基于常循环码构造的两类纠缠辅助量子MDS码

2021-05-26王伟伟李建涛

吉林大学学报（理学版） 2021年3期

王伟伟, 李建涛

(辽宁大学数学院, 沈阳 110036)

随着量子信息与量子计算技术的快速发展, 关于量子纠错码的研究得到广泛关注[1-3]. 令q是素数方幂, 记[[n,k,d;c]]是一个q元纠缠辅助量子纠错码, 其中n是码长,k是维数,d是最小距离,c是纠缠比特数. 文献[4-6]采用常循环码和负循环码构造了一些具有优良参数的纠缠辅助量子码; 文献[7]通过循环码构造了长度为n=q2+1的纠缠辅助量子极大距离可分(maximum-distance-separable, MDS)码; 文献[8]利用常循环码构造了参数较灵活的纠缠辅助量子纠错码, 当最小距离d≤(n+2)/2时, 构造的所有纠缠辅助量子纠错码是纠缠辅助量子MDS码; 文献[9-11]利用广义RS(Reed-Solomon)码构造了具有灵活参数c的新的纠缠辅助量子MDS码; 文献[12]利用广义RS码构造了参数为[[n,n-2k+c,k+1;c]]q的码和参数为[[n,c,n-k+1;n-2k+c]]q的纠缠辅助量子纠错码; 文献[13-16]用广义RS码和扩展的广义RS码构造了一些新的具有优良参数的纠缠辅助量子MDS码. 本文利用常循环码构造两类纠缠辅助量子MDS码, 推广了文献[17]的如下结果：令q是一个奇素数幂, 且q=20m+3(20m+7), 其中m是一个正整数. 本文假设q是一个奇素数幂, 且q≡±3(mod 10). 本文结果扩展了纠缠辅助量子纠错码的码类, 并推广了已有文献中q的取值范围.

1 预备知识

类似地,C的Hermite对偶码记为

如果C满足C⊆C⊥E(或C⊆C⊥H), 则称C为Euclid(或Hermite)自正交码. 如果C=C⊥H, 则称C为Hermite自对偶码.

(c0,c1,c2,…,cn-1)→(ηcn-1,c0,c1,…,cn-2).

通常一个码字c=(c0,c1,c2,…,cn-1)也可用一个多项式表示:

c(x)=c0+c1x+c2x2+…+cn-1xn-1.

令Ω={1+ir|0≤j≤n-1}. 设C是η-常循环码, 且C=〈g(x)〉, 则称Z={∀i∈Ω|g(δi)=0}为码C的定义集. 设Ci={i,iq2,iq4,…,iq2(mi-1)}是i模rn的q2-分圆陪集, 其中mi是使得iq2mi≡i(modrn)的最小正整数.

引理1[17]若C是Fq2上长度为n的η-常循环码, 定义集为Z, 则C⊥H⊆C当且仅当Z∩(-qZ)=Ø, 其中-qZ={-qz(modrn)|z∈Z}.

利用引理1可判断一个η-常循环码C是否包含C⊥H.

类似于循环码, 常循环码也存在BCH(Bose-Chaudhuri-Hocquenghen)界.

引理2[18-19]设(n,q)=1,C是Fq2上长度为n的η-常循环码, 其中η是一个r次本原根. 令δ是 Fq2的某些扩域上的rn次本原根. 假设C的生成多项式g(x)的根为{δ1+jr|0≤j≤d-2}, 则C的最小距离至少为d.

设H是Fq2上码C的(n-k)×n阶校验矩阵, 则C⊥H存在一个n×(n-k)阶的生成矩阵H†, 其中H†是Fq2上H的共轭转置矩阵.

引理3(Singleton界)[20]如果Fq上一个参数为[n,k,d]的线性码C存在, 则满足k≤n-d+1. 如果等号成立, 则称C为MDS码.

定理1(纠缠辅助量子Singleton界)[21]假设C是Fq上参数为[[n,k,d;c]]q的纠缠辅助量子纠错码, 如果d≤(n+2)/2, 则码C满足纠缠辅助量子Singleton界：n+c-k≥2(d-1), 其中0≤c≤n-1. 若n+c-k=2(d-1), 则称码C为纠缠辅助量子MDS码. 特别地, 如果c=0, 则n-k=2(d-1), 于是称码C为量子MDS码.

定理2[22]设C是Fq2上的经典码,H是C的校验矩阵, 则存在一个纠缠辅助量子纠错码, 其参数为[[n,k,d;c]]q, 其中c=rank(HH†).

设C是Fq2上长度为n的η-常循环码, 其定义集为Z. 假设Z1=Z∩(-qZ)且Z2=Z1, 其中-qZ={n-qx|x∈Z}, 则Z=Z1∪Z2称为码C定义集的一个分解.

引理4[5]设C是Fq2上长度为n的η-常循环码, 其中gcd(n,q)=1. 假设Z是常循环码C的定义集, 且Z=Z1∪Z2是Z的一个分解, 则相应的纠缠辅助量子纠错码中参数c=|Z1|.