线性方程组的应用研究

2021-05-24柳江岸朱小艳王瑞瑞姚淑霞

科技风 2021年14期

柳江岸朱小艳王瑞瑞姚淑霞

摘要：线性方程组及其求解是线性代数及高等数学课程中的核心内容，在数学相关领域中有应用广泛。本文介绍了线性方程组在几何学、高次方程理论、化学等方面的应用，以期为线性方程组的求解及应用提供一定的指导作用。

关键词：线性方程组;几何学;高次方程;化学

1 绪论

线性代数的核心内容是线性方程组的求解，这是在寻求线性方程组解的存在定理与求解方法的过程中产生的[1]。行列式理论和矩阵理论形成了线性代数的基本理论，这些理论知识本是代数问题，可是，若将该代数问题与几何问题联系起来，通过考虑常数项與系数的相互关系，从而建立方程组，就可在此基础上得到方程组的矩阵求解及行列式求解[23]。这些理论知识为借用线性方程组解决实际问题提供了方法，并奠定了基础。比如，将线性方程组理论应用在解析几何中，可内在沟通线性代数与几何之间的相互联系，也可实现代数与几何之间的相互渗透，还可使得对许多几何问题的刻画更为简洁、明了。

2 线性方程组的应用

线性方程组的应用有很多方面，如在数学理论中，特别是几何、代数等方面应用较多。除此之外，还可以用方程组来研究初等数学中的一些问题，从而可以避免烦琐的分析与求解[4]。线性方程组在生活中也有广泛应用，比如在计算机、物理、经济、化学及航空等领域。此外，线性方程组也被用于电路、力学、数字处理等课程[56]。为了能更好地应用线性方程组的理论方法解决实际问题，需要在求解过程中将涉及的每个量联系起来，通过分析条件及所求的关系，结合实际问题，通过恰当的问题转化及变换，从而达到通过最有效、最快捷的方法来解决实际问题的目的。

2.1 线性方程组应用在几何方面

设上述齐次线性方程组的一组非零解为（A1，D1，E1，F1），由条件知，四点的任意三点均不共线，可设A1≠0（不然，会出现三点共线），从而得知这四个点都在圆A1（a2+b2）+D1a+E1b+F1=0（A1≠0）上，由此得证。

2.2 线性方程组应用在高次方程理论中

定理2[8]设四个实数a，b，c，d各不相等，证明四元方程：

不妨设上面方程组中的四个方程有公共的实数解x0，则关于a，b，c，d的齐次线性方程组有非零解，从而上面方程组的系数行列式等于零，即x30x20x01

将x0=-1代入原方程组中，可得b=c，这与已知条件矛盾。

2.3 线性方程组应用在化学方面

化学中的线性方程组也有广泛应用，比如用于化学方程式的配平问题，按照质量守恒定律，得到对应的方程，再经过联立得到相对应方程组并求解，最后得出结果，便可得到相应的化学方程组的配平系数。

例1[9]假设在高温下，一氧化碳可使得四氧化三铁还原，使其生成二氧化碳与单质铁，试配平如下的化学方程式：

CO+Fe3O4→Fe+CO2

解设反应物与生成物的量依次为x1，x2，x3，x4，通过质量守恒定律知各原子数在反应前后保持不变，如，通过铁原子的守恒得x3=3x2;通过碳原子的守恒得x1=x4;因此，由氧原子守恒得x1+4x2=2x4;

联立上面三等式并移项得x3-3x2=0，

x1-x4=0，

x1+4x2-2x4=0。

易见上面方程组未知量的个数大于方程的个数，因此，上述线性方程组有非零解。

由于化学方程组的每个系数必是正数，即每一个分量的解都必须是正数解;通过矩阵的初等变换得上述线性方程组的增广矩阵：

2.4 经济平衡中线性方程组的应用

例2[10]某个经济体系中有三个行业：五金、能源、机械，而且各行业的产出在每个行业中的分配比例见表1，其中每列的数表示相应行业占该行业总产出的比例。如第一列，五金行业总产出分配比例是：五金行业占20%;能源行业占30%;机械行业占50%。分别用p1，p2，p3表示五金、能源、机械在每年总产出的各价格，为使三个行业的投入与产出都相等，试求各行业的平衡价格。

解由上表可得列值代表的是每个行业产出的具体分配方式，行值代表的是每个行业所需要的投入。

设此三行业的总产出价格依次为p1，p2，p3，则五金行业的总支出应该为0.3p1+0.1p2+0.4p3。

为使五金行业收入与支出相等，则应满足：

p1=0.3p1+0.1p2+0.4p3

同理，对上表中的第1行、第3行的数据也进行相同的处理，把它们与上式联立起来，就得到一个齐次线性方程组：

p1=0.2p1+0.8p2+0.4p3，

p2=0.3p1+0.1p2+0.4p3，

p3=0.5p1+0.1p2+0.2p3。

解得上述方程组的通解为p1

p3=p31.417

0.917

1.000，即经济系统中的平衡价格向量。