读者建立起基本的不等式思维.

关键词 不等式 题型总结 解题方法

中图分类号：O15                                   文献标识码：A    DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2021.01.016

Abstract Inequality is the basic content of mathematics. At the same time， the maximum value problem is a hot test point in inequality problems. It can be closely combined with functions， images， analytic geometry and other knowledge. It makes the problem more complicated and becomes a major difficulty for most beginners. Taking specific topics as examples， this paper explores a mode solution method for inequality problems， and summarizes it. This paper concludes the inequality problems based on conic curve， vector and function， comments and summarizes each problem， so that readers can establish basic inequality thinking.

Keywords inequality; summary of question types; problem solving method

1问题引入

不等式问题一直都是考试中的一大难点，而其中的最值问题却很容易让初学者丢分，故本文将以具体的例题来进一步分析和探究不等式，揭开它的“庐山面目”，引发读者从多角度去思考问题，从而解决不等式问题，培养数学思维。

点评：例题1是一道经典的不等式问题，它的模型是 “已知满足，求的最值”的格式，但相比于传统的均值解法，例题1使用了柯西分式型不等式，从而使整个解题思路变得简单，计算难度也大大降低。

2提出变式

随着高考的改革，不少经典的或直接出现的题型已经销声匿迹，取而代之的则是一些比较新颖，综合性极强的题型，而不等式的一些条件也隐匿在题目之中，并且不少不等式题目均满足以下模型。接下来将围绕这个模型展开讨论和分析。

模型 已知满足，求的最值。

下面分别以解析几何，向量和函数的例题进行探讨。

例题2 已知椭圆，若椭圆的离心率且，求的最小值。

分析：由题可知，而从离心率可得到，显而易见本例隐藏的条件与模型中的条件大致相同，可以将其归为一种模型。接下来只需对未知量赋值计算，再运用不等式的知识和性质，即可以解出此题。

点评：综上所述，例题4不同于例题2和例题3，它是以函数为背景提出的不等式问题，但实际上和例题2，例题3又有异曲同工之妙，均是以非不等式的知识为背景提出不等式问题，展现了不等式在不同数学分支中的重要作用。

3 总结

在解决不等式的问题中会运用到诸多的数学思想，它可以穿插的知识点比较多，能结合许多的数学内容，它既能渗透在数学的各个分支之中，又能巧妙的将各分支的知识衔接起来，可谓是“脐带”一般，这也使得出题者将不等式作为近年来各大考试的热门考点。而答题者在解决这类题的时候，就需要具备一定技巧，同时也要综合题目，合理运用知识点，选取最恰当的方法求解。本文通过对上述模型的归纳，帮助初学者合理运用不等式的知识来解决问题。不仅将求解不等式最值的问题的知识再次巩固，还让初学者通过基本不等式模型去感受到数学之美，数学之价值。但在实际中如何高效的解题，则需要在平时多进行反思、归纳和总结，将基础知识落实到位。这样既能养成良好的学习习惯，提高解题效率，又能培养数学思维。

参考文献

[1] 陈书坤.柯西中值定理在解题中的应用[J].科技经济市场，2020（04）：147-148.

[2] 陈明.柯西不等式的几点注记[J].遵义师范学院学报，2018，20（06）：99-101.

[3] 罗仕明，李柳青.对“均值不等式的八种证法”再思考[J].白城师范学院学报，2017，31（06）：47-53，60.

[4] 劉伟.几何背景在不等式学习中的作用——以湘教版、苏教版高中数学教科书为例[J].贵州师范学院学报，2016，32（03）：47-50.

[5] 李栋红.导数在不等式证明中的应用[J].贵阳学院学报（自然科学版），2014，9（01）：68-71，74.