一类具有超线性源项四阶双曲方程解的存在性及爆破时间估计

廖祥永, 高艳超

(长春理工大学 理学院, 长春 130022)

考虑如下非线性四阶双曲方程的初边值问题:

(1)

其中Ω⊆N(N≥2)为边界光滑的有界区域,QT=Ω×(0,T),k1,k2,k3,a,b>0为常数. 这类波方程是一般抛物型方程的扩展, 在数学物理等实际问题中应用广泛[1-2], 目前关于其解的存在性和解的爆破等研究已取得了许多成果[3-10]. 文献[3]证明了当m>α≥2时, 其解是全局的； 当α>m≥2时, 其解在有限的时间内爆破. 文献[4]改进了文献[3]的结果, 证明了在m和α无依赖关系的情况下, 其解是全局的; 当α>m和能量初值为非负数时, 其解会爆破. 文献[5]对特殊的源项证明了其解的全局存在性, 建立了均匀衰减率, 并导出了弱阻尼项的条件, 得到了其解的爆破和寿命估计.

本文涉及的空间均为标准的Sobolev空间, 其范数定义可参见文献[11]. 定义:

(2)

定义1若函数u(x,t)满足下列条件时：

有下列等式成立：

则称函数u(x,t)是问题(1)的解.

引理1假设k1,k2,k3,a,b>0,m,p>2,α>p>m, 若u(x,t)是初边值问题(1)的一个弱解, 则E(t)是一个非增函数, 且有E′(t)≤0.

引理2假设

max{m,α}≤2N/(N-2),N≥2,α>p>2,

(4)

对于(u0,u1)∈S×L2(Ω)满足

(5)

(6)

引理1和引理2的证明与文献[8]中引理2.2的证明类似. 引理3的证明与文献[7]中引理6.1的证明类似.

胎儿窘迫为产妇分娩过程中常见的一种并发症,通常是由于子宫内胎儿缺氧所致,会对母婴的生命安全造成极大的危害。临床上可用来处理此种情况的术式较多,但其均有不同的适应性及有效性,故本次研究旨在对剖宫产术与阴道助产术在足月妊娠临产胎儿窘迫中的应用效果作探讨,现将所获各项临床数据作下述报道。

(7)

(8)

2) 一致性先验估计. 根据引理2和文献[8]定理3.1可知, 对∀t≥0, 有

(9)

由Sobolev嵌入定理知, 对于∀t≥0, 有

(10)

3) 收敛性与解的存在性. 由上述一致估计可得

(11)

(12)

由式(11)～(13)可知,u为问题(1)的一个全局解. 证毕.

下面在初始能量为负的条件下, 证明问题(1)的解会在有限时间内发生爆破.

定理2假设k1,k2,k3,a,b>0,m,p>2,α>p>m, 且式(4)成立, 若能量初值满足

(14)

则问题(1)的解在有限时间内发生爆破.

(15)

取ξ和μ是与时间有关的正数, 满足μ-m/(m-1)=N1H-σ(t),ξ=N2H-σ(t), 可得

根据Sobolev嵌入定理和式(15), 可得估计：

(18)

(19)

进一步, 可得

(22)

(23)

根据不等式(23), 可推出

(24)

再由式(22),(24), 则有

Φ′(t)≥λΦ1/(1-σ)(t), ∀t≥0,

(25)