正方体中涂色问题的解题技巧分析

金来宝

摘要：正方体涂色问题是在学习了正方体之后进行的思维锻炼和应用类的问题，可以帮助学生理解并体会数学知识和外部世界的联系。学生在解决正方体涂色问题的过程中，可以从最基本的涂色、切开、数数量开始，渐渐构建涂色问题模型，总结公式，利用模型和公式解决问题。通过涂色问题的学习、练习、解题、思考，可以充分体会正方体涂色问题的价值，有助于数学学科素养的培养，能够帮助学生自觉利用数学思维去探寻和思考生活中的事物，解决实际问题。

关键词：正方体;涂色问题;解题技巧

一、引言

正方体表面涂色问题是规律探寻类的课程。将较大的正方体表面都涂上颜色，如果将正方体以单位长度切成若干个棱长相等的小正方体，这些小正方体分别有多少个面涂上了颜色。从中是否能找到规律。回答这类问题，需要教师引导学生经历涂色、切开、数小正方体数量的基本过程，从中找到规律，总结出模型和计算公式，再利用提炼出来的规律解决问题。教师引导学生充分动手和思考，摸索思维演化过程，提高思维能力和解决问题的能力。

二、正方体涂色问题的教学与规律探寻

正方体涂色问题课堂教学要让学生经历将正方体表面涂色后再切成若干个棱长一样的小正方体，探索小正方体涂色情况，从中提炼规律，积累探索规律的经验，感悟数学思维，发展空间想象力和建模思维。学生在解决正方体涂色问题的过程中，探寻规律，感受解构的乐趣，获得发现规律的成就感，对数学学习更有兴趣。教学的难点在于：第一，将涂色后大正方体切割成单位棱长的小正方体，探索不同涂色面的小正方体的数量的过程中，学生要穿透表面的小正方体看到大正方体内部隐藏的小正方体，意识到这部分小正方体的存在。第二，从简单的数出小正方体数量，到提取规律，可以解决各种棱长的正方体涂色问题。

教师首先引领学生复习正方体特征：6个面的面积相等，有8个顶点，12条棱长长度相等。先进行分面，采用真实教具或者多媒体方式出示一个大正方体。将大正方体的每条边均分两份，切成4个小正方体，计算小正方体数量的方式为2×2=4。将变成平均分成3份，则小正方体数量为3×3=9，变成平均分成4份，则小正方体数量为4×4=16……由学生总结：切割大正方体后获得的小正方体数量为“切割份数×切割份数”。学习分面是为了从平面几何向立体几何过渡。

將大正方体的6个面均涂上颜色，将每条棱平均为2份切开，能够切成多少个小正方体，经过数数量，得到结论8。每个小正方体有多少个面涂色，得到结论，每个小正方体都有3个面涂色了。如果将大正方体的每条棱平均分为3份，则能够切成多少个小正方体呢，得到结论3×3×3=27。为学生分组，组内交流讨论：27个小正方体中，3面涂色、2面涂色、1面涂色的小正方体分别有几个，它们都处在什么位置。经过小组讨论，学生给出结论，3面涂色的小正方体有8个，分别处在8个顶点位置。2面涂色的正方体有12个，因为每条棱被分成3份，减去2个3面涂色的小正方体，一条棱上会有1个2面涂色的小正方体，一共有12条棱，所以是12个小正方体。列出算式为（3-2）×12=12。1面涂色的小正方体有6个，在大正方体的每个面上，减去3面涂色和2面涂色的小正方体，则有1个1面涂色的小正方体，共有6个面，则为6个1面涂色的小正方体。在教学过程中，如果学生很难理解，则通过多媒体方式进行立体演示，确保学生理解了，再进行下一步。

如果将大正方体每条棱平均分为4份，则结论是怎样的呢？仍然由小组讨论完成。小正方体的总数为4×4×4=64，3个面涂色的小正方体仍然为8个。2个面涂色的小正方体是（4-2）×12=24。1面涂色的小正方数量为24。观察大正方体的一个面，可以看到4×4=16个小正方体，这其中一面涂色的处在这一面的中央，如果按照每条边来算，则每条边会有4-2=2，2个一面涂色的小正方体，须将一条边最旁边的两个小正方体减掉。那么这一面上，1面涂色的小正方体数量为（4-2）×（4-2）=4。大正方体一共有6个面，则1面涂色的小正方体一共有（4-2）×（4-2）×6=24。

总结计算公式：用n来代表大正方体棱被平均分的份数，无论大正方体的棱长切成几份，3面涂色的小正方体都是处在大正方体顶点位置，正方体顶点有8个，则3面涂色小正方体数量是8。2面涂色小正方体个数是（n-2）×12。1面涂色的小正方体的数量为（n-2）2×6。

引导学生用不同的平分份数验算，并思考是否存在没有涂色的小正方体，处在什么位置，数量有多少。整个教学过程要注重教师多问少答，尽量引导学生自己提取规律。

三、正方体涂色问题的解题技巧分析

（一）从具体到抽象

在整个教学过程中，可以看到教学的过程就是引导学生开展思维活动的过程，帮助学生从现实问题走向抽象的情景，从实实在在能够数得出数量的正方体简单分割开始建模，帮助学生从最简单和基础的部分开始挖掘小正方体与大正方体的空间位置关系和数量关系。数学学习中，要不断提出问题，让学生经历思考并解决问题的过程，培养学生以数学思维的视角来观察问题，从而建立数形结合和归纳总结能力。在教师的引导下，学生已经能够从较为简单的小正方体切割中提取经验，在大正方体上进行各种改造，将自行提取的规律不但验算，当他们得到的结果都是正确的，则给学生带来成就感，大大带动了学生的积极性。从小正方体的总数量，到关注各个不同的小正方体的分类和数量，思维不断递进。

教师可以让学生练习更复杂的问题：将棱长1分米的大正方体，表面涂上蓝色。切成棱长为1cm的小正方体。计算其中有多少个3面涂蓝的小正方体？多少个2面涂蓝的小正方体？1面涂蓝的呢？任何一面都没有涂蓝的呢？

学生利用自己从具象到抽象总结出的计算公式，得出结论：该大正方体棱长平均分10份。3面涂蓝的小正方体有8个。2面涂蓝的小正方体数量有（10-2）×12=96个。1面涂蓝的小正方体有（10-2）2×6=384个。6个面都没有涂蓝的小正方体数量计算方法有两种：（10-2）3=512个，或者1000-384-96-8=512个。