基于数学建模优 化课堂练习设计

陈元章

康奈尔大学应用数学系名誉教授史蒂夫·斯托加茨在他的著作中写道：“知道如何抓住问题的关键矛盾，而把次要的情况通过理想化的假设尽量简化，这个过程叫作‘数学建模。”首先，基于数学建模，优化课堂练习可以让学生有更多的自主学习空间和时间，有助于独立思考和独立学习；其次，基于数学建模，优化课堂练习有助于教师在有效的时间内，引领学生体验重难点的突破过程和知识的应用过程，提高教学效率；再者，基于数学建模，优化课堂练习可以促进学生的发展，让学生在练中悟，从而自主学习、合作讨论、建立模型、辨析理解、自我反思。

目前，学生和教师对待课堂练习的方式值得商榷。一方面，学生对课堂练习的态度不积极，审题能力尚待提高，无法与相应的数学模型建立联系。另一方面，教师忽视了对练习编排意图的思考，练习的难易程度、横纵对比、层次性不明显，形式缺乏多样化，且与学生的生活存在差异性，阻碍了学生建立模型的过程。如何基于数学建模，提高课堂练习的有效性？笔者将以人教版七年级数学《二元一次方程组（第一课时）》为例，浅析如何基于数学建模优化课堂练习。

一、基于数学建模，精确学习目标

数学建模是数学核心素养之一，是学生用数学的眼光观察实际问题、用数学知识解决实际问题的重要思想。因此，在设计和编排课堂练习时，笔者以渗透“数学建模”为前提，精确学生的学习目标，围绕“数学建模”，设计相应课堂练习。

初一学生处于初小衔接过渡阶段，学习需要被动学习过渡到主动学习。优化练习设计，首先要引导学生有目标地学习。为培养学生的“数学建模”思想，笔者在设置和编排《二元一次方程组（第一课时）》的学案时，在目标中直接提出“数学建模”，让学生明确除了掌握基础知识和基本技能这一认知目标外，还需有意识地思考“什么是数学建模”“数学建模的方法是什么”“数学建模有什么用”等问题，激发学生的求知欲。

【学习目标】1.认识并会判断二元一次方程（组）的“模型”；2.能根据实际问题，建立方程（组）“模型”；3.经历用数学语言描述问题的过程，提高数学建模能力。

著名心理学家布鲁姆把学生的认知状态和情感特征作为学习的前提条件，其中的情感特征，就是“学生学习新的学习任务的动机”。学生的学习目标不仅在于基础知识和基本技能，更是在于基本思想和基本活动经验。学生的认知目标中始终具有情感的成分，而学习动机是学生情感成分中的重要成分之一，是推动学生学习的内在动力。在练习前，让学生知悉整节课的练习目标和每道题的设计意图，唤醒学生对知识技能和数学建模的学习期待，提高学生学习兴趣的同时，引起学生的有意注意，间接地提升了每一道课堂练习的有效性。

二、基于数学建模，精炼知识储备

卡尔·雅斯贝尔斯说过：“教育就是一棵树摇动另一棵树，一朵云推动另一朵云，一个灵魂唤醒另一个灵魂。”课堂练习的教学也可以做到“唤醒”，唤醒学生曾有的知识储备，唤醒学生曾经掌握的数学模型。学生曾在学习一元一次方程时，经历过将实际问题进行数学抽象的过程，能用符号语言表达简单的数学关系。因此，笔者直接借助课本章头语中的情境作为练习，先调取学生对于一元一次方程的知识储备，再通过“一题多解”的方式，引入二元一次方程（组）的学习。

【知识储备】在学校篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分。某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？

解：设________。则__________（列式即可）。

上述含有未知数的等式叫______；方程中只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫______。关于x、y的方程：x+y=8是不是一元一次方程？

思考：上述问题还可以如何设未知数？

解：设________。则________。（列式即可）。像这样的“模型”，叫做_____。

归纳：方程组中有___个未知数，还有每个未知数的项的次数都是___，并且一共有___个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组。

将教材例题作为练习，让学生在练习中“温故”，类比迁移，从而“知新”。基于学生的认知起点，在知识增长点处设计练习，有助于学生充分调动大脑中的知识储备，将“教”教材转化为“用”教材，既保证了练习的科学性，又保证了学生作业的规范性。此外，通过变式可以将情境转化为与学生更加贴近的生活问题，如小组积分问题、桌椅配套问题等。

学生原有的认知结构决定着新的知识的输入、理解和接纳，对学习结果及其以后学习都有重大的影响。所以，练习优化时，笔者关注知识间的衔接，从现实生活情境出发，设置具体化问题，让学生一边完成练习，一边经历“实际问题—数学模型”的过程，培养学生在实际情境中从数学的视角分析问题，建立模型。

三、基于数学建模，精设分层练习

通过自主探究，学生认识了基本模型后，还需要相应的练习巩固对模型的认识。德国教育家赫尔巴特在他的著作《教育学讲授纲要》中提出：“不能强迫学生接受太多的练习，练习量应以学生能轻松完成为宜。”坚持练习的精练性，要做到“以一当十”“以少胜多”，学生能举一反三，触类旁通。筆者节选“二元一次方程”这一知识点的部分练习，围绕“数学建模”，设置分层练习。

【分层练习】把一根长18 m的绳子裁成2 m和3 m长两种规格的绳子，怎样截不造成浪费？

（1）看到这个问题，你联想到什么“模型”？

解：设_________。列式：_________。

（2）方程2x+3y=18的解（）

A援只有一个B.只有两个

C.只有三个D.有无数个

（3）在实际意义下，绳子可以怎样截不造成浪费？请写出所有裁剪方案。

在“裁剪绳子”的情境下，从实际问题抽象到数学模型，再通过练习让学生在数学模型中思考“该二元一次方程的解”是有限个还是无限个，难度逐步增大。最后再回归实际意义，引导学生进一步思考未知数的取值范围，培养学生思考问题的严谨性。练习难度循序渐进，学生在解决层层难题时，经历“建立模型、确定参数、计算求解、检验结果”的建模过程。

布鲁姆提出“学生具备从事每一个新的学习任务所需的认知条件越充分，他们对该学科的学习就越积极”。关注练习的层次性，特别是知识间的纵向练习，在同一情境或者同一条件下，问题层层铺垫，让学生在解决问题的同时，内化相应的数学模型，丰富了对本课学习任务所需的认知条件，让学生对本课的学习更具信心。

四、基于数学建模，精简课堂检测

建构主义指导下的教学提出，每一学习任务结束时进行形成性评价测验，目的在于了解学生已经学到了些什么，哪些知识理解有误，还需要学些什么内容才能达到掌握水平，从而进行矫正，为学生提供相关知识复习的建议。笔者设计的课堂练习中还包括课堂检测练习，练习量根据课堂知识容量会有所调整，测试和讲评的总时间控制在5耀8分钟。通过本课的学习，学生基本形成二元一次方程（组）的“模型”，因此可以设计具有代表性的练习进行检测。

【课堂检测】已知长方形的周长为24cm。看到这个问题，你联想到什么“模型”？

解：设___________。列式：_______。

追问1：小明说：“8 cm和4 cm分别是长方形的长与宽”，小亮说：“14cm与10cm分别是长方形的长与宽”。谁的说法正确？

追问2：若长与宽相差3 cm，则可以得到方程组：_____________。

对于同一情境，问题设置多样，考查了学生对二元一次方程、方程的解、二元一次方程组等基础知识的掌握情况，以基础为主，树立学生学习自信心，渗透了“检验结果、改进模型”的建模过程，为最终解决实际问题铺垫。课堂检测还可以通过“一题多解”或“多题一解”的形式呈现，让学生在对比辨析中，展示自我的数学知识、过程与方法的掌握程度。课堂检测意在及时反馈学生对知识的掌握情况，因此课堂检测的练习可以借助互联网，以智慧教学平台为载体，通过计算机后台整理学生的答题情况，从而高效、有针对性地进行讲评。

五、基于数学建模，精选综合拓展

在课堂练习的最后，笔者注意到课堂知识的延伸。基于二元一次方程（组）的“模型”，为学生精选了两道综合拓展题：“鸡兔同笼”经典问题，让学生感悟二元一次方程组的文化价值；“配套问题”，让学生认识二元一次方程组在生活中的应用。既渗透了数学文化，又涵盖了数学在现代工业的运用。

【综合拓展】1.古代数学名著《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问鸡兔各几只？”这一经典问题，让你想到什么数学“模型”？试着建立模型，并解决问题。

2.某服装厂生产一批秋衣，已知某匹布料，每2 m长的可以做3个衣身或5只衣袖。现有132 m这种布料，应如何分配布料，才能使做好的衣身和衣袖恰好配套？（不考虑布料的损耗）

在《x的奇幻之旅》一书中，史蒂夫教授提到“当各个领域的科学家把数学应用到各种实际问题中的时候，他们都一定会完成这个‘数学建模的过程。”因此，结合生活实际问题、时事热点、自然科学等学生感兴趣的领域设计拓展练习，既重视了练习的综合性———新旧知识的“叠加”运用，将各个知识点“串成珠，结成网”，形成知识体系，又重视了练习的多样性———“问法”多样化，情境多样化，文化多元化。与此同时，初步培养学生的建模意识和建模的基本方法。

《义务教育数学新课程标准》指出：“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。”基于数学建模，优化课堂练习，学生可以通过练习的引导，有目标、有方向地自学，在练习中经历“知其然，知其所以然，知其何以用”的过程。在课堂练习优化的实施过程中，学生与教师都取得了收获，对课堂练习也有一些更深入的思考。

在基本掌握建模思想后，對于课堂练习中的某一情境问题，能否加入更多的假设或非理想环境下的其他因素，让学生作为数学综合实践，经历“建立模型—确定参数—计算求解—检验结果—改进模型”的过程。让初中生在课上和课余时间，尽可能经历数学建模的完整过程，从而得到“最接近实际”的方案，让学生进一步感悟数学的价值，提升学生的科学精神、应用意识和人文素养。此外，能否借助日益发展的信息技术平台，进一步提高课堂中练习的反馈效率，如电子书包的错题收集、智慧平台的大数据统计等。笔者将在今后的实践中进一步探索。

【本文系福建省教育科学“十三五”规划2018年度课题《基于提升数学建模素养的实践研究》（立项批准号：FJJKXB-19-461）研究成果】