一类半线性退化抛物方程在边界控制函数作用下的近似能控性

解春雷, 杜润梅

(长春工业大学 数学与统计学院, 长春 130012)

1 引言与主要结果

退化抛物方程的控制问题在物理学、 生物学和工程实践等领域应用广泛. 目前, 关于退化抛物方程控制问题的研究已取得很多成果[1-10]. 例如: 文献[1-3]研究了非线性退化抛物方程分布式控制问题的能控性; 文献[4]研究了线性退化抛物方程边界控制问题在第一类边界条件下的能控性; 文献[5-6]研究了非线性退化抛物方程边界控制问题在第一类边界条件下的能控性; 文献[7-8]研究了线性退化抛物方程边界控制问题在退化点处为第二类边界条件, 非退化点处为第一类边界条件下的能控性. 本文采用文献[6]的方法, 利用Kakutani不动点定理证明一类一维半线性退化抛物方程在边界控制函数作用下的近似能控性.

考虑如下系统:

其中QT=Ω×(0,T), 0<α<1,h∈L2(0,T)是控制函数,χ是[T1,T2](0

(i)g(·,·,0)∈L2(QT);

(ii)g(x,t,u)在u=0处可微;

(iii) 对任意(x,t)∈QT,u,v∈, 存在与x,t,u,v无关的正数M, 使得

|g(x,t,u)-g(x,t,v)|≤M|u-v|.

本文证明系统(1)-(3)的近似能控性.

定理1对任意ε>0,ud∈L2(0,1), 存在控制函数h, 使得问题(1)-(3)的解u在时刻T处可近似达到ud, 即

‖u(x,T)-ud(x)‖L2(0,1)≤ε.

(4)

2 线性问题解的估计

考虑线性方程

ut-(xαux)x+c(x,t)u=f(x,t), (x,t)∈QT

(5)

在初边值条件(2),(3)下解的估计, 其中c∈L∞(QT),f∈L2(QT). 定义空间

其范数分别为

通过对方程(5)做能量估计, 可得如下定理.

1) 存在与α,T,‖c‖L∞(QT)相关的C1>0, 使得

3) 如果h=0,u0∈L2(0,1), 则对任意0<σ0, 使得

(8)

3 线性问题解的收敛性

类似文献[2]中推论2.1、 推论2.2和推论2.4, 可得如下引理.

令k→∞, 可得结论.

证毕.

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(9)

令vk是问题

(10)

在初边值条件(2),(3)当h=hk-h*,u0(x)=0时的解. 在方程(10)的两边乘以vk, 并在QT上积分可得

(11)

其中C与k无关. 由假设条件可知uk在L2(QT)中强收敛到u. 证毕.

考虑共轭问题

由推论2和文献[8]中定理2的唯一延拓性, 类似文献[1]中命题3.1可证泛函

(15)

定理3设u0(x)=0, 则问题(5)-(2)-(3)在控制函数为式(15)时满足式(4).

命题1假设K⊂L2(0,1)是预紧的,B⊂L∞(QT)是有界的, 则 M(K×B)⊂L2(0,1)是有界的.

类似文献[6]中命题5.3的证明, 由推论1和命题1可得:

4 半线性问题的近似可控性

类似文献[6]中定理4.1的证明, 由Schauder不动点定理、 推论3、 推论4和定理2可得如下半线性问题的适定性.

则σ∈L∞(QT×).

定义集值映射Λ如下:

显然, 对每个w∈L1(QT),Λ(w)是一个非空凸集. 类似文献[6]中命题6.1的证明, 由引理1中2)、 命题1、 定理2中3)和推论3可得：

命题3存在一个预紧集X⊂L1(QT), 使得Λ(w)⊂X,w∈L1(QT).

类似文献[6]中命题6.2的证明, 由引理1中3)、 命题2、 推论1和推论3可得：

命题4{(w,u)|w∈S,u∈Λ(w)}是L1(QT)×L1(QT)中的闭子集, 其中S是X的凸闭包.

由命题3和命题4,Λ满足Kakutani不动点定理的条件. 因此定理1得证.